mathematica.gr

Ορίζουμε $\displaystyle G(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n, \quad a_n=\binom{3n}{n}. $ Εστω $\displaystyle f(u)=\frac{u}{(1+u)^3}, $ με $f(0)=0$ και $f'(0)=1$. Έστω $u(z)$ η αντίστροφη γύρω από το $0$, δηλαδή $\displaystyle z = f\bigl(u(z)\bigr). $ Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle u(z)=\sum_{n=1}...

Μου φυγε ενα n, ήθελα να εμφανίσω το για να είναι ξεκάθαρο


...

$\displaystyle L =\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n k^a}{\sum_{k=1}^n k^b}\;n^{\,b-a}. $ $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \frac{(\sum_{k=1}^n k^a)/n^a}{(\sum_{k=1}^n k^b)/n^b} = \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\bigl(\tfrac{k}{n}\bigr)^a} {\displaystyle\sum_{k=1}^n\bigl(\tfrac...

$\displaystyle \sin^5x\cos^5x = (\sin x\cos x)^5 = \Bigl(\tfrac12\sin2x\Bigr)^5 = \tfrac{1}{32}\,\sin^5(2x), $ $\displaystyle t = 2x,\quad dt = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{dx}{\sin^5x\cos^5x} = 32 \int \frac{dx}{\sin^5(2x)} = 16 \int \csc^5t\,dt. $ Αυτός είναι άλλος τρόπος.Δεν ξέρω πω...

** $\displaystyle u = \tan x, \quad du = \sec^2 x \,dx = (1 + \tan^2 x)\,dx …$ EDIT:(ΣΥΝΕΧΕΙΑ) $\displaystyle \frac{1}{\sin^5 x \cos^5 x} = \frac{(\sec^2 x)^{5/2}}{\tan^5 x} = \frac{(1 + u^2)^{5/2}}{u^5}. $ $\displaystyle \int \frac{1}{\sin^5 x \cos^5 x}\,dx = \int \frac{(1 + u^2)^{5/2}}{u^5}\,\frac...

Κριτηριο παρεμβολης: (έχω σκεφτεί και λύση με euler weistrauss $\displaystyle P_n \;=\;\prod_{k=1}^n\Bigl(1+\tfrac{k}{n^2}\Bigr). $ για κάθε $k$ $\displaystyle e^{\bigl(\tfrac{k}{n^2}-\tfrac{k^2}{n^4}\bigr)} \;\le\;1+\tfrac{k}{n^2} \;\le\;e^{\tfrac{k}{n^2}}, $ οπότε $\displaystyle \exp\!\Bigl(\sum_{...

Αρχικά,ευχαριστώ dimessi.Φαίνεται να υπάρχει ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ καθυστέρηση στη ανταπόκριση του του server.Εικάζω να προκαλέιται ddos crash απο bot attack.Για να το δείτε μπορέιτε να κάνεται thresholds >1000 req/s Ip.Aν προκαλέιται απο αιτήματα μπορείτε να βάλεται throttling στο Web‑Server απο java.(θεωρώ π...

Αναλόγως την ερμηνεία.Εγώ καταλαβαίνω ότι αν έχουν ίσες πλευρές (αντίστοιχες ) ,και n−3 ίσες γωνίες (αντίστοιχες ) είναι ίσα-αυτό λέει όμως και η αρχική...

Καλησπέρα,αρχικά να συγχάρω τον stranger για την εξαιρετική δουλεία του.Αφότου κατάλαβα κάπως το ειρμό της απόδειξης,πιστεύω ότι είναι λογιστικά ορθή.Οσον με αφορά(αν δεν κανω λάθος γιατί δεν είμαι και expert) νομίζω οτι έχει ενα μικρό υπολογιστικό το λημμα 4.2 και 2.3(βλ.δεύτερο μέρος του πόστ).Αν ...

Δεν κλέβω την πρόταση του dimessi ( \href{https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=133&t=77679}{\textcolor{blue}{εδώ}}.) για την taylor αν και θεώρω οτι τέτοιες προσεγγίσεις πέραν της ύλης είναι περιττές πάνω σε ασκήσεις που εδράζονται, κατά κυριο λόγο, στη θεωρεία... Έστωσαν οι $\displaystyle I...

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ:(ο πρώτος όρος είναι μεγαλύτερος) Θέτουμε $N = a^{b}$. Θέλουμε να δείξουμε $\displaystyle a^{\,b!} \;>\; (a^{\,b})! (η ισότητα δεν ισχύει ποτέ) \quad\Longleftrightarrow\quad \ln\bigl(a^{\,b!}\bigr) > \ln\bigl((a^{\,b})!\bigr). $ Αφού $\displaystyle \ln\bigl(a^{\,b!}\bigr) = b!\,\ln(a), $ α...

Βλέποντας παλιά θέματα του Putnam έπεσα πάνω στο πρόβλημα Α6 του 1992 https://prase.cz/kalva/putnam/putn92.html Βρίσκω 1/8 θεωρώντας τον μέσο όρο του μέτρου των 3 ευθύγραμμων τμημάτων(1 διάστασης) τα οπόια μετασχηματίζονται ορθοκανονικά και σχηματίζουν το 3-διάστατο επίπεδο και τον διαιρώ με το ισοδ...

$\displaystyle h = \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) R. $ Η σφαίρα δίδεται $\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = R^2. $ η τομή ορίζεται από τις τιμές του $ z $ από $ z = R-h $ έως $ z = R $. Σε κάθε επίπεδο $ z $: $\displaystyle A(z) = \pi \left( R^2 - z^2 \right). $ Άρα, ο όγκος $ V $ : $\displaysty...

Βρίσκω $\displaystyle \boxed{\min_{R\in SO(n)} \; \max_{1\le i\le n} \left\{ \frac{\sum_{j=1}^{n} \bigl|R_{ij}\bigr|\, a_j}{A_i} \right\} \le 1.} $ Για ορθογώνιο με πλευρές $a$ και $b$ ) και $A$ και $B$ , ορίζουμε τον μετασχηματισμό $\displaystyle R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \...

Τελικά το συγκεκριμένο βγαίνει $\displaystyle \mathcal{J} = \sum_{n=1}^{\infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \left[ \ln\frac{n^2+k+1}{\,n^2+k} - \frac{1}{n^2+k+1} \right] $ που,δεν νομίζω ότι απλοποοιείται με κάποιο συμβατικό τρόπο.Βέβαια αν το πάμε από νωρίς(διαστήματα και π.ε μεταβλητών)με προσέγγιση των λο...

Αλλιώς (δεν αλλάζει η γενικότητα αν ορίσουμε αρχική τιμή του κ) Θεωρούμε το $\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\prod_{j=1}^{\infty} \left(\frac{(2j)^{2^k}-1}{(2j)^{2^k}+1}\right)^{\frac{1}{2^k}}. $ Ορίζουμε $\displaystyle P(x) = \prod_{k=1}^{\infty} \left(\frac{x^{2^k}-1}{x^{2^k}+1}\right)^{\frac{1}...

Καλησπέρα $\displaystyle P(x)=\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{x^{2^k}-1}{x^{2^k}+1}\right)^{\frac{1}{2^k}} $ αρα $\displaystyle P(x)=\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{1}{2}} \prod_{k=2}^{\infty}\left(\frac{x^{2^k}-1}{x^{2^k}+1}\right)^{\frac{1}{2^k}} $ Εστω$m=k-1$: $\displaystyle \prod_{k=2}^{...

Α ναι λαθος το τελευταίο γιατί πιστεύω ισχύει σε τετράγωνα ή κατι σχετικό με ριζα 2 στη διαγώνιο. Στο 2d είναι : (Το ανέλυσα παραπάνω και βρισκω): $\displaystyle \min_{\theta \in [0, \pi/2]} \max\{a\cos\theta + b\sin\theta,\; a\sin\theta + b\cos\theta\} \le \min\{A, B\}. $ και $\displaystyle R_0 = \...

ΝΑ βρεθεί αν υπάρχει το max του