Πρόβλημα 3 Μεγάλων: Για χ=y=0 : $f(0)+f(0)=10f(0) \Rightarrow f(0)=0$ Για y=0 : $f(x)+f(2x)=5f(x) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{4}f(2x)$ Για χ=0 : $f(2y)+f(-y)=5f(y)\Rightarrow f(-y)=f(y)$ Με ισχυρή επαγωγή αποδεικνύω ότι : $f(x)=\frac{1}{n^{2}}f(nx)$ για κάθε φυσικό αριθμό. Base case: Για n=1 προφανώς...

Πρόβλημα 3 Μεγάλων: Για χ=y=0 : $f(0)+f(0)=10f(0) \Rightarrow f(0)=0$ Για y=0 : $f(x)+f(2x)=5f(x) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{4}f(2x)$ Για χ=0 : $f(2y)+f(-y)=5f(y)\Rightarrow f(-y)=f(y)$ Με ισχυρή επαγωγή αποδεικνύω ότι : $f(x)=\frac{1}{n^{2}}f(nx)$ για κάθε φυσικό αριθμό. Base case: Για n=1 προφανώς ...

Μεγάλων 1 Tο αρχικό πολυώνυμο είναι γινόμενο δύο άλλων δεύτερου βαθμού: $P(x)=x^{4}+5x^{3}+mx^{2}+5nx+4 \Rightarrow P(x)=(x^{2}+5x+k)(x^2+ax+b)$ Θέλουμε η ισότητανα ισχύει για κάθε x επομένως καταλήγουμε στις σχέσεις : $a=0, b+k=m,b=n,bk=4 \Rightarrow n(m-n)=4\Rightarrow (n,m)=(1,5),(2,4),(4,5)$ Για...

Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση για το 2ο σκέλος του β) Θεωρούμε $l(x)=f^2(x)(x+1)$ $l'(x)=\frac{ln(x+1)[2x-(x+2)ln(x+1)]}{x^3}$ Θεωρούμε $h(x)=2x-(x+2)ln(x+1)$ $h'(x)=1-ln(x+1)-\frac{1}{x+1}\leq 0$ Διότι $ln(x)\leq x-1\Rightarrow ln(\frac{1}{x})\leq \frac{1}{x}-1\Rightarrow lnx\geq 1-\frac{1}{x}\Ri...

Έστω ότι με επιλογή των a, b, c παίρνουμε αριθμό k. $k=a^2+2023b^2-2024c^2\equiv a^2+2024(b^2-c^2)-b^2\equiv a^2-b^2mod4$ Επειδή $a^2\equiv 0,1 mod4$ η περίπτωση $k\equiv 2mod4$ απορρίπτεται. Θα αποδείξουμε ότι κάθε άλλη περίπτωση είναι δυνατή. Αν όπου a,b,c βάλουμε τα a+m,b+m,c+m βρίσκουμε έναν νέο...

Πρόβλημα 4 Μεγάλων Είναι αποδεκτή η λύση; Μετά από πράξεις: $a=\frac{-b^2+bn\pm \sqrt{b^2(b-n)(b+3n)}}{2(n-b)}=b/2\pm \frac{b\sqrt{\frac{b+3n}{b-n}}}{2}$$\Rightarrow a=b/2+\frac{b\sqrt{\frac{b+3n}{b-n}}}{2}$ Για να είναι ο α ακέραιος πρέπει $\sqrt{\frac{b+3n}{b-n}}=2k+1\Rightarrow 1+\frac{4n}{b-n}=(...

Δεν ξέρω εγώ έγραψα και την περίπτωση με τα αρνητικά, απλώς τώρα ξέχασα να την προσθέσω...

Για το Π1 Γ Λυκείου: Αφού $\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{d},\frac{d}{a}\epsilon \mathbb{Z}$ τότε $a=x_{1}b, b=x_{2}c, c=x_{3}d, d=x_{4}a$ Άρα, $a=x_{1}x_{2}x_{3}d$ Επομένως, $a\mid d$ και $d\mid a$ Άρα, $\left |a \right |=\left |d \right |$ Όμοια αποδεικνύουμε ότι $\left | a \right |=\left |b \ri...

Για το Π3 Γ Λυκείου:
Αν τότε πρέπει
Αλλά
Άρα, πρέπει
Για καμία όμως από τις παραπάνω περιπτώσεις δεν προκύπτει τετράγωνο ακεραίου
Επομένως, δεν υπάρχει που ικανοποιεί την υπόθεση

Η $\frac{x^2}{4}+y^2\leq 1$ παριστάνει τα σημεία που βρίσκονται στην έλλειψη $ \frac{x^2}{4}+y^2= 1$ και στο εσωτερικό της. Η έλλειψη έχει $a=2,b=1,c=\sqrt{3}$ Η $\left ( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )x+y\leqslant 1$ παριστάνει τα σημεία που βρίσκονται αριστερά από την ευθεία $\left ( 1+\frac{\sqrt{3...

1ος τρόπος: Το σημείο S είναι το σημείο τομής του κύκλου με κέντρο Β και ακτίνα ΑΒ και της πλευράς AC Eξίσωση κύκλου:$(x+3)^{2}+(y+1)^2=40$ Εξίσωση ευθείας:$y-5=(x+1)\frac{5+1}{-1-7}\Rightarrow y-5=-(x+1)\frac{3}{4}\Rightarrow 4y+3x=17$ Λύνουμε το σύστημα των 2 εξισώσεων: $(x+3)^{2}+(y+1)^2=40\Right...

Στιγμιότυπο οθόνης 2023-07-04 164109.png Φέρουμε TE και ΤF. Η $\angle PTE=\angle QTE$ και$\angle TPF=\angle FTQ$, ως γωνίες χορδής-εφαπτομένης. Επομένως, το τρίγωνο ΕΤΡ είναι όμοιο με το ΤFQ. Το τρίγωνο TFQ έχει στραφεί σε σχέση με το ΕΤΡ κατά γωνία $\angle TFE$ Άρα και η γωνία των διαμέσων τους θα...