Αγαπητέ duamba, αυτό είχα κατά νου. Το ενδιαφέρον σ' αυτήν τη λύση είναι ότι ο διαβήτης χρησιμοποιείται ακριβώς δύο φορές, μόνο για τον σχηματισμό των δύο κύκλων, χωρίς να χρησιμοποιηθεί και για «μέτρηση» και «μεταφορά» συγκεκριμένων μηκών. Σ' ευχαριστώ!

Μιχάλη, ευχαριστώ. Κομψό, λιτό και απέρριτο!

Δίνεται ευθεία ε και σημείο P εκτός της ευθείας. Να κατασκευαστεί ευθεία παράλληλη προς την ε που να διέρχεται από το σημείο P, χρησιμοποιώντας το πολύ δύο φορές τον διαβήτη και το πολύ δύο φορές τον κανόνα.

Κώστα, σ' ευχαριστώ θερμά για τα σχήματα. Γνώριζα ότι το GeoGebra έχει τέτοιες φοβερές δυνατότητες, αλλά δεν γνώριζα ότι υπάρχουν άνθρωποι στο ορατό σύμπαν που γνωρίζουν σε βάθος αυτές τις δυνατότητες.

*Και μια ερώτηση σχετική με το animation: Υπάρχει τεχνικός λόγος που έχουμε διαφορετικά κουμπιά ...

Έστω κύλινδρος Κ και επίπεδο Ε το οποίο τέμνει τον κύλινδρο και δεν είναι παράλληλο με τον άξονα του κυλίνδρου. Είναι γνωστό ότι η τομή του κυλίνδρου Κ από το επίπεδο Ε είναι μια έλλειψη. Στην ειδική περίπτωση που το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου η τομή είναι κύκλος, ενώ όσο ...

Πράγματι, είχα ανεβάσει το ίδιο πρόβλημα με ευθεία που μου είχε προκύψει από κάποιο τελείως άσχετο πρόβλημα. Επειδή μου άρεσε εκείνο το πρόβλημα, σκέφτηκα τι μπορεί να γίνεται αν αντί για ευθεία έχω κύκλο, ωστόσο ενώ βρήκα τον τόπο (πρακτικά, δεν γνωρίζω τόσο καλά το geogebra ή κάποιο άλλο εργαλείο ...

Εάν το πρόβλημα έχει ξανατεθεί από άλλο μέλος, παρακαλώ να διαγραφεί από τους διαχειριστές.
Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνεται, επίσης, κύκλος κ και σημείο Α' εκτός του κύκλου κ.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ', όπου Α'Β'Γ' τρίγωνο όμοιο με το ΑΒΓ (γωνία Α'Β'Γ' ίση με γωνία ΑΒΓ, γωνία ...

Πιθανότατα να είναι γνωστό το πρόβλημα. Εάν ναι, παρακαλώ να διαγραφεί από τους διαχειριστές.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνεται, επίσης, ευθεία ε και σημείο Α' εκτός της ευθείας ε.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ', όπου Α'Β'Γ' τρίγωνο όμοιο με το ΑΒΓ (γωνία Α'Β'Γ' ίση με γωνία ΑΒΓ, γωνία ...

Πιθανότατα να είναι γνωστό το πρόβλημα. Εάν ναι, παρακαλώ να διαγραφεί από τους διαχειριστές.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνεται, επίσης, ευθεία ε και σημείο Α' εκτός της ευθείας ε.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ', όπου Α'Β'Γ' τρίγωνο όμοιο με το ΑΒΓ (γωνία Α'Β'Γ' ίση με γωνία ΑΒΓ, γωνία Α'Γ ...

Με αφορμή την απάντηση του κ. Κατσουρίδη, έψαξα στο διαδίκτυο και βρήκα αυτό:

http://datagenetics.com/blog/october12013/index.html

Οπότε πιστεύω ότι το πρόβλημα δεν είναι τόσο απλό, όσο το παρουσιάζει ο κ. Βισβίκης στη δική του απάντηση.

Στο κέντρο μιας κυκλικής λίμνης βρίσκεται ένα παπάκι. Στην όχθη παραμονεύει μια αλεπού. Το παπάκι μπορεί να αναπτύξει ταχύτητα μέχρι v στο νερό, ενώ η αλεπού, που δεν μπορεί να κολυμπήσει, μπορεί να αναπτύξει ταχύτητα στο έδαφος μέχρι 4 v . Το παπάκι μπορεί να πετάξει μόνο από στέρεο έδαφος. Το ...

Για n = 7 και n = 8 δεν βρέθηκε τίποτα. Η περίπτωση n = 9 θα είναι έτοιμη μάλλον αύριο αλλά μέχρι στιγμής δεν έχει δώσει κάτι.
Όπως ειπώθηκε παραπάνω, πιστεύω ότι όσο μεγαλώνει το n δίνονται περισσότερες δυνατότητες συνδυασμών και πιστεύω ότι δεν θα βρεθεί κάτι, αλλά η απόδειξη μου φαίνεται δύσκολη ...

Για n = 2, όντως είναι μια μοναδική περίπτωση: { 4, 4, 3, 1, 0, 0 }
Για n = 3: { 6, 6, 5, 2, 1, 0 } και { 6, 5, 4, 1, 0, 0 }
Για n = 4: { 8, 8, 7, 3, 2, 1, 1, 0 }, { 8, 7, 7, 6, 5, 1, 0, 0 }, { 8, 7, 6, 2, 1, 0 } και { 8, 6, 5, 3, 2, 0 }
Για n = 5: { 10, 9, 8, 3, 2, 1, 1, 0 } και { 10, 9, 9, 8, 7, 2 ...

Υπάρχει, πάντως, και η πολύ κομψή απόδειξη με βάση το θέωρημα του Pick που λέει ότι κάθε πολύγωνο του οποίου οι κορυφές βρίσκονται σε κόμβους τετραγωνικού πλέγματος διαστάσεως 1 έχει εμβαδόν:

$M + \frac{N}{2} - 1$

όπου M είναι το πλήθος των κόμβων εντός του πολυγώνου και N είναι το πλήθος των ...