STOPJOHN έγραψε: Τρί Απρ 14, 2026 8:35 am
Προσθέτω ενα δεύτερο ερώτημα Να αποδειχθεί οτι ο κύκλος

εφάπτεται στην

και το ζητούμενο έπεται.

Πρόβλημα 3:
Έστω $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί ώστε $ab+bc+ca=-3$ και $a^2+b^2+c^2=6$
Αποδείξετε ότι $(|a|-1)(|b|-1)(|c|-1)(|a|+|b|+|c|-4) \geq 0$


Μπορείς κάποιος να αναρτήσει λύση;



Επειδή
$\displaystyle
(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0,
$ έχουμε
$\displaystyle
a+b+c = 0.
$
WLOG ...

GtDC έγραψε: Σάβ Φεβ 28, 2026 11:33 pm Έλυσε κανείς το 3ο θέμα στου Λυκείου ?
Είναι k=11 ?

Μου είπαν πως επιβεβαιώθηκε και από την ΕΜΕ ότι . Αρκετά παιδιά το έλυσαν απ'όσο ξέρω, ας ανεβάσει κάποιος τη λύση του. Μέχρι τότε, δοκίμασε να κοιτάξεις τα τετράγωνα για να βγαλεις το φράγμα.

Δε βλέπω λύση για το 4ο της β' λυκείου, οπότε θα γράψω τη δικιά μου. Πληροφορήθηκα από φίλους πως βγαίνει και με Vieta.
Είναι $\Delta = (a+b)^6-16ab(a+b)+4 >0$ που είναι άμεσο ανοίγοντας την ταυτότητα, άρα το πρώτο ερώτημα έπεται.
Όσον αφορά το δεύτερο, η εξίσωση $x^2-(a+b)^3 x +4ab(a+b) -1=0$ έχει ...

Προφανώς η μηδενική δουλεύει, έστω υπάρχει $c \in \mathbb R$ ώστε $f(c) \neq 0$
$P(x,y)$ ο ισχυρισμός $f(f(x)+y)^2=f(x^2)+yf(2x+y)$
Ισχυρισμός: If $f(a) = f(b)$ για κάποια $a < b$, τότε $f(x) = f(x + 2(b-a))$ για κάθε $x \neq 2a$.
Απόδειξη: Από $P(a,0)$ και $P(b,0)$, έχουμε $f(a^2) = f(b^2)$.
$P(a,y ...

'Εστω $P(x,y)$ o ισχυρισμός $f(x+f(x+y))=x+f(f(x)+y)$.
$P(x,-f(x)) \implies$ η $f$ είναι επί.
'Εστω $c \in \mathbb R$ τέτοιο ώστε $f(c)=0$, τότε $P(c,0) \implies c=-f(0)$.
Iσχυρισμός: $f(f(x) - f(0) - f(f(x))) = x - f(x)$ για κάθε $x$.
Απόδειξη: Σταθεροποιούμε πραγματικά $x$, $t$ τέτοια ώστε $f(t ...

Για το 1ο
Αρχίζουμε από μια σκακιέρα με 64 πύργους.
Θα χρησιμοποιώ το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούν και οι σκακιστές για τη λύση.
Προφανώς η πρώτη αφαίρεση πύργου μπορεί να γίνει μόνο από τα τετράγωνα της στήλης α/θ και γραμμής 2 ως 7 ή από αυτά της γραμμής 1/8 και στηλών β ως η.
Χωρίς ...

Ας συμπληρωθεί ότι η παραπάνω λύση είναι αυτή που δημοσιεύθηκε εδώ.

Σωστά

Μια άλλη λύση για το 4ο των senior
Έστω ότι υπάρχουν $x,y \in \mathbb{Z}$ ώστε $y^2 + 108 = x^3$.
Αν ο $x$ άρτιος, $x = 2a$, $a \in \mathbb{Z}$. Τότε $y^2 + 108 = 8a^3$, άρα το $y$ επίσης άρτιο $\iff y = 2z$, $z \in \mathbb{Z}$.
Έπεται $z^2 + 27 = 2a^3$. Ο $z$ πρέπει να είναι περιττός, άρα η ...

\

Μια άλλη λύση για το 3 των seniors
Έστψ $P(x,y)$ η πρόταση $f(x+2y)+f(2x-y)=5f(x)+5f(y)$
και $c=f(1)$

$P(0,0)$ $\implies$ $f(0)=0$
$P(x,0)$ $\implies$ $f(2x)=4f(x)$
$P(0,x)$ $\implies$ $f(-x)=f(x)$

$P(nx,-x)$ $\implies$ $f((2n+1)x)=5f(nx)-f((n-2)x)+5f(x)$
Σε συνδυασμό με το $f(2nx)=4f(nx ...

\

H έκφραση $y^2=a^3-108$ αποτελεί ελλειπτική καμπύλη

Πώς χρησιμοποιείς ότι είναι ελλειπτική καμπύλη; Χρησιμοποιείς κάποιο Θεώρημα; Γιατί πρέπει $y\mid 108$;

Υπάρχει ναι. Γενικά τις ακέραιες ρίζες ελλειπτικών καμπύλων μπορούμε να τις περιορίσουμε υπό συνθήκες όπως περιγράφει πολύ καλά ο ...

Εγώ είμαι α λυκείου χωρίς σοβαρές διακρίσεις στο παρελθόν (χωρίς μετάλλιο στους 2 προηγούμενους Αρχιμήδηδες). Φέτος είχα προετοιμαστεί κάπως καλύτερα. Μου φάνηκαν δύσκολα τα θέματα γενικά. Στο 1ο απέδειξα (εσφαλμένα) $m+n \geq 125$ ονομάζοντας τις 2 πραγματικές ρίζες του πολυωνύμου και αφαιρώντας ...

Για το θεμα 4 των senior
Θελουμε $y^2+108=a^3$
Παίρνωντας $mod \: 9$ βλέπουμε $y^2 \equiv a^3$ δηλαδη $y^2 \equiv 1 (mod \: 9)$
H έκφραση $y^2=a^3-108$ αποτελεί ελλειπτική καμπύλη
Για $y=0$ έχω $a^3=108$ Άτοπο
Για να έχει λύσεις πρέπει το $y|108$ άρα το $y^2|3^9*2^4$
Όμως το $y$ δεν είναι πολ.9 άρα ...