Η συγκεκριμένη (βασική) άσκηση βρίσκεται και στο Κεφάλαιο 1 του βιβλίου Ολοκληρωτικές Εξισώσεις του κυρίου Ντούγια, εκδ. Συμμετρία. Όχι μόνο. Η εύρεση των συναρτήσεων με $f'(x)=f(x)$ για κάθε $x$ βρίσκεται σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού και επίσης όλα τα βιβλία Διαφορικών Εξισώσ...

Ένα ωραίο θέμα που λύνεται με αρκετούς τρόπους! Βρείτε με οποιονδήποτε τρόπο τη συνάρτηση που ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις για $x \geq 0$: $f'(x)=f(x) \; \; \; \; (1)$ $f(0)=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)$ Να θεωρήσετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και ολοκληρώσιμη στο $\math...

Ένα ωραίο θέμα που λύνεται με αρκετούς τρόπους! Βρείτε με οποιονδήποτε τρόπο τη συνάρτηση που ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις για $x \geq 0$: $f'(x)=f(x) \; \; \; \; (1)$ $f(0)=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)$ Να θεωρήσετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και ολοκληρώσιμη στο $\mathb...

Οι προσπάθεια λύσης του πρώτου προβλήματος: Ε1: Παίρνουμε την κυρτή θήκη των 6 σημείων. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. Αν η κυρτή τους θήκη είναι εξάγωνο, τότε προφανώς το άθροισμα των εσωετρικών του γωνιών είναι $ \sum_{\nu=1}^{\nu=6} \phi_{\nu} = 720 ^\circ$. Άρα, τουλάχιστον μία είναι μεγαλ...

Παραθέτω κάποια ενδιαφέροντα θέματα της Ουγγρικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας - απλά και ίσως τετριμμένα, όμως χρειάζεται η σκέψη-κλειδί. Θα μοιραστώ τις χρονιές μετά από κάποιες απόπειρες λύσεων και έπειτα από τη δική μου προσπάθεια. Ας σημειωθεί ότι τέτοια προβλήματα έχουν να εμφανιστούν περίπου 50 χρό...

Αν όντως έτσι είναι η εκφώνηση (χωρίς ποσοδείκτες) τότε είναι σωστό αφού μεταφράζεται στο ότι οι τιμές των συναρτήσεων θα είναι ίσες ή αντίθετες. Ο Αποστόλης στην προηγούμενη ανάρτηση απαντά στην ορθή διατύπωση που θα έπρεπε να είναι $\displaystyle {{f}^{2}}(x)={{g}^{2}}(x)$ για κάθε $\displaystyle...

Αν όντως έτσι είναι η εκφώνηση (χωρίς ποσοδείκτες) τότε είναι σωστό αφού μεταφράζεται στο ότι οι τιμές των συναρτήσεων θα είναι ίσες ή αντίθετες. Ο Αποστόλης στην προηγούμενη ανάρτηση απαντά στην ορθή διατύπωση που θα έπρεπε να είναι $\displaystyle {{f}^{2}}(x)={{g}^{2}}(x)$ για κάθε $\displaystyle...

Εδώ έχουμε μία ερώτηση Σωστού-Λάθους με αιτιολόγηση από Θέμα Α προσομοιωτικών εξετάσεων Μαθηματικών Γ Λυκείου:

Έστω δύο συναρτήσεις f και g με κοινό πεδίο ορισμού, το Α. Ισχύει:



Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Δίδεται η συνάρτηση $f(x)$ = $\sqrt[3]{16-2^x}+\sqrt{2 \cdot 3^x-18}$. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f$. β) Να λύσετε την ανίσωση $2 \cdot 8^x-11 \cdot 4^x+13 \cdot 2^x \geq(f(3))^{\frac{2}{3}}$ γ) Να λύσετε την εξίσωση $(f(2))^{x+2}=(f(4))^{\sqrt{2-x}}$ (α) Πρέπει $\displaystyle{16-2^x \geq 0...

Δίδεται η συνάρτηση $f(x)$ = $\sqrt[3]{16-2^x}+\sqrt{2 \cdot 3^x-18}$. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f$. β) Να λύσετε την ανίσωση $2 \cdot 8^x-11 \cdot 4^x+13 \cdot 2^x \geq(f(3))^{\frac{2}{3}}$ γ) Να λύσετε την εξίσωση $(f(2))^{x+2}=(f(4))^{\sqrt{2-x}}$ (α) Πρέπει $\displaystyle{16-2^x \geq 0...

Δίδεται η συνάρτηση $f(x)$ = $\sqrt[3]{16-2^x}+\sqrt{2 \cdot 3^x-18}$. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f$. β) Να λύσετε την ανίσωση $2 \cdot 8^x-11 \cdot 4^x+13 \cdot 2^x \geq(f(3))^{\frac{2}{3}}$ γ) Να λύσετε την εξίσωση $(f(2))^{x+2}=(f(4))^{\sqrt{2-x}}$ Μου άρεσε αυτή η άσκηση διότι μου υπενθύ...

Henri van Aubel έγραψε: ↑

Σάβ Νοέμ 25, 2023 7:24 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑

Σάβ Νοέμ 25, 2023 5:06 pm

Μας τρολάρει το ΑΙ;

Δεν μπορεί να το λύσει;;; Κόλλησε ;

Ενταξει, το κατάλαβα. Δεν το έχω και πολύ με τα μαθηματικά. Ας πούμε ότι είμαι ένα ΑΙ και κόλλησα.

Έχουμε $\displaystyle{ \begin{aligned} & 3 \sin B+4 \cos C=6 \ \text {(1) } \\ & 4 \sin C+3 \cos B=1 \ \text { (2) } \end{aligned} }$ Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε: $\displaystyle{ \begin{aligned} & 9 \sin ^2 B+16 \cos ^2 C+24 \sin B \cdot \cos C=36 \ (3) \\ & 16 \sin ^2 C+9 \co...

Σημείωση: στη σχέση $\displaystyle{ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ }$ απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία . Από που προκύπτει αυτό; Γνωρίζεις ότι υπάρχουν και αμβλυγώνια τρίγωνα; Θα σου πρότει...

Έχουμε $\displaystyle{ \begin{aligned} & 3 \sin B+4 \cos C=6 \ \text {(1) } \\ & 4 \sin C+3 \cos B=1 \ \text { (2) } \end{aligned} }$ Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε: $\displaystyle{ \begin{aligned} & 9 \sin ^2 B+16 \cos ^2 C+24 \sin B \cdot \cos C=36 \ (3) \\ & 16 \sin ^2 C+9 \co...

Έχουμε $\displaystyle{ \begin{aligned} & 3 \sin B+4 \cos C=6 \ \text {(1) } \\ & 4 \sin C+3 \cos B=1 \ \text { (2) } \end{aligned} }$ Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε: $\displaystyle{ \begin{aligned} & 9 \sin ^2 B+16 \cos ^2 C+24 \sin B \cdot \cos C=36 \ (3) \\ & 16 \sin ^2 C+9 \cos...

Διορθώστε με παρακαλώ αν έχω κάνει κάποιο λάθος! Ευχαριστώ Προς Venizelos: Καμιά πρόοδο εδώ; Στο προηγούμενο ποστ επισήμανα κάποια σημεία προς εξέταση. Έχεις ξακαθαρίσει τα θέματα αυτά; Εδώ είμαστε να βοηθήσουμε, όπως άλλωστε ζήτησες, αλλά πρέπει και εσύ να ανταποκριθείς. Γεια σας κύριε Λάμπρου! Ευ...

Για να βρούμε τη γωνία A, θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις που μας δίνονται και τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Αρχικά, ας εξετάσουμε την πρώτη εξίσωση: 3sin B + 4cos C = 6. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με 3, έχουμε: 9sin B + 12cos C = 18. Έπειτα, ας εξετάσουμε τη δεύτερη εξίσ...

Θα ενδιαφερόμουν να συμμετέχω σε έναν τέτοιο διαγωνισμό! Ακούγεται άκρως ελκυστικό.



Φιλικά,
Αλέξανδρος

Έστω $\displaystyle{ I(R)=\iint_{x^2+y^2 \leq R^2}\left(\frac{1+2 x^2}{1+x^4+6 x^2 y^2+y^4}-\frac{1+y^2}{2+x^4+y^4}\right) d x d y . }$ Βρείτε το όριο: $\displaystyle{ \lim _{R \rightarrow \infty} I(R), }$ ή αποδείξτε ότι αυτό το όριο δεν υπάρχει. Η απόδειξη είναι άκρως ενδιαφέρουσα και με δυσκόλεψε...