Βάζω τη λύση μου για τη Γεωμετρία Β λυκείου
Έστω $T \equiv AI \cap KL$ και $H \equiv MI \cap BC$

$ \angle AKL = \angle ALK = 90 - \frac{ A}{2}$ άρα $AT \perp KL$

Φέρνω την προβολή του Δ πάνω στην ΑΓ (έστω Θ)
Αρκει για να δείξω πως $MH \perp BC$ ότι ΜΘΗΔ εγγράψιμο
Ισοδύναμα , αρκει (γωνίες) ΗΜΘ=ΘΔΓ ...

Ωραία! Ευχαριστώ για την παραπάνω λύση! Βάζω και την ιδέα που είχα κατα νού...

όπως παραπάνω $f(0)=0, f(1)=1 , f(-1)=-1$ και $f$ περιττή

$P(x,\frac{1}{x}):f(x-\frac{1}{x})+\frac{f(\frac{1}{x})}{x}=x^2f(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} \overset{x\rightarrow \frac{1}{x}}{\implies}f(\frac{1}{x ...

Η εκφώνηση είναι σίγουρα $f(m+n)^2 | f(m)-f(n)$ ?
Επειδή ετσι , για $n=0$ θα είναι

$ f(m)^2 | f(m)-f(0) \rightarrow f(m)^2 | f(m)f(0)$

Άρα $ f(m)|f(0)$
Εδώ αν $f(0) \neq 0$ , θα είναι f σταθερή , αλλά αν $f(1) \neq f(-1)$ , δεν μπορεί f να είναι σταθερή

Πρέπει άρα $f(0)=0$ που μας οδηγεί στο ...

Αρχικά επειδή $\angle I_AFA=\angle I_AEA=90$, το παράκεντρο $I_A$ ανήκει στον $(AEF)$

Θεωρούμε τα σημεία $K \equiv PQ \cap FE$ και $T$ το σήμειο που εφάπτεται στον Παρεγγεγραμένο κύκλο η εφαπτομένη απο το $K$
Θα δείξουμε πως $ΚΤ$ εφάπτεται και στον $(MPQ)$ στο $T$

Πρώτον επειδή η πολική του $A$ ως ...

Αναρτώ μια συναρτησιακή που σκέφτηκα πριν καιρό και την είχα ανεβασει στο AoPS , απλώς για όποιον δεν την έχει δει και θα ήθελε να ασχοληθεί ! :)

Βρείτε όλες τις $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{xyf(x-y)+yf(y)=x^2f(y)-yf(xy)+y^2}$

για κάθε $y \in ...

Ανεβάζω και γω μια λύση , κάνοντας χρήση του Θεωρήματος Μενελάου

Θέτω αρχικά $D'$ και $M$ τα μέσα των $AB$ και $BC$ αντίστοιχα.
Λόγω συμμετρίας το $D'$ ανήκει στον κύκλο $(BCD)$ και ισχύει η ισότητα των τόξων $D'E = ED$

$\angle ABE = \angle D'BE =\angle EBD = \angle IBK $, άρα $IB$ είναι ...

Παραθέτω τη λύση μου για το , παρεμπιπτώντως αρκετά απλό, Πρόβλημα 1


Ισχύει πως $d_{k-2} | d_{k-1} + d_{k}$ και αφου $d_k =n$ , συμπεραίνουμε οτι $d_{k-2}|d_{k-1}$

Αντίστοιχα ισχύει πως $d_{k-3} | d_{k-2} + d_{k-1}$

Όμως $d_2 = \frac{n}{d_{k-1}} | \frac{n}{d_{k-2}} =d_3$ και επειδη $d_2 | d_3 ...

Γράφω τη λύση μου μετά από υπόδειξη του Πρόδρομου, τον οποίο και ευχαριστώ

όπως στην παραπάνω λύση, υποθέτουμε οτι $a,b,c \geq 0$ , με mod $3$ καταλήγουμε ότι $b=0$ και με $mod 5$ έχουμε $c=4c'$

Έτσι η αρχική μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle{(7^{2c'})^2-5a^2=1}$
Θεωρούμε την εξισωση Pell $x^2 ...

Πρόβλημα 2.

Δίνεται ένα οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$. Έστω $D$ το σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του, τέτοιο ώστε η $AD$ να είναι διάμετρος. Έστω τα σημεία $K$ και $L$ στα τμήματα $ΑB$ και $AC$, αντίστοιχα, τέτοια ώστε οι $DK$ και $DL$ να είναι εφαπτόμενες στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ...

Μια άσκηση μου( ελπίζω να είναι σωστή η επιλογή φακέλου )

Να αποδειχθεί ότι η παράσταση δεν είναι ποτέ τέλειος κύβος ακέραιου, όπου ένας θετικός ακέραιος

Λύση για το πρώτο:
$2^n+2023^n=k^2$

$n=1$ δίνει $k=45$

Μετά, για $n \geq 2$, mod $4$ παίρνουμε $(-1)^n \equiv k^2 mod 4$, άρα $n$ άρτιος ( τέλειο τετράγωνο διάφορο του $-1 mod 4$)
έστω $n=2m$

Πηγαίνοντας το $2023^n$ στο δεξί μέλος και παραγοντοποιώντας ,

$2^{2m}=(k-2023^m)(k+2023^m) $=>

$k ...

Άσκηση 16

Δείξτε ότι για κάθε άρρητο αριθμό , υπάρχουν άρρητοι πραγματικοί αριθμοί , τέτοιοι ώστε και να είναι ρητοί ενώ και να είναι άρρητοι

Πηγή:

Λύση
Είναι
$(a+\frac{1}{a})^4=a^4+\frac{1}{a^4}+4a^2+\frac{4}{a^2}+6=53+4\left ( a^2+\frac{1}{a^2} \right )$
Επίσης
$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+\frac{1}{a^2}+2 \rightarrow 4(a^2+\frac{1}{a^2})=4(a+\frac{1}{a})^2-8$

Άρα έχουμε
$(a+\frac{1}{a})^4=45+4(a+\frac{1}{a})^2$

Και θέτωντας $K=(a+\frac{1}{a ...

mick7 έγραψε: Κυρ Δεκ 25, 2022 10:47 pm Εφόσον είναι εξίσωση η σωστή απάντηση (εικάζω) θα είναι διακριτές τιμές αρα

Θα ήταν έτσι αν ζητούνταν να είναι ο Χ ακέραιος
διαφορετικά μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα αυτό

Αφού ,

Έτσι ψάχνουμε για τα οποία το είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου

όμως παρατηρούμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο
Επομένως δεν υπάρχουν τέτοια

Έχουμε

Άρα καταλήγουμε ότι

Άσκηση 12

Να βρεθούν όλοι οι άρρητοι αριθμοί για τους οποίους




είναι και οι δύο ακέραιοι

Άσκηση 11

Βρείτε όλες τις συναρτήσεις

τέτοιες ώστε για όλους τους άρρητους

Πηγή:

Θα είναι:
$\frac{x^5+x-2}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+2=k^3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^4+x^3+x^2+x+1=(k-1)(k^2+k+1)$

Παρατηρούμε για $k$ περιττό, το δεξιά μέλος της παραπάνω ισότητας είναι άρτιο σε αντίθεση με το αριστερά,
άρα $k$ είναι άρτιος, δηλαδή $k=2n$:

$x^4+x^3+x^2+x+2=8n^3\Rightarrow 8 ...

Μια ιδιοκατασκευή..
Βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$g(x)g(y) + 2(g(x)+g(y)-1) = 3g(x+y)$

να ισχύει για κάθε χ,y$\in \mathbb{R}$

Γράφουμε

$(g(x)+2)(g(y)+2)-6=3g(x+y)\Leftrightarrow f(x)f(y)=f(x+y),$
όπου $f(x)=\dfrac{g(x)+2}{3}.$

Σαφώς ...