Ο κύκλος με κέντρο το σημείο το οποίο περιστρέφεται το ορθογώνιο τρίγωνο και ακτίνα την υποτείνουσα αυτού του τριγώνου.
Αποτελείται από ίσα τόξα οπότε η συμπληρωματική γωνία των επίκεντρων γωνιών που βαίνουν σε αυτά είναι η οποία είναι και το ζητούμενο.

Στην προέκταση της ακτίνας OA , του τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , θεωρούμε σημείο S .

Η SB τέμνει το τόξο στο σημείο T και η εφαπτομένη στο T , τέμνει την AS στο P .

Βρείτε την θέση του S ( δηλ . υπολογίστε το x ) , για την οποία προκύπτει : OA=2AP .

Από το ποστ#2 του κ. Μιχάλη Νάννου ...

Κατασκευή σε ισοσκελές.b.png
Αν $S$ είναι το ζητούμενο σημείο της παραπάνω άσκησης και $O$

το περίκεντρο του τριγώνου, να αποδείξετε ότι $SO\bot CE.$




Αρκεί να δείξουμε ότι το $\triangle OTS$ είναι ορθογώνιο επομένως αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος ...

Γωνία από διαφορά γωνιών.png$\bigstar$ Υπολογίστε την γωνία $\theta$ , αν είναι γνωστό ότι : $\omega -\phi=30^{\circ}$ . ( Την ώρα αυτή βγαίνει στο μπαλκόνι ο νέος πάπας )


Στο σχήμα του κ. Θανάση,

Ισχύει ότι:

$\angle BCA = \dfrac{\phi}{2}$ αφού η εγγεγραμμένη $\angle BCA$ και η επίκεντρη ...

Το $ABCD$ είναι ορθογώνιο και $PQ=QD,\hat{PQD}=120^{0},(APD)=30,(BPQ)=25$

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου $QCD$


$ x^2 + \left(\frac{50}{x}\right)^2 = (2r)^2 $

$ y^2 + \left(\frac{60}{y}\right)^2 = (2r\sqrt{3})^2 $

$ \left(\frac{60}{y} - x\right)^2 + \left(\frac{50}{x} + y\right)^2 = (2r ...

Με μια δεύτερη ματιά το υπολογίζεται πιο εύκολα ως κ.λπ.

Καλησπέρα, στο σχήμα του κ. Γιώργου Μ. ισχύει ότι:

$\angle DBI = \angle CND$ ως οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες, $ID = CD$ και $\angle D = 90^\circ$

άρα $\triangle IDB = \triangle CND$ άρα $BD = ND = 2 AD := 2r$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle ABD$ προκύπτει:

$AB^2 = AD ...

Διαθέτουμε χάρακα που έχει μόνον ακέραιες ενδείξεις . Πώς θα κατασκευάσουμε το \sqrt{129} ;


Το $\sqrt{129}$ είναι το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους $11$ και $\sqrt{8}$ όπου είναι το μήκος της υποτείνουσας ενός άλλου -ισοσκελούς- ορθογωνίου τριγώνου με ...

Μέρος τρίτο, ώστε να μην «παραπονιέται» το $Q$ :

Με τους συμβολισμούς του σχήματος του ποστ#2 :

Αν $C \equiv Q$ τότε
$CP \perp AD$ και $AB \perp AD \Rightarrow CP \parallel AB$

Όμως $CD \parallel AB$ οπότε από το 5ο αξίωμα τα $P, C, D$ είναι συνευθειακά και λόγω
$CP = CD$ (ως μήκος $6$) τότε $P ...

Για να κλείσει η άσκηση:

Πρόσθεσα τα σημεία $F$ και $H$ στο σχήμα του ποστ#2

Το $C$ κινείται στο τόξο $\overset{\frown}{QF}$ (εκτός του $Q$) άρα το $S$ κινείται στο ευθύγγραμμο τμήμα $BQ$ (εκτός του $Q$)

Και για το δεύτερο ερώτημα:

Αρκεί να βρεθεί η μοναδική θέση του $C$ κατά την οποία το $DC ...

Υ.Γ. Να συμπληρώσω στο ποστ#5 ότι το $T$ ταυτίζεται με το $B$ όταν το σημείο $C$ ταυτίζεται με το σημείο $F$ (που προστέθηκε στο σχήμα του ποστ#2 )

Για την συγκεκριμμένη άσκηση δεν είναι απαραίτητο αυτό το ποστ αλλά επειδή είχα κάνει παρανάγνωση της εκφώνησης το αφήνω για τον κόπο.

Το $Q ...

Επειδή το ποστ#2 καλύπτει μόνο την περίπτωση όπου $T$ δεν ταυτίζεται με το $B$

Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη του ποστ#2 παρακάτω καλύπτω και την περίπτωση όπου $T$ ταυτίζεται με το $B$

Αν $T$ ταυτίζεται με το $B$ που είναι σημείο του $QQ'$ τότε το $T$ είναι στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ...

Ισχύει:

$\triangle C'BT = \triangle CBT = \triangle AKD$

.
Νικήτα, από που προκύπτει αυτό;

Είναι μεν σωστό, αλλά και ουσιαστικό βήμα της απόδειξης (και μάλιστα ισοδύναμο του αποδεικτέου).


Καλησπέρα κ. Μιχάλη,

Είχα πάρει το σημείο $C'$ συμμετρικό του $C$ ως προς το σημείο $T$
Οπότε $CT ...

Πρώτο μέρος εύρεσης του γεωμετρικού τόπου του $S$:

Με τους συμβολισμούς του σχήματος * αν το $C$ είναι στο ημιεπίπεδο $(\varepsilon,\Pi_1)$ εκτός των σημείων $Q$ και $N$ τότε θα δειχθεί ότι το σημείο $S$ κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα $QQ'$ εκτός των άκρων:

Αρκεί να δειχθεί ότι $\angle ABS = 1L ...

Κατασκευή και υπολογισμός.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο με πλευρές c , b και κάθετες τις διαμέσους BN , CM . Υπολογίστε τώρα την a .

Μπορείτε να κάνετε πρώτα τους υπολογισμούς . Εφαρμογή : c=6 , b=7 ( για να έχουμε το ίδιο σχήμα ! ) .


Με τους συμβολισμούς του σχήματος:

Από το πρώτο θεώρημα ...

ΔΕΗ.png
.
Σε έναν δρόμο μήκους 270 m υπάρχουν τρεις κολόνες της ΔΕΗ, όπως δείχνει η εικόνα. Οι μεταξύ τους αποστάσεις είναι 126 m και 144 m. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κολόνες που πρέπει να προστεθούν στα ενδιάμεσα σημεία αν θέλουμε οι κολόνες να απέχουν μεταξύ τους ίσες ...

ΔΕΗ.png
.
Σε έναν δρόμο μήκους 270 m υπάρχουν τρεις κολόνες της ΔΕΗ, όπως δείχνει η εικόνα. Οι μεταξύ τους αποστάσεις είναι 126 m και 144 m. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κολόνες που πρέπει να προστεθούν στα ενδιάμεσα σημεία αν θέλουμε οι κολόνες να απέχουν μεταξύ τους ίσες ...

Πόσοι κύβοι δεν είναι ορατοί ;


Ή μπορούμε να το δούμε και έτσι:

\[{
\begin{array}{ccccccccc}
& & & & * & & & & \\
& & & * & \textcolor{green}{*} & * & & & \\
& & * & \textcolor{green}{*} & \textcolor{green}{*} & \textcolor{green}{*} & * & & \\
& * & \textcolor{green}{*} & \textcolor ...

Πόσοι κύβοι δεν είναι ορατοί ;

Χωρίζουμε το σχήμα σε φέτες όπως φαίνεται παρακάτω:


\begin{array}{ccccc}
& & & & * \\
& & & * & \textcolor{green}{*} \\
& & * & \textcolor{green}{*} & \textcolor{green}{*} \\
& * & \textcolor{green}{*} & \textcolor{green}{*} & \textcolor{green ...