Διαθέτουμε χάρακα που έχει μόνον ακέραιες ενδείξεις . Πώς θα κατασκευάσουμε το \sqrt{129} ;


Το $\sqrt{129}$ είναι το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους $11$ και $\sqrt{8}$ όπου είναι το μήκος της υποτείνουσας ενός άλλου -ισοσκελούς- ορθογωνίου τριγώνου με ...

Μέρος τρίτο, ώστε να μην «παραπονιέται» το $Q$ :

Με τους συμβολισμούς του σχήματος του ποστ#2 :

Αν $C \equiv Q$ τότε
$CP \perp AD$ και $AB \perp AD \Rightarrow CP \parallel AB$

Όμως $CD \parallel AB$ οπότε από το 5ο αξίωμα τα $P, C, D$ είναι συνευθειακά και λόγω
$CP = CD$ (ως μήκος $6$) τότε $P ...

Για να κλείσει η άσκηση:

Πρόσθεσα τα σημεία $F$ και $H$ στο σχήμα του ποστ#2

Το $C$ κινείται στο τόξο $\overset{\frown}{QF}$ (εκτός του $Q$) άρα το $S$ κινείται στο ευθύγγραμμο τμήμα $BQ$ (εκτός του $Q$)

Και για το δεύτερο ερώτημα:

Αρκεί να βρεθεί η μοναδική θέση του $C$ κατά την οποία το $DC ...

Υ.Γ. Να συμπληρώσω στο ποστ#5 ότι το $T$ ταυτίζεται με το $B$ όταν το σημείο $C$ ταυτίζεται με το σημείο $F$ (που προστέθηκε στο σχήμα του ποστ#2 )

Για την συγκεκριμμένη άσκηση δεν είναι απαραίτητο αυτό το ποστ αλλά επειδή είχα κάνει παρανάγνωση της εκφώνησης το αφήνω για τον κόπο.

Το $Q ...

Επειδή το ποστ#2 καλύπτει μόνο την περίπτωση όπου $T$ δεν ταυτίζεται με το $B$

Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη του ποστ#2 παρακάτω καλύπτω και την περίπτωση όπου $T$ ταυτίζεται με το $B$

Αν $T$ ταυτίζεται με το $B$ που είναι σημείο του $QQ'$ τότε το $T$ είναι στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ...

Ισχύει:

$\triangle C'BT = \triangle CBT = \triangle AKD$

.
Νικήτα, από που προκύπτει αυτό;

Είναι μεν σωστό, αλλά και ουσιαστικό βήμα της απόδειξης (και μάλιστα ισοδύναμο του αποδεικτέου).


Καλησπέρα κ. Μιχάλη,

Είχα πάρει το σημείο $C'$ συμμετρικό του $C$ ως προς το σημείο $T$
Οπότε $CT ...

Πρώτο μέρος εύρεσης του γεωμετρικού τόπου του $S$:

Με τους συμβολισμούς του σχήματος * αν το $C$ είναι στο ημιεπίπεδο $(\varepsilon,\Pi_1)$ εκτός των σημείων $Q$ και $N$ τότε θα δειχθεί ότι το σημείο $S$ κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα $QQ'$ εκτός των άκρων:

Αρκεί να δειχθεί ότι $\angle ABS = 1L ...

Κατασκευή και υπολογισμός.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο με πλευρές c , b και κάθετες τις διαμέσους BN , CM . Υπολογίστε τώρα την a .

Μπορείτε να κάνετε πρώτα τους υπολογισμούς . Εφαρμογή : c=6 , b=7 ( για να έχουμε το ίδιο σχήμα ! ) .


Με τους συμβολισμούς του σχήματος:

Από το πρώτο θεώρημα ...

ΔΕΗ.png
.
Σε έναν δρόμο μήκους 270 m υπάρχουν τρεις κολόνες της ΔΕΗ, όπως δείχνει η εικόνα. Οι μεταξύ τους αποστάσεις είναι 126 m και 144 m. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κολόνες που πρέπει να προστεθούν στα ενδιάμεσα σημεία αν θέλουμε οι κολόνες να απέχουν μεταξύ τους ίσες ...

ΔΕΗ.png
.
Σε έναν δρόμο μήκους 270 m υπάρχουν τρεις κολόνες της ΔΕΗ, όπως δείχνει η εικόνα. Οι μεταξύ τους αποστάσεις είναι 126 m και 144 m. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κολόνες που πρέπει να προστεθούν στα ενδιάμεσα σημεία αν θέλουμε οι κολόνες να απέχουν μεταξύ τους ίσες ...

Πόσοι κύβοι δεν είναι ορατοί ;


Ή μπορούμε να το δούμε και έτσι:

\[{
\begin{array}{ccccccccc}
& & & & * & & & & \\
& & & * & \textcolor{green}{*} & * & & & \\
& & * & \textcolor{green}{*} & \textcolor{green}{*} & \textcolor{green}{*} & * & & \\
& * & \textcolor{green}{*} & \textcolor ...

Πόσοι κύβοι δεν είναι ορατοί ;

Χωρίζουμε το σχήμα σε φέτες όπως φαίνεται παρακάτω:


\begin{array}{ccccc}
& & & & * \\
& & & * & \textcolor{green}{*} \\
& & * & \textcolor{green}{*} & \textcolor{green}{*} \\
& * & \textcolor{green}{*} & \textcolor{green}{*} & \textcolor{green ...

.
Σε μία λίμνη ζουν τρεις βάτραχοι. Κάθε βράδυ ο ένας από τους τρεις βάτραχους λέει ένα τραγούδι στους άλλους δύο. Σε 9 συνεχόμενα βράδια, ένας από τους βάτραχους τραγούδησε 2 φορές, και ένας άλλος άκουσε $5$ τραγούδια. Πόσα τραγούδια άκουσε ο τρίτος βάτραχος;

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για ...

Άχρηστος τύπος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το S είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του . Υπολογίστε το γινόμενο SB\cdot SC ,

συναρτήσει των τριών πλευρών του τριγώνου . Επαληθεύστε τον τύπο που βρήκατε για : a=10 , b=6 , c=8 .



Από το πόρισμα του Θ. διχ. στο $\triangle ABC$:

$AD ...

ρίζα με πολλαπλότητα.png
.
Άσκηση 69
Σε ένα χαρτί είναι γραμμένο το εικονιζόμενο πολυώνυμο πέμπτου βαθμού, το οποίο έχει ακέραιους συντελεστές. Δυστυχώς ένα τμήμα του δεν φαίνεται γιατί σκεπάστηκε από μελάνι. Δίνεται ότι και οι 5 ρίζες του πολυωνύμου είναι ακέραιοι αριθμοί. Δείξτε ότι η $x=1 ...

Με και άνευ.pngΣτην ευθεία y=0 εντοπίστε σημείο K , τέτοιο ώστε ο κύκλος (K , KA) να εφάπτεται της ευθείας y=\dfrac{3}{4}x .

Προαιρετικά λύστε το πρόβλημα χωρίς χρήση καρτεσιανού λογισμού .
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\triangle OBK$ έχουμε ότι:
$OK = 5k$
Επειδή $5k + 3k = 10 ...

$a:= A\cdot 100^{675}$, $b := B\cdot 100^{675}$, $c := C \cdot 100^{675}$, $d := D \cdot 100^{675}$ άρα η συνθήκη γράφεται:

$A^3 + B^3 + C^3 + D^3 = 10~000$
Από τον παρακάτω πίνακα των πρώτων $22$ κύβων ψάχνουμε τέσσερεις διαφορετικούς αριθμούς της δεξιάς στήλης που το άθροισμά τους να είναι ίσο με ...

Αν η περίμετρος του Γιν είναι να υπολογιστεί η περίμετρος του ταϊτζίτου.

Το τρίγωνο $AB\Gamma $ είναι ισοσκελές ,$AB=A\Gamma $ και τα σημεία $\Delta ,E$ επί των πλευρών $AB,A\Gamma $ αντίστοιχα .Αν $A=30^{0},\hat{ΔE\Gamma }=45^{0},\Delta E=B\Gamma $ Να αποδειχθεί ότι $\Gamma B=\Gamma \Delta $

Προτείνεται απο τον Μπάμπη Στεργίου

Υπόδειξη

Γράφω το κύκλο του ...