Θεωρώ τη συνάρτηση: $g(x)={f}^2(x) , x\in R$
Η $g$ είναι παραγωγίσιμη προφανώς, με ${g}'(x)=2f(x){f}'(x)$
Για $x=1$ : ${g}'(1)=2f(1){f}'(1)=-4f(1)$. Αφού έχεις δείξει απο το πρώτο ερώτημα οτι: $f(2)=-4$ και άρα απο τη δοσμένη σχέση προκύπτει: ${f}'(1)=-2$
Τώρα έχουμε οτι:
$lim_{h\rightarrow 0 ...
Η αναζήτηση βρήκε 106 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τρί Απρ 05, 2022 9:36 am
- Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
- Θέμα: Απορία σε άσκηση
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1028
- Πέμ Μαρ 17, 2022 2:35 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Θέμα με γραφική παράσταση
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1538
Re: Θέμα με γραφική παράσταση
Σωστά. Διορθώθηκε.Christos.N έγραψε: Πέμ Μαρ 17, 2022 9:56 am Δες λίγο το παραπάνω (πέρα από το τυπογραφικό), δεν είναι απροσδιοριστία.
Ευχαριστώ.
- Πέμ Μαρ 17, 2022 3:41 am
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Θέμα με γραφική παράσταση
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1538
Re: Θέμα με γραφική παράσταση
α) Απο θ.Φερμά προκύπτει οτι: ${f}''(x_0)=0$
Βάσει γραφήματος, ισχύει: ${f}'$ γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,x_0)$ και ${f}'$ γνησίως φθίνουσα στο $(b,+\infty)$
Άρα, η $f$ είναι κυρτή στο $(-\infty,x_0)$ και κοίλη στο $(b,+\infty)$
Επίσης, ισχύει: ${f}'(x)<0 , \forall x \in(-\infty,a)U(b,+\infty ...
Βάσει γραφήματος, ισχύει: ${f}'$ γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,x_0)$ και ${f}'$ γνησίως φθίνουσα στο $(b,+\infty)$
Άρα, η $f$ είναι κυρτή στο $(-\infty,x_0)$ και κοίλη στο $(b,+\infty)$
Επίσης, ισχύει: ${f}'(x)<0 , \forall x \in(-\infty,a)U(b,+\infty ...
- Κυρ Μαρ 13, 2022 4:45 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
- Απαντήσεις: 20
- Προβολές: 3806
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Καμία ισχυρότερη υπόδειξη;
- Σάβ Μαρ 12, 2022 10:21 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
- Απαντήσεις: 20
- Προβολές: 3806
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Λάθοςi_am_imbact έγραψε: Τρί Δεκ 25, 2018 1:10 am Και δεύτερον πιο είναι το όριο της ακολουθίαςπροσπάθησα με την ανισότητα του Αρχιμήδη αλλα δεν έβγαζε αποτέλεσμα
- Σάβ Μαρ 12, 2022 9:46 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
- Απαντήσεις: 20
- Προβολές: 3806
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Έστω η ακολουθία $s_n=\sum _{\kappa=1}^{+\infty}a_k$.
Mάλλον κάποιο τυπογραφικό σφάλμα έχεις εδώ. Για ξαναδές το.
Από κεί και πέρα, η απόδειξη που δίνεις ήδη υπάρχει παραπάνω. Με λίγη περιπέτεια μεν, αλλά υπάρχει.
Αλήθεια είναι κ.Λάμπρου, διορθώθηκε.
Ψάχνοντας κι εγώ για απόδειξη του ...
- Σάβ Μαρ 12, 2022 9:27 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
- Απαντήσεις: 20
- Προβολές: 3806
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Έστω η ακολουθία $s_n=\sum _{\kappa=1}^{n}a_k$.
Και η ακολουθία: $t_n=na_n$
Αφού η σειρά συγκλίνει, έπεται οτι η , η $s_n$ είναι συγκλίνουσα.
Απο Κριτήριο Σύγκλισης του Cauchy, προκύπτει ότι:
$\forall \epsilon >0 , \exists n_0 \in N$ , τέτοιο ώστε, για $n\geq n_0$ να ισχύει:
$|s_{2n}-s_n ...
Και η ακολουθία: $t_n=na_n$
Αφού η σειρά συγκλίνει, έπεται οτι η , η $s_n$ είναι συγκλίνουσα.
Απο Κριτήριο Σύγκλισης του Cauchy, προκύπτει ότι:
$\forall \epsilon >0 , \exists n_0 \in N$ , τέτοιο ώστε, για $n\geq n_0$ να ισχύει:
$|s_{2n}-s_n ...
- Πέμ Μαρ 10, 2022 10:32 pm
- Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- Θέμα: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 3889
Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα
Όντως, έχετε δίκιο.Διορθώθηκεabgd έγραψε: Πέμ Μαρ 10, 2022 11:19 am
Μια παρατήρηση πρώτα: Δεν γράφουμε ότι "η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, (φθίνουσα), για χ...." Δεν υπάρχει η έννοια της μονοτονίας σε κάποιον αριθμό χ.
Ευχαριστώ πολύ για τις επισημάνσεις.
- Τετ Μαρ 09, 2022 4:56 pm
- Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- Θέμα: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 3889
Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα
ΜΕ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΟΤΙ : $f(2)=4$
β)Απο Θ.Rolle για την $f$ στο $[0,1]$, προκύπτει οτι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ ώστε ${f}'(\xi)=0$
Αφού ${f}''(x)>0, \forall x\geq 0$
Έπεται οτι η ${f}'$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό , και άρα η $x=\xi$ είναι η μοναδική της ρίζα.
Επομένως, ισχύει: ${f}'(x)<0 ...
β)Απο Θ.Rolle για την $f$ στο $[0,1]$, προκύπτει οτι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ ώστε ${f}'(\xi)=0$
Αφού ${f}''(x)>0, \forall x\geq 0$
Έπεται οτι η ${f}'$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό , και άρα η $x=\xi$ είναι η μοναδική της ρίζα.
Επομένως, ισχύει: ${f}'(x)<0 ...
- Τετ Μαρ 09, 2022 1:51 pm
- Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- Θέμα: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 3889
- Τρί Μαρ 08, 2022 7:11 pm
- Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- Θέμα: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 3889
- Τετ Μαρ 02, 2022 8:39 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- Θέμα: Επαναληπτικό θέμα
- Απαντήσεις: 19
- Προβολές: 3888
Re: Επαναληπτικό θέμα
Η απάντησή σου στο δ).... δεν είναι καλή!
Το προφανώς $g(0)=0$ νομίζω θέλει να γράψουμε δυο πραγματάκια... δεν είναι τόσο προφανές!
Στην ύλη των μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου δεν ορίζουμε συνάρτηση 1-1 κατά διαστήματα. Μία συνάρτηση είναι 1-1 ή δεν είναι και η συγκεκριμένη δεν είναι.
Θα μπορούσες ...
- Τετ Μαρ 02, 2022 6:01 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- Θέμα: Επαναληπτικό θέμα
- Απαντήσεις: 19
- Προβολές: 3888
Re: Επαναληπτικό θέμα
a) H $f$ είναι συνεχής στο $R$.
Επομένως: $f(0)=lim_{x\rightarrow0}f(x)=lim_{x\rightarrow0}e^{1-\frac{1}{x^2}}=lim_{y\rightarrow-\infty}e^y=0$
Η f στο καθένα από τα διαστήματα $\left ( -\infty ,0 \right ),\left ( 0,+\infty \right )$ είναι γνήσια μονότονη κι επειδή $f\left ( \alpha \right )=f ...
Επομένως: $f(0)=lim_{x\rightarrow0}f(x)=lim_{x\rightarrow0}e^{1-\frac{1}{x^2}}=lim_{y\rightarrow-\infty}e^y=0$
Η f στο καθένα από τα διαστήματα $\left ( -\infty ,0 \right ),\left ( 0,+\infty \right )$ είναι γνήσια μονότονη κι επειδή $f\left ( \alpha \right )=f ...
- Πέμ Φεβ 24, 2022 12:28 am
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1561
Re: Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη
Έχετε δίκιο, μπερδεύτηκα σε ένα σημείο.Ευχαριστώ πολύ.
Διορθώθηκε.
- Τετ Φεβ 23, 2022 8:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1561
Re: Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη
a)Έχουμε: ${f}'(x)=1+cosx$
Λύνοντας: ${f}'(x)=0\Leftrightarrow cosx=-1\Leftrightarrow x=\pm \pi$
Επομένως: ${f}'(x)>0 \forall x\in(-\pi,\pi)$
Και έτσι: η $f$ είναι αύξουσα στο $[-\pi,\pi]$
Και παρουσιάζει ελάχιστο για $x=-\pi$, το $f(-\pi)=-\pi$
Και μέγιστο για $x=\pi$ , το $f(\pi)=\pi$
Έχουμε ...
Λύνοντας: ${f}'(x)=0\Leftrightarrow cosx=-1\Leftrightarrow x=\pm \pi$
Επομένως: ${f}'(x)>0 \forall x\in(-\pi,\pi)$
Και έτσι: η $f$ είναι αύξουσα στο $[-\pi,\pi]$
Και παρουσιάζει ελάχιστο για $x=-\pi$, το $f(-\pi)=-\pi$
Και μέγιστο για $x=\pi$ , το $f(\pi)=\pi$
Έχουμε ...
- Κυρ Φεβ 13, 2022 2:52 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Βοήθεια σε άσκηση 2
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3543
- Κυρ Φεβ 13, 2022 1:55 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Βοήθεια σε άσκηση 2
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3543
Re: Βοήθεια σε άσκηση 2
Εξαιρετικά.
Τώρα, ήρθε και έδεσε.
Ευχαριστώ πολύ για τις πολύτιμες υποδείξεις σας.
Τώρα, ήρθε και έδεσε.
Ευχαριστώ πολύ για τις πολύτιμες υποδείξεις σας.
- Σάβ Φεβ 12, 2022 11:42 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Βοήθεια σε άσκηση 2
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3543
Re: Βοήθεια σε άσκηση 2
Μπορούμε να περιορίσουμε έτσι το
χωρίς βλάβη; Γιατί εμένα ακριβώς αυτό προκαλούσε αδιέξοδο στη σκέψη μου. Το ενδεχόμενο το διάστημα που θα δημιουργηθεί να περιλαμβάνει το
, δηλαδή το ενδεχόμενο να ειναι 
- Σάβ Φεβ 12, 2022 10:28 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Βοήθεια σε άσκηση 2
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3543
Re: Βοήθεια σε άσκηση 2
Εννοείται μπορούμε να κάνουμε και απόδειξη με εψιλοντικό ορισμό. Είναι εξ ίσου απλή (και βέβαια πάλι με χρήση της πυκνότητας) αλλά το αφήνω.
Θα είναι χαρά μου εάν μου δείξετε πως θα το αποδείξουμε με εψιλοντικό.
Επιμένω. Αν δεν σας είναι κόπος θα με βοηθούσε πολύ.
Κυρίως, για τις 2 ...
- Σάβ Φεβ 12, 2022 4:50 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Βοήθεια σε άσκηση 2
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3543
Re: Βοήθεια σε άσκηση 2
ma128 έγραψε: Σάβ Φεβ 12, 2022 3:36 pm
EDIT: Πράγματι έχετε δίκιο, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε 2 ακολουθίες για να δείξουμε οτι έχουν διαφορετικό όρια και έτσι να προσκρούσουμε στη μοναδικότητα του ορίου. Διαφορετικά δεν μα βγαίνει το άτοπο.