Βγήκαν οι λύσεις...
Πιο εύκολο το Legendre από την προτεινόμενη λύση για το θέμα 4 των μεγάλων

𝑃 = (x,y) είναι ρητό και έχει πεπερασμένη τάξη στην ελλειπτική καμπύλη (ως ομάδα), τότε:
Οι συντεταγμένες x και y είναι ακέραιοι αριθμοί και είτε y=0, οπότε το σημείο
P έχει τάξη 2, είτε το y διαιρεί τη διακρίνουσα 𝐷, γεγονός που συνεπάγεται ότι το y² επίσης διαιρεί το 𝐷

Εμείς εδώ δεν ...

Το 4 πως βγαίνει σε μία γραμμή;
Ακόμα και με προχωρημένη θεωρία αριθμών κάτω από σελίδα δε μου βγαίνει


Δες το αρχείο που έστειλε ο achilleas (με τις mordell). Είναι πανομοιότυπη με όλες τις άλλες του αρχείου.


Mordell δεν είναι απλή εφαρμογή τύπων
Έχουν και αυτές λίγο δουλίτσα...
Ελπίζω ...

Δεν γνωρίζω για τα παραπάνω, αλλά μια προσιτή πηγή για το θέμα αυτό είναι η εργασία Examples of Mordell's Equation του Keith Conrad .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Πολύ ωραία τα θέματα των μεγάλων φέτος (επιτέλους συναρτησιακή στον Αρχιμήδη!),
εκτός κατά τη γνώμη μου από το 4, που θεωρώ είναι κάπως ...

Αλλά γενικά αν η εξίσωση παριστάνει ελλειπτική καμπύλη τύπου Βάισερστρας (y² = ax³ + bx + c) τότε είτε y=0 είτε y² (και κατ' επέκταση y) διαιρεί την διακρίνουσα.

Επειδή μας παρακολουθούν πολλοί μαθητές, γράψε μας σε παρακαλώ μια παραπομπή ή μια απόδειξη της πρότασης αυτής.


Γράφω γενικά για ...

Γενικά τις ακέραιες ρίζες ελλειπτικών καμπύλων μπορούμε να τις περιορίσουμε υπό συνθήκες όπως περιγράφει πολύ καλά ο Silverman στο Silverman-Arithmetic of Elliptic Curves (Θεώρημα 9.7.2).


Μπορείς να μας πεις τι λέει το Θεώρημα 9.7.2 και πως το εφαρμόζεις εδώ στο συγκεκριμένο πρόβλημα και ...

Γενικά τις ακέραιες ρίζες ελλειπτικών καμπύλων μπορούμε να τις περιορίσουμε υπό συνθήκες όπως περιγράφει πολύ καλά ο Silverman στο Silverman-Arithmetic of Elliptic Curves (Θεώρημα 9.7.2).


Μπορείς να μας πεις τι λέει το Θεώρημα 9.7.2 και πως το εφαρμόζεις εδώ στο συγκεκριμένο πρόβλημα και ...

Για το θεμα 4 των senior
Θελουμε $y^2+108=a^3$
Παίρνωντας $mod \: 9$ βλέπουμε $y^2 \equiv a^3$ δηλαδη $y^2 \equiv 1 (mod \: 9)$
H έκφραση $y^2=a^3-108$ αποτελεί ελλειπτική καμπύλη
Για $y=0$ έχω $a^3=108$ Άτοπο
Για να έχει λύσεις πρέπει το $y|108$ άρα το $y^2|3^9*2^4$
Όμως το $y$ δεν είναι πολ.9 ...

Πρόβλημα 3 Μεγάλων:
Για χ=y=0 : $f(0)+f(0)=10f(0) \Rightarrow f(0)=0$
Για y=0 : $f(x)+f(2x)=5f(x) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{4}f(2x)$
Για χ=0 : $f(2y)+f(-y)=5f(y)\Rightarrow f(-y)=f(y)$
Με ισχυρή επαγωγή αποδεικνύω ότι : $f(x)=\frac{1}{n^{2}}f(nx)$ για κάθε φυσικό αριθμό.
Base case: Για n=1 ...

juan έγραψε: Σάβ Φεβ 22, 2025 4:47 pm Η αλήθεια ειναι πως δεν έδινε περιορισμό για τις υπολοιπες ρίζες. Προσωπικά δεν βρήκα τις μιγαδικες αν και θεωρητικά αυστηρά μιλώντας τις ζητουσε.

Τις έβαλα σε παρένθεση καλού κακού
Εφόσον στη παραγοντοποίηση βάλεις το x²+1 δε νομίζω να υπάρχει πρόβλημα

juan έγραψε: Σάβ Φεβ 22, 2025 4:31 pm Ναι σωστά!

Λες να πειράζει η υπόθεση ότι οι δύο λύσεις είναι ρητές;
Ώστε να το θεωρήσουμε πολυώνυμο, να βρούμε τα m και n και με Χόρνερ τις άλλες λύσεις
Το αποτέλεσμα πάλι σωστό θα βγει (δύο πραγματικές λύσεις -1 και -4 και δύο μιγαδικές i και -i)

Καλησπέρες.. Α λυκείου εδώ. Πολύ δύσκολα τα θέματα, το 2 και το 3 (ειδικά) δεν τα άγγιξα καθόλου. Το 1ο θέμα το έλυσα ολόσωστα πλην 1 αριθμητικού, πιθανόν έχω πιάσει τουλάχιστον το μισό. Πάντως τουλάχιστον 3 εκ των 4 θεμάτων απευθύνονταν σε Β λυκείου και πάνω

Καλά αποτελέσματα σε όλους ...

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 08, 2025 10:23 am Διπλός τόπος.pngΣημείο κινείται στην ευθεία : . Οι κάθετες των στα , τέμνονται στο ,

ενώ οι , τέμνονται στο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του , καθώς και εκείνον του .

Για το S η ευθεία x=5
Για το T υπερβολή

Μιχάλη ως προς το "πλησίον του $e$ " , ίσως θα έπρεπε να γράφω " οι ακέραιοι οι πλησιέστεροι προς το $e$ "

αλλά δεν νομίζω ότι μπέρδεψε κάποιους αυτό .

Η αιτιολόγηση όντως ίσως να μην είναι επαρκής ( κάτι που κάνεις παραπάνω ) . Είναι πάντως περίεργο που

δεν το παρατήρησε κανείς ( τότε το ...

1012 + 1013

Καλησπέρα σε όλους! Χωρίς να υπάρχει κάποια "επίσημη" ενημέρωση, προσωπικά το αποκλείω να βγουν πριν τις 10 Φεβρουαρίου. Οπότε λίγη υπομονή!


Συνήθως δεν παίρνει πάνω από 16-17 μέρες να βγουν οι επιτυχόντες και εφόσον τα θέματα ήταν πιο τσιμπημένα φέτος, η διόρθωση θα είναι και πιο εύκολη. Είναι ...

Υπάρχει τρόπος να λυθεί το 2ο θέμα της Β λυκείου χωρίς να μαντεύεις για τις περισσότερες λύσεις;


Ναι, υπάρχουν τρόποι απόδειξης.


...
Και παίζει ρόλο η αιτιολόγηση στη βαθμολογία ...;


Φυσικά!


Απέδειξα το (1,1) και απέδειξα ότι υπάρχουν λύσεις μόνο όταν τηρείται μία συγκεκριμένη ...

Τα σημερινά θέματα έχουν ανέβει στο site της ΕΜΕ και επισυνάπτοναι σε αυτό το μήνυμα.
Για να κάνουμε μία αρχή: Μία λύση για το τελευταίο της Β’ Λυκείου είναι:
${a^3} + {b^3} + {\left( { - 2} \right)^3} = 3ab\left( { - 2} \right) \Rightarrow ... \Rightarrow \left( {a + b = 2} \right) \vee \left ...

Υπάρχει τρόπος να λυθεί το 2ο θέμα της Β λυκείου χωρίς να μαντεύεις για τις περισσότερες λύσεις;
Και παίζει ρόλο η αιτιολόγηση στη βαθμολογία ή απλά οι λύσεις;

...
Ωραία, ευχαριστώ! Στο 3ο που έλεγε για αναγκαία και ικανή συνθήκη, θα αρκούσε να αποδείξουμε ότι α,β ομόσημοι και άρα και οι δύο θετικοί; Αν χρειάζεται κάποια ισότητα ως σχέση (αναγκαστικά θα έπρεπε να υπάρχει α και αριστερά και δεξιά) ποια θα ήταν;


Δεν αρκεί να είναι οι $a,b$ και οι δύο ...