Η αναζήτηση βρήκε 114 εγγραφές

από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δευ Ιούλ 15, 2024 1:10 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά και λόγος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 114

Re: Συνευθειακά και λόγος

α) Έστω $\{M\}=CT\cap SP$ $\angle SCM$ $=\angle ABS$ $=\angle TSM$ $\Rightarrow \triangle CMS\sim \triangle SMT$ $\Rightarrow \dfrac{CM}{SM}=\dfrac{MS}{MT}=\dfrac{SC}{TS}$ $\Rightarrow MS^2=CM\cdot MT=MP^2$ οπότε το $M$ είναι μέσον του $SP$ β) Έστω $\varphi=\angle ASP$, $x=SP$, $\dfrac{CT}{TM}=\lam...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κυρ Ιούλ 14, 2024 9:20 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ορισμός Αριθμού;
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 642

Re: Ορισμός Αριθμού;

S.E.Louridas έγραψε:
Κυρ Ιούλ 14, 2024 5:05 pm
Φυσικός Αριθμός (με την Πυθαγόρεια αντίληψη του πράγματος)
Χαίρετε,

είναι εύκολο να δώσετε μια-δυο κατευθύνσεις ως προς το τι σημαίνει αυτό?

(Αναφέρομαι στο "Πυθαγόρεια αντίληψη των (φυσικών) αριθμών")
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κυρ Ιούλ 14, 2024 3:03 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Απόδειξη του ορισμού του ορίου με Γ' Λυκείου (ορθό)
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 125

Απόδειξη του ορισμού του ορίου με Γ' Λυκείου (ορθό)

Δίνεται συνάρτηση $f\colon \mathbb{R}-\{x_o\}\to\mathbb{R}$ και $\ell\in\mathbb{R}$ Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά και μόνο ύλη και ιδιότητες που είναι διαθέσιμες σε έναν υποψήφιο των πανελλαδικών εξετάσεων, να αποδειχθεί ότι: $\lim\limits_{x\to x_o}f(x)=\ell$ $\ {\color{red}\Rightarrow}\ $ $\forall \...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κυρ Ιούλ 14, 2024 1:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Αρμονικές Τετράδες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 316

Re: Αρμονικές Τετράδες

Ας δωθούν και τα due credits . Η άσκηση αυτή προέκυψε αφαιρώντας τον τριγωνομετρικό χαρακτήρα και γενικεύοντας το δεύτερο ερώτημα του προβλήματος https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=178&t=76039 στη βάση της (επιδεχόμενης γενίκευσης) λύσης του rek2 (αυτόθι) Εδώ αντί για τρεις ισες γωνίες $\v...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κυρ Ιούλ 14, 2024 12:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Κοινή ρίζα κυβικών πολυώνυμων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 144

Re: Κοινή ρίζα κυβικών πολυώνυμων

ΑΝΑΓΚΑΙΟ Έχουμε $x_o^3+ax_o^2+bx_o+c=0$ (1) $x_o^3+bx_o^2+cx_o+a=0$ (2) $x_o^3+cx_o^2+ax_o+b=0$ (3) Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1,2) λαμβάνουμε $(a-b)x_o^2+(b-c)x_o+(c-a)=0$ (4) Επειδή $a>b$ και $c<a$ από την (4) έπεται πως $x_o\in\mathbb{R}$ Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2,3) λαμβάνουμε $(b-c)x_o^2+(c-a...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Πέμ Ιούλ 11, 2024 9:25 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ημικυκλιακό τμήμα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 247

Re: Ημικυκλιακό τμήμα

Θεωρούμε ότι το $S$ είναι εσωτερικό σημείο της πλευράς $BC$ Ερώτημα A) Όντας υποψιασμένοι από την (κεκρυμμένη) απάντηση του κυρίου Βισβίκη έχουμε: $DE$ $=\dfrac{DE\cdot AS}{AS}$ $=(*)$ Θέτουμε $\hat{A}_1=\angle BAS$ και $\hat{A}_2=\angle SAC$ και κατόπιν εφαρμόζουμε στον αριθμητή το πρώτο θέωρημα το...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Τετ Ιούλ 10, 2024 8:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τριγωνική αστάθεια
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 156

Re: Τριγωνική αστάθεια

Έστω $d$ το ύψος του $\triangle KLS$ από το $S$ Έστω $a$ η πλευρά του $KLMN$ Έστω $r=1$ Έστω $C$ ο Βόρειος Πόλος και $\{D\}=NM\cap SC$ Είναι $d+a=SC>r=1$ οπότε επειδή $ND^2=DC\cdot DS$ (τετράγωνο ύψους σε ορθογώνιο ορθογώνιο τρίγωνο) βρίσκουμε $d=1-a+\sqrt{1-\dfrac{a^2}{4}}$ Οπότε το $(SKL)=\dfrac{1...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Τετ Ιούλ 10, 2024 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελλειπτικές ακρότητες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 82

Re: Ελλειπτικές ακρότητες

Έστω $Q(x_o,y_o)$ το εγγύτερο/πιο απομακρυσμένο σημείο, δηλαδή $Q=N$ ή $Q=S$ Οπότε κατ' αρχάς $ \dfrac{x_o^2}{16}+\dfrac{y_o^2}{12}=1$ (1) Ένα κάθετο διάνυσμα στην εφαπτομένη της έλλειψης στο $Q$ είναι το $\vec{n}=\left(\dfrac{x_o}{16},\dfrac{y_o}{12}\right)$ οπότε θέτουμε $\det (\vec{n},\overrighta...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δευ Ιούλ 08, 2024 8:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Οριακή πεμπτουσία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 290

Οριακή πεμπτουσία

Θεωρούμε μια συνάρτηση f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}
για την οποία γνωρίζουμε ότι \lim\limits_{x\to4}f(x)=6

Να δειχθεί (αυστηρά!) ότι:

κοντά στο x_o=4 ισχύει 5\le f(x)<7

Σημείωση: η άσκηση να λυθεί μόνο με ύλη εντός της Γ' λυκείου
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κυρ Ιούλ 07, 2024 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Αρμονικές Τετράδες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 316

Αρμονικές Τετράδες

Οι ευθείες $OA,OC$ είναι κάθετες Η $OFC$ είναι διχοτόμος της $\angle BOD$ Το $E$ βρίσκεται μεταξύ των $O,B$ Τα σημεία $A,B,C,D$ είναι συνευθειακά, όπως επίσης και τα $A,E,F,G$ καθώς και τα $O,G,D$ Να αποδειχθεί η ανισότητα: $\dfrac{A\color{red}G}{A\color{red}D} + \dfrac{A\color{blue}E}{A\color{blue}...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κυρ Ιούλ 07, 2024 9:25 am
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Περιορισμένη αύξηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 202

Re: Περιορισμένη αύξηση

Έστω ένα σημείο $S\in \{y=x\}$ για το οποίο ισχύει $SA-SB=2a>0$ ( αντί για $a$ έχω $2a$ ) Κατ' αρχάς από την τριγωνική ανισότητα $SA-SB\le AB=8$ οπότε $a\le4$ Το "ίσον" θα ισχύει όταν τα $A,B,S$ είναι συνευθειακά οπότε το $S$ λαμβάνεται ως τομή των ευθειών $AB, \{y=x\}$ οπότε $S=(0,0)$ Αν $a<4$ το $...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Σάβ Ιούλ 06, 2024 11:36 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Προσέφερε τα μέγιστα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 437

Re: Προσέφερε τα μέγιστα

Κατ' αρχάς μερικά προκαταρκτικά. Έστω $\hat{A} = \angle BAC$ Αν $A\ne B^\prime, C^\prime$ τότε ορίζονται οι γωνίες $\hat{A}_1= \angle BAB^\prime<90^o$ $\hat{A}_2 = \angle CAC^\prime <90^o$ Για τις διάφορες περιπτώσεις του τριγώνου $\triangle ABC$ και της μεταβλητής ευθείας θα ισχύει μια από τις παρα...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Πέμ Ιούλ 04, 2024 9:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ισοδυναμία με ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 332

Re: Ισοδυναμία με ολοκλήρωμα

$\color{red}(\Leftarrow)$ Το αντίστροφο της υπό εξέτασιν αληθεύει (ακόμη και αν η $P$ δεν είναι πολυωνυμική), διότι ουσιαστικά λέει ότι οι αρμονικές συναρτήσεις ικανοποιούν τη mean value property επί της 1-σφαίρας κέντρου $(0,0)$ και ακτίνας $1$ Πράγματι αν η $P$ είναι αρμονική τότε $P(0,0)=\dfrac{1...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Τετ Ιούλ 03, 2024 9:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Επίπεδο, γωνία, μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και έλλειψη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 257

Re: Επίπεδο, γωνία, μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και έλλειψη

Καλημέρα καλημέρα. Πραγματικά Ιάσωνα και πάντα κατά την προσωπική μου άποψη, εκπόνησες μία τέλεια Μαθηματική διαπραγμάτευση. Από την μεριά μου θέλοντας όχι μόνο την ύπαρξη σε ένα «συνεχώς επίπεδο και συμπαγή χώρο (επίπεδο)», αλλά και την κατασκευαστική απόδοση στηρίχτηκα: Στην κατασκευή τμήματος $\...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Τετ Ιούλ 03, 2024 9:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Πανελλήνιες 2023 Δ1,Δ2 spin-off
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 271

Πανελλήνιες 2023 Δ1,Δ2 spin-off

Για τα $x_1,x_2$ και τη συνάρτηση $f$ που αναφέρονται στο θέμα Δ των πανελληνίων εξετάσεων του 2023 (ειδικότερα στα δυο πρώτα ερωτήματα Δ1 και Δ2) https://drive.google.com/file/d/1fPIm_ogstGy1lkDWE7OMQqzIACgdDxey/view να αποδείξετε τα ακόλουθα: #1. $x_2>\dfrac{5}{3}$ #2. $x_1\ge 2-\sqrt{3}$ #3. Να α...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Τρί Ιούλ 02, 2024 11:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Επίπεδο, γωνία, μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και έλλειψη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 257

Re: Επίπεδο, γωνία, μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και έλλειψη

Έστω $\varphi$ το μέτρο της γωνίας $\angle xOy$ και ας υποθέσουμε ότι $0^o<\varphi<180^o$ Έστω ότι η ημιευθεία $O\delta$ είναι η (εσωτερική) διχοτόμος της $\angle xOy$ Για το τμήμα $KL$ έστω ότι $K\ne L$ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δεν μπορούμε πάντοτε. Δοθείσης της έλλειψης και της γωνίας για κάθε τμήμα $KL$ ...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κυρ Ιουν 30, 2024 2:20 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Σχεση συνεχειας f' με παραγωγισιμοτητα f
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 354

Re: Σχεση συνεχειας f' με παραγωγισιμοτητα f

Κακώς δεν το διευκρίνισα, αλλά ναι στην τρίτη συνεπαγωγή αναφερομουν. Πάντως αυτό δεν μπορώ να το χρησιμοποιήσω φαντάζομαι στις πανελλαδικές εξετάσεις Η τρίτη (μη) συνεπαγωγή στην έκτη ανάρτηση πρέπει να συνοδεύεται από παράδειγμα (είναι που ακούγεται και λάθος!) Η συνεπαγωγή στην ένατη ανάρτηση μπ...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κυρ Ιουν 30, 2024 9:44 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Σχεση συνεχειας f' με παραγωγισιμοτητα f
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 354

Re: Σχεση συνεχειας f' με παραγωγισιμοτητα f

Άρα για να ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει το διάστημα που δουλεύουμε πρέπει να είναι κοινό και στην f' και στην f Ναι στην περίπτωση "κοινού διαστήματος" η τρίτη συνεπαγωγή "αποκαθίσταται". Λόγω της πρώτης συνεπαγωγής για κάθε σύνολο $B\subseteq\mathbb{R}$ μπορούμε να πούμε: #3'. $f^\prime$ συνεχής στο...
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κυρ Ιουν 30, 2024 1:17 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Τριγωνομετρική ανισότητα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 145

Τριγωνομετρική ανισότητα

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x,y για τους οποίους ισχύουν:
\bullet\ 0<x<\dfrac{\pi-y}{2}
\bullet\ 0<y<\pi

Να αποδειχθεί η ανισότητα:
\sigma\varphi x-\sigma\varphi (y+x)> 2\cdot\varepsilon\varphi\dfrac{y}{2}
από Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κυρ Ιουν 30, 2024 12:25 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Σχεση συνεχειας f' με παραγωγισιμοτητα f
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 354

Re: Σχεση συνεχειας f' με παραγωγισιμοτητα f

#1. $f^\prime$ συνεχής στο $x_o$ $\Rightarrow$ $f^\prime$ ορίζεται στο $x_o$ $\Rightarrow$ $f$ παραγωγίσιμη στο $x_o$ Όπως έχει ήδη επισημανθεί στην τρίτη ανάρτηση έχουμε #2. $f$ παραγωγίσιμη στο $x_o\nRightarrow$ $f^\prime$ συνεχής στο $x_o$ ενώ το παράδειγμα που προτείνεται στην πέμπτη ανάρτηση ε...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση