Είναι αρκετά διεισδυτική ερώτηση :) .
Το σχήμα είναι τέλειο γιατί το geogebra είναι μάγκικο σε τέτοιες ιστοριούλες :lol: .
Για να είμαι ειλικρινής πρώτα έλυσα το πρόβλημα και έπειτα κουνούσα τα σημεία ώστε να συμπίπτει το σημείο επαφής με το μέσο του κάθε τμήματος για να βγει άψογο το σχήμα ...

Στο ορθογώνιο τρίγωνο

Βάζω τη λύση μου .
Παίρνοντας n\rightarrow +\infty:\displaystyle S_i=\sum_{m=1}^{i}\dfrac{r^{i-m}}{m}+\sum_{m=i+1}^{n}\dfrac{r^{m-i}}{m}=\sum_{m=1}^{i}\dfrac{r^{\frac{i-m}{2}}}{m}r^{\frac{i-m}{2}}+\sum_{m=i+1}^{n}\dfrac{r^{m-i}}{m}\overset{\mathrm{C-S}}\leqslant \sqrt{\left( \sum_{m=1}^{i}\dfrac{r ...

Πόσα σημεία με συντεταγμένες θετικούς ακέραιους βρίσκονται στο εσωτερικό του σχήματος που ορίζεται από τους άξονες των συντεταγμένων και την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=-x^3+30x^2-301,3x+2026$;

https://i.imgur.com/BjPuNqT.png
Γράφοντας f(x)=-x^3+20x^2+10x^2-200x-101,3x+2026=(20-x)(x ...

Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC με τα ύψη του AD,BE,CF που τέμνονται στο σημείο H, εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R). Η εκ του K κάθετη στην KD, όπου K\equiv AO \cap EF, τέμνει τις πλευρές AB,AC στα σημεία P,Q αντίστοιχα και οι ευθείες PE και FQ τέμνονται στο σημείο T.
Να αποδείξετε ότι TH \perp KM, όπου M ...

Το ύψος PT στην υποτείνουσα AB του \vartriangle PAB είναι και συμμετροδιάμεσος οπότε (S,B,T,A) αρμονική άρα η PT είναι η πολική του S

ως προς τον κύκλο \gamma οπότε διέρχεται από το σημείο Q \equiv AC \cap DB που ανήκει στην πολική του AB \cap DC \equiv S ως προς τον κύκλο \gamma.

Από το ...

Ένα σύνολο θετικών ακέραιων αριθμών $S$ ονομάζεται ελεύθερο , αν για οποιαδήποτε $a, b \in S$ ο αριθμός $ab$ δεν ανήκει στο $S$ και για οποιοδήποτε $c \in S$ ο αριθμός $c^2$ επίσης δεν ανήκει στο $S$. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ελεύθερων συνόλων στα οποία μπορεί να διαμεριστεί το σύνολο $\{ 2 ...

Έστω T' η τομή της μεσοκάθετης του AB με την πλευρά AC τότε \vartriangle TAB \sim \vartriangle BSC οπότε έχουμε σπειροειδή ομοιότητα \Phi κέντρου B. Επομένως \vartriangle ST'B \sim \vartriangle CBA \Longrightarrow \angle BT'S=\angle T'AB=\angle T'BA \Longrightarrow ST'\parallel AB \Longrightarrow T ...

\angle OCB \equiv \angle SCB\overset{KS=KC=KB}=\dfrac{\angle SKB}{2}=\angle OKB \Longrightarrow OCKB εγγράψιμο και T\in OK μεσοκάθετη του SB \Longrightarrow \angle STC=
\overset{TS=TB}=2\angle SBC\overset{SK=KB=KC}=\angle SKC \Longrightarrow TSCK εγγράψιμο \overset{OS=OT} \Longrightarrow OC=OK ...

Άσκηση 55 Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που είναι λύσεις της εξίσωσης

Αν το 7 είναι σωστό είναι στη σωστή θέση λόγω της συνθήκης 752, άρα καταρρίπτεται η συνθήκη 714 αφού το 7 δεν είναι στη λάθος θέση, άρα το 7 είναι λάθος και άρα από τη συνθήκη 287 τα σωστά ψηφία είναι τα 2 και 8 αλλά στις λάθος θέσεις και άρα ο αριθμός είναι ο \overline {b28} ή ο \overline{8b2} ή ο ...

Να βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό, το άθροισμα των ψηφίων του οποίου διαρείτε με το $11$ αφήνοντας υπόλοιπο $3$ και το άθροισμα των ψηφίων του επόμενου από αυτόν αριθμού διαιρείτε με το $11$ αφήνοντας υπόλοιπο $7$.

Αν ο αριθμός n δεν έληγε σε 9 θα ήταν -1=S(n)-S(n+1) \equiv -4(\mathrm{mod}11 ...

Αγορίνες μου σας έφτιαξα ένα δώρο για τη γιορτή μου :) .
Οι διχοτόμοι BE,CF τριγώνου \vartriangle ABC τέμνονται στο σημείο I και οι μεσοκάθετοι των τμημάτων BE,CF τέμνονται στο σημείο P.
Τα σημεία X,Y είναι τα συμμετρικά των E,F ως προς τις ευθείες CI,BI αντίστοιχα και D \equiv (BPX)\cap (PYC)(D ...

Χωρίς modulo 2 γράφουμε
\dfrac{5}{5k+4}=\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)(5k+4)}=
=\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)(5k+4)+1}+\dfrac{1}{(k+1)(5k+4)\left [(k+1)(5k+4)+1\right ]}
και με αυτό τον τρόπο μπορούμε να παράξουμε άπειρους όρους τέτοιας μορφής από την \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n(n ...

Εκτός φακέλου το Δ5.
Δ5. Καθώς x\rightarrow 1^{+}:\displaystyle f(x)=\int \limits_{e}^{x} \dfrac{1}{\ln y} dy=-\int \limits_{x}^{e} \dfrac{1}{\ln y}dy=-\int \limits _{\ln x}^{1} \dfrac{e^z}{z}dz \leqslant -\int \limits _{\ln x}^{1} \dfrac{z+1}{z}dz=\ln x+\ln \left (\ln x\right)-1 \rightarrow -\infty ...

Στο εσωτερικό ενός παραλληλογράμμου $ABCD$ υπάρχει σημείο $P$ τέτοιο, ώστε $\angle PAD = \angle PCD$.
Να αποδείξετε ότι $\angle PBC = \angle PDC$.
paral_equal_angles.png

\bullet Ο κύκλος (P,PA) επανατέμνει την ευθεία AD στο σημείο X και είναι \angle DXP=\angle PAD=\angle DCP \Longrightarrow C,P ...

Το σύνολο $X$ αποτελείται από δέκα διαφορετικούς θετικούς ακέραιους τέτοιους, ώστε για κάθε $k=2, \ldots , 10$ το άθροισμα οποιονδήποτε $k$ εξ αυτών των αριθμών διαιρείται με το $k$. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή, την οποία μπορεί να πάρει ο μέγιστος εξ αυτών των αριθμών.

Αντιγράφω τη λύση ...

Δ4) Ας το δυσκολέψουμε λίγο .