ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 JUNIORS

Παρατηρώ πως : α + β = 1, επομένως α + β + (-1) = 0
Οπότε από ταυτότητα του Euler: α^3 + β^3 + (-1)^3 = 3*α*β*(-1) που σημαίνει: α^3 + β^3 = 1 - 3*α*β

Δουλεύω την ζητούμενη ανισότητα ισοδύναμα μέχρι να καταλήξω σε κάτι που ισχύει:

- πολλαπλασιάζω και τα 2 μέλη με α*β οπότε ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1Β ΜΙΚΡΟΙ

Παρατηρούμε πως $ab\neq 0 $
(Αν α=0 τότε x*y*z=0 άτοπο, παρομοίως για β)

Οπότε : $(xy+yz+zx)^{2}=(\frac{xyz}{b})^2$ (1)

Όμως από 1Α

$(xy+yz+zx)^2\geq3*(xy*yz+yz*zx+zx*xy)=3*xyz*(x+y+z)= 3*xyz*\frac{xyz}{a}$ (2)

Από (1), (2) προκύπτει η ζητούμενη ανισότητα.

Το ίσον ισχύει ...