NewMember έγραψε: Δευ Μαρ 16, 2026 5:48 pm Είδα μια λίστα στην ιστοσελίδα της ΕΜΕ με βραβεία Ευκλείδη Α, Β, Γ ανάλογα με τις τάξεις.

Μπορείτε να στείλετε το λινκ;

.
Δείξτε ότι κάθε άρτιος αριθμός $\ge 40$ γράφεται ως άθροισμα δύο περιττών σύνθετων (μη πρώτων) αριθμών.

(Για παράδειγμα $40=15+25$. Τυχαίνει μάλιστα στο συγκεκριμένο παράδειγμα η διάσπαση αυτή να είναι μοναδική, αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα.)

Μια διευκρίνιση, όταν εννοείτε μη πρώτων και ...

Καλησπέρα, παραθέτω την λύση του 4ου θέματος που έγραψα στον διαγωνισμό:Εστω με απαγωγή σε άτοπο πως $y^2+108=k^3$,$k\in \mathrm{Z}$. Εάν ο $k$ άρτιος, τότε πρέπει και ο $y$ άρτιος, άρα έστω $k=2l$ και $y=2x$, $l,x\in \mathrm{Z}$. Τότε η αρχική γίνεται:
$x^2+27=2l^3$. Έχουμε επίσης $2l^3\equiv 0,2,6 ...

Έστω $E$, σημείο της πλευράς $AD$ ορθογωνίου $ABCD$ (με $AD=BC=a>AB=CD=b$)
Η παράλληλη της $BC$ από το $L=BE \cap AC$ , τέμνει την $AB$ στο $F$
a. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών : $(FAE)+(EDC)=(CBF)$
b. Βρείτε γεωμετρικά (κατασκευή) τη θέση του $E$ στην $AD$, ώστε $CE \perp FE$

Για το δεύτερο ...

Φέρω την κάθετη SR προς το ΑΒ. Ορίζω Κ το σημείο τομής της SR με την DC. Αρχικά, θα βρω το PT συναρτήσει του a,b,SR. Από την ομοιότητα των τριγώνων SPT, SAB έχουμε:$\frac{PT}{a}=\frac{SK}{SR}\Rightarrow PT=\frac{a\cdot SK}{SR}$. Παρατηρώ πως το PT εξαρτάται μόνο από το ύψος SR και όχι απο το πόσο ...

Έστω χ ο μεγαλύτερος και y ο μικρότερος αριθμός. Ισχύει:
$x-y=24$ (1)
$|\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}|=6\Rightarrow \frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}=6$ (Καθώς από ΑΜ-ΓΜ $\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$) (2)
Η (1) γίνεται: $x=24+y$ και αντικαθιστώντας την στην (2) έχουμε:
$\frac{24+2y}{2}-\sqrt{(24+y)y}=6 ...

Ορίζω ως Ε το σημείο τομής της AS με την BM και ως R το μέσο του AD.
$(ACS)=(ABC)-(ABE)+(CMS)+(SME)=8-(ABE)+(CME)+(SME)$ (1)
$ARS\sim EMS$, και αφού $RS=4+MS$, ισχύει η σχέση:
$\frac{4+MS}{MS}=\frac{2}{ME}\Leftrightarrow ME=\frac{2MS}{4+MS}$ (2)
$BE=2-ME=\frac{8+2MS}{4+MS}-\frac{2MS}{4+MS}=\frac{8 ...

Α) Φέρνω τον περιεγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AST. Αφού $\angle AST=90^{\circ}$, η ΑΤ είναι διάμετρος και αρκεί να βρούμε το σημείο S όπου ο περιεγγεγραμμένος κύκλος είναι ο ελάχιστος. Με ΠΘ στο ACD και στο ADB βρίσκω $AD=\frac{60}{13}$, $CD=\frac{50}{26}$. Θέτω $DS=x$. Έτσι από ΠΘ στο ADS έχω ...

Για το α):
Έχουμε: $x^2+4y^2=4\Leftrightarrow \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$
Η απόσταση των εστιών απο το κέντρο της έλλειψης ορίζεται από τον τύπο $f=\sqrt{max(z,w)^2-min(z,w)^2}$, όπου $\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{w^2}=1$ η εξίσωση της έλλειψης. Σε αυτή την περίπτωση $z=2$ και $w=2$, άρα $f ...

Στο τρίγωνο DEB $\angle DEB=90-\theta ^{\circ}\Leftrightarrow \angle DEC=90+\theta ^{\circ}$. Στο τρίγωνο DEC $\angle DCE=180-\theta -90-\theta =90-2\theta$, και στο τρίγωνο ABC $\angle ABC=90-\angle ACB=2\theta$. Άρα $\angle ABD=\angle DBE=\theta$ και έπεται ότι $ABD\sim DBE$.
Από τις σχέσεις ...

Το πως προέκυψε;

Στο τρίγωνο DEB $\angle DEB=90-\theta ^{\circ}\Leftrightarrow \angle DEC=90+\theta ^{\circ}$. Στο τρίγωνο DEC $\angle DCE=180-\theta -90-\theta =90-2\theta$, και στο τρίγωνο ABC $\angle ABC=90-\angle ACB=2\theta$. Άρα $\angle ABD=\angle DBE=\theta$ και έπεται ότι $ABD\sim DBE$.
Από τις σχέσεις ...

Για το α: Θέτω $a=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}}$
Τότε $f(x)=a-a^2$. Έχουμε $a-a^2=\frac{2}{9}\Leftrightarrow -a^2+a-\frac{2}{9}=0$. Με διακρίνουσα βρίσκουμε τις λύσεις $a=\frac{1}{3}$ και $a=\frac{2}{3}$.
Παίρνουμε πρώτη περίπτωση $a=\frac{1}{3}$:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{3 ...

$BH\cdot CH=1\cdot (4+2)=6$ (1)
$BI\cdot ID=5\cdot 2=10$ (2)
Προφανώς τα τρίγωνα $BHI$ και $BCD$ είναι όμοια, αφού $HI\parallel CD$ και B,H,C και Β,Ι,D συνευθειακά. Έτσι έχουμε $\frac{BC}{BH}=\frac{BD}{BI}\Leftrightarrow \frac{BC}{BD}=\frac{BH}{BI}$(3).Τώρα από τις σχέσεις (1),(2) έχουμε: $BH=\frac ...

$f'(x)=\frac{2e^x*(x^2-2x-4)}{(x^2-4)^2}$
Πρέπει $f'(x)=0$, άρα $2e^x*(x^2-2x-4)=0$. Καθώς το $2e^x$ δεν μηδενίζει για οποιαδήποτε τιμή του χ, πρέπει $x^2-2x-4=0$ Με διακρίνουσα βρίσκουμε πως οι λύσεις είναι $1-\sqrt{5}$ και $1+\sqrt{5}$, όμως αφού $x>2$, το ελάχιστο προκύπτει όταν $x=1+\sqrt{5 ...

LXXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
20 Μαρτίου 2022 $\bullet $ 10η τάξη

Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό $n$, που κατέχει την ακόλουθη ιδιότητα: για οποιονδήποτε περιττό πρώτο αριθμό $p$, μικρότερο του $n$, η διαφορά $n-p$ είναι κι αυτή πρώτος αριθμός. (Ι. Ακούλιτς ...

Καλησπέρα, ξέρουμε αν θα ανακοινωθούν τα αποτελέσματα των μικρών σήμερα;

2
Χωρίς τη χρήση αριθμομηχανής, να υπολογίσετε την τιμή της ρίζας $\displaystyle A = \sqrt {19 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 22 + 1}. $

24 ώρες μόνο για μαθητές.

Ορίζουμε $χ=19$ και αντικαθιστούμε ώστε η ρίζα να γίνει $\sqrt{x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot (x+3) + 1}$.
Κάνω τις επιμεριστικές ανάμεσα ...

Ευχαριστώ!