Μιχάλη καλησπέρα. Εξαιρετικά ενδιαφέροντα όσα αναφέρεις παραπάνω.
Ευχαριστούμε που τα μοιράζεσαι πρώτα μαζί μας στο :logo:

Φαντάζομαι ότι οι λόγιοι του 15ου αιώνα σίγουρα γνώριζαν την εργασία του Ευκλείδη.
Μια αναζήτηση στο υπόλοιπο έργο του Regiomontanus θα μπορούσε να το τεκμηριώσει.

Πιστεύω ...

Καλησπέρα σε όλους.

Παμπόνηρη η διατύπωση της εκφώνησης από τον Μιχάλη.

Λέει: "Πόσοι ειναι όλοι οι πειρατές;" κι όχι "πόσοι αξιωματικοί, πόσοι ναύτες κ.λπ.".

Λοιπόν, $80$ είναι. Πώς το έμαθα; Ξέρω την ιστορία.

Πήγε ένας υπαλληλος του ΣΔΟΕ για να τους φορολογήσει.
Τη μια εμφανιζόταν $15 ...

Καλησπέρα σε όλους. Μια πρακτική προσέγγιση.

Με τη λάθος δοσολογία, το μπλε είναι λίτρα στα συνολικά λίτρα μείγματος.

Πρέπει να φύγει το , δηλαδή το του μείγματος.

Αφαιρούμε λίτρα μείγματος και προσθέτουμε αντίστοιχη ποσότητα κίτρινου χρώματος.

Kαλημέρα σε όλους.


28-07-2026 Διασκεδαστικά μαθηματικά.jpg



Σίγουρα χρειάζεται από ένα στις γραμμές $1, 5$. Χρωματίζουμε μεσαίο τετράγωνο π.χ. $(1, 2)$ για να καλύπτει και τα δύο οριζόντια ορθογώνια που χωρούν στην 1η γραμμή. Οπότε πρέπει να χρωματίσουμε και το $(5,2)$.

Ομοίως στις στήλες $1 ...

Καλημέρα σε όλους. Ίδιο αποτέλεσμα με τον Γιώργο , δίχως τα κέντρα των κύκλων.

Φέρνουμε κάθετα τμήματα $ΗΗ’, JJ’, DD’, EE’$, οπότε $ΒΗ’=4$.


27-07-2026 Διασκεδαστικά μαθηματικά.jpg



Λόγω συμμετρίας, $J'C = 4$, άρα $J’D = 30$. Τότε $JD’ = 30$ άρα $KD’ = 6$, οπότε και $E’L = 6$, άρα $LM = 16 ...

Καλησπέρα σε όλους. Μία ακόμα προσέγγιση σε αυτό το ωραίο πρόβλημα αποκλεισμού περιπτώσεων.

Ξετυλίγουμε το σχήμα σε ευθεία. Τα $a, b$ είναι τα κάτω γωνιακά κυκλάκια που μετριούνται δύο φορές.


27-07-2026 Διασκεδαστικά μαθηματικά b.jpg



Τότε $73 + X = 55 + a + b$ οπότε $a + b = 18 + X$.

Αν ...

17-06-2026 Γεωμετρία.png


Φέρνουμε την $MN$ κάθετη στην $AB$. Τότε $NE = 1, MN=2,5$, οπότε $(MNE) = 1,25$ σταθερό.

Έστω $AZ=x$. Θέλουμε $ \left( {AZMN} \right) = 8,75 \Leftrightarrow \frac{{x + 2,5}}{2} \cdot 4 = 8,75 \Leftrightarrow x = 1,875$.

Τότε, $(AZME)=10$, δηλαδή το μισό του $(AEH ...

Καλημέρα σε όλους. Σε αυτά τα προβλήματα, προστιθέμενη διδακτική αξία δίνει η "απαίτηση" να δοθεί αιτιολόγηση της απάντησης από τους μαθητές. Να μάθουν, δηλαδή, όχι μόνο να επιλέγουν ή να σχεδιάζουν τη σωστή απάντηση, αλλά και να την αιτιολογούν (απόδειξη) και να διερευνούν τη μοναδικότητά της ...

Μια καλημέρα στους νησιώτες Μιχάλη και Τηλέμαχο .

Με τη μέθοδο της "ακραίας περίπτωσης":

Οι $8$ ομάδες έδωσαν $7$ αγώνες η κάθε μία. Έχουμε σύνολο $56 : 2 = 28$ αγώνες.

Αν σε όλους τους αγώνες είχαμε ισοπαλία, θα μοιράζονταν $2 \cdot 28 = 56$ βαθμοί.

Αφού είχαμε $57$ βαθμούς, μία ομάδα νίκησε σε ...

Kαλησπέρα σε όλους. Δίνω μια εξήγηση της μοναδικότητας της διαδρομής, χρησιμοποιώντας αρκετά εκτεταμένη λεκτική περιγραφή. Θα χαρώ να δω κάτι πιο κομψό και πειστικό.

16-07-2026 Διασκεδαστικά μαθηματικά.jpg


Διαδρομή: 1–2 υποχρεωτικά. Αν πάμε 2–5, τότε στο 3 θα πάμε υποχρεωτικά από το 4, δίχως ...

Καλησπέρα σε όλους. Είχα ετοιμάσει μια διαφορετική αντιμετώπιση πριν λήξει η προθεσμία των 24 ωρών. Για λόγους ποικιλίας την αναρτώ.
Σε τέτοια προβλήματα εκτός από τις συνδέσεις μεταξύ των 7 κοριτσιών, που χρησιμοποίησαν παραπάνω οι εκλεκτοί φίλοι (και δίνει ταχύτερη λύση), πολλές φορές είναι ...

Καλημέρα σε όλους.


Αφού το ψηφίο των εκατοντάδων αλλάζει στον 2ο, προφανώς έχουμε

1ος: , 2ος: , 3ος: , άρα κύκλος: , τετράγωνο: , αστεράκι: , τρίγωνο: .

Οι αριθμοί είναι ,

Απαντώ μόνο στο 2ο ερώτημα. Ένα karkarόνι χρειάζομαι για να περάσω την τάξη. Τό 'χω;


Από ορθογώνιο σε ορθογώνιο.png


Είναι $ \left( {AST} \right) = \frac{{BS \cdot 2}}{2} + \frac{{DT \cdot 3}}{2} + 6$

Από την ομοιότητα των $BSC, TDC$ είναι $ \frac{{BS}}{3} = \frac{2}{{DT}} \Leftrightarrow BS ...

Συνεχίζοντας, αποδεικνύω και το τελευταίο σημείο συζήτησης σχετικά με το παράδοξο που προκαλεί το λανθασμένο σχήμα:

Θα αποδείξουμε ότι αν $AB < AC$, $M$ Νότιος πόλος του $ABC$ και $MN, ML$ κάθετες στις ευθείες των $AB, AC$, τότε $N$ στην προέκταση της $AB$ και $L$ εσωτερικό του $AC$.


30-06-2026 ...

Καλησπέρα σε όλους. Για την πληρότητα της συζήτησης δίνω συγκεντρωμένα κάποια ερωτήματα και απαντήσεις (που έχουν ήδη διάσπαρτα δοθεί), σχετικά με το θέμα.

Γιατί το σημείο τομής της διχοτόμου $Ax$ της γωνίας $ \widehat A$ και της μεσοκάθετης $(e)$ της $BC$ είναι εξωτερικό του τριγώνου;


30-06 ...

Μία υπόδειξη μόνον προς νέους περιηγητές του που θα ασχοληθούν με το όμορφο παράδοξο του Charles Dodgson.

Μην εμπιστεύεστε αυτό που (νομίζετε ότι) βλέπετε και αναζητήστε τo Νότιο Πόλο του τριγώνου, με Βόρειο Πόλο το .

Αλλιώς κάντε εσείς το σχήμα προσεκτικά.

Κώστα και Λάμπρο καλησπέρα.
Κατ' αρχάς εύχομαι καλοτάξιδα τα βιβλία σας. Να εκπληρώσουν το στόχο για τον οποίον γράφτηκαν.


Στις οδηγίες διδασκαλίας του 2015, στην Α΄ Λυκείου, στη σελίδα 19 γίνεται σχετική αναφορά:

Να συζητηθεί επιπλέον η περίπτωση συναρτήσεων των οποίων δεν μπορούμε να ...

Καλησπέρα σε όλους. Κάπως διαφορετικά.


Για κάθε $ t \in \left[ {0,\pi } \right]$ είναι $ - 1 \le \sigma \upsilon \nu t \le 1$ και $ 0 \le \eta \mu t \le 1$

Οπότε για κάθε $ x,y \in \left[ {0,\pi } \right]$ είναι $ \eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu y \le \eta \mu x$ και $ \sigma \upsilon \nu x ...

Συλλυπητήρια στους δικούς του ανθρώπους.

Οι 2.395 αναρτήσεις του Ροδόλφου Μπόρη , ξεκινώντας από την πρώτη εβδομάδα λειτουργίας του :logo: (ΕΔΩ) και φθάνοντας στον Μάιο του 2025, ήταν είναι και θα είναι πηγή γνώσης και έμπνευσης για όλους όσους μελετούν (και δεν "σκρολάρουν") το περιεχόμενο του ...

Λάθος είναι το (Α)
Στο (Α) ή εφαπτομένη της ω δεν ισούται με τη συνεφαπτομένη της φ

Το (Δ) το Πυθαγόρειο Θεώρημα μάς δίνει τα δύο μήκη, τα οποία προστιθέμενα δεν δίνουν $13$.

Προφανώς στο σχήμα τα Α, Ε. Δ δεν είναι συνευθειακά.

Ενδιαφέρουσα παγίδα.

Καλή η επιλογή του athanasio να αναρτήσει αυτό ...