20-01-2020 Maximum.png Έστω $b = 1$ σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων. Οπότε $A(0,0), B(t, 0), 0<t<1, C(0,1)$ και $ \displaystyle M\left( {\frac{t}{2},\;\frac{1}{2}} \right)$ . $ \displaystyle \left( {{\lambda _{BC}} = - \frac{1}{t},\;\;AD \bot BC} \right) \Rightarrow {\lambda _{AD}} = t$ , οπότε ...

Ναι, νομίζω είναι απαραίτητο. Το ότι οι αριθμοί που υπεισέρχονται δίνουν εύκολα κάποιο "σημείο" ακροτάτου δε σημαίνει ότι δεν πρέπει να αναφερθεί. Και ναι, θα πρέπει να έχει κάποια μείωση στη βαθμολογία. Θα μπορούσε για παράδειγμα να είχαμε σχέση της μορφής $2x+2y+z = 151$. Το γεγονός ότι το $z$ μπ...

Όπως παραπάνω, το παρόμοιο πρόβλημα Γ΄ Λυκείου, Πρόβλημα 2 18-1-2020 Ευκλείδης Γ.jpg Έστω $x$ οι σελίδες που διάβασε τις μέρες $1-5$ Έστω $y$ οι σελίδες που διάβασε τις μέρες $6-10$ Έστω $z$ οι σελίδες που διάβασε τις μέρες $11-15$ Έστω $k$ οι σελίδες που διάβασε τις μέρες $16-20$ Έστω $m$ οι σελίδε...

Καλώς ανέβηκαν οι λύσεις των θεμάτων, που είναι, σε πολλές περιπτώσεις, διαφορετικές και απλούστερες από τις επίσημες. Ευχαριστώ τους συναδέλφους που ανέβασαν λύσεις των σημερινών θεμάτων και τους παρακαλώ να συνεχίσουν να το κάνουν. Καλημέρα σε όλους. Β΄ Λυκείου Πρόβλημα 3 18-1-2020 Ευκλείδης.jpg ...

Θεωρώ ότι αν κάποιος διαβάσει τα επόμενα θα νομίζει ότι κάποιοι δεν ξέρουν τι τους γίνεται. Θα έπρεπε τουλάχιστον να γραφεί η ώρα που τα θέματα είναι στην θέση τους. Αν και κανονικά αυτό θα έπρεπε να φαίνεται από μόνο του. Δεν νομίζω ότι είναι σωστό οι διαχειριστές κλπ να αλλάζουν δημοσίευση και αυ...

Χρόνια πολλά κι ευτυχισμένα σ' όσους εορτάζουν σήμερα.

Τις ευχές μου στους φίλους Θάνο Μάγκο, Θανάση Καραντάνα, καθώς στους διαδικτυακούς φίλους στο Θανάση Κοντογεώργη , Θανάση Μπεληγιάννη thanassis.a, Θανάση Κοπάδη, Θανάση Καλογεράκη .

Καλημέρα σε όλους. Εύχομαι επιτυχία στους μαθητές που την διεκδίκησαν. Β Γυμνασίου 4ο Πρόβλημα Έστω $ \displaystyle \overline {dcba} = 1000d + 100c + 10b + a$ ο αρχικός αριθμός, όπου $0 \le a,b,c \le 9, 0 < d \le 9$, ακέραιοι. Τότε $ \displaystyle \left( {1000d + 100c + 10b + a} \right) - \left( {10...

Καλησπέρα σε όλους. 17-01-2020 Maximum.png Έστω $B(0,0), A(-a, 0), C(0, a), D(-a,a), S(ka, 0), k, a>0$. Οπότε $ \displaystyle SC:y = - \frac{1}{k}x + a$ . Έστω $ \displaystyle P\left( {t,\;\frac{{ak - t}}{k}} \right) \Rightarrow T\left( {t,\;0} \right)$ , οπότε $ \displaystyle \left( {ATPD} \right) ...

Καλησπέρα σε όλους. Εύκολα,(*) έχουμε ότι $a = -y, b = x$ οπότε $ \displaystyle \left| {ay - bx} \right| = \left| { - {y^2} - {x^2}} \right| = 1 $ Γεωμετρική ερμηνεία: (Βλέπετε και στο συνημμένο αρχείο Geogebra). Έστω $ \displaystyle \vec k = \left( {y,\;x} \right)$ το συμμετρικό διάνυσμα του $ \dis...

Ευχαριστώ τον Κώστα για την λεπτομερή απάντηση. Περιμένοντας τη συνέχεια που υπόσχεται στο τέλος της ανάρτησής του, δίνω μια ελαφρά διαφορετική προσέγγιση στο τελευταίο τμήμα της άσκησης. Για $m > 0$ η συνάρτηση $ \displaystyle f\left( m \right) = \frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2} + m}}$ έχει παράγωγο $ \di...

Καλησπέρα σε όλους. Για λόγους πλουραλισμού και μια λύση με Αναλυτική Γεωμετρία. Έστω $B(0, 0), C(3 , 0), E(5 , 0)$ οπότε $ \displaystyle A\left( {\frac{3}{2},\;\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right),\;\;Z\left( {5 + \frac{z}{2},\;\frac{{z\sqrt 3 }}{2}} \right)$ . a. $ \displaystyle AZ = 7 \Leftrightarrow {...

Πρόκειται ουσιαστικά για το Monty's Hall πρόβλημα, που το έχουμε συζητήσει στο φόρουμ. Βλέπε εδώ και την εκεί παραπομπή. Καλημέρα σε όλους. Ευχαριστώ τον Μιχάλη για την άμεση παρέμβαση. Συνδύασα δύο προβλήματα, όπως αναφέρω στις λέξεις κλειδιά. Το παράδοξο του Monty Hall και το παράδοξο που συμπερι...

Σε ένα αυταρχικό καθεστώς υπάρχουν τρεις κρατούμενοι, οι $A, B, C$ που κρατούνται σε διαφορετικά κελιά. Ξέρουν ότι έγινε κλήρωση και οι κρατούμενοι που είναι σε δύο από τα κελιά $A, B, C$ θα εκτελεστούν την επομένη και ο τρίτος θα ελευθερωθεί, αλλά δεν γνωρίζουν ποιοι. Οι φρουροί έχουν εντολή να μην...

Επαναφορά. Πρόκειται για διασκευή προβλήματος των Θεόδωρου Καζαντζή, Ελένης Μήτσιου.

Συμπληρωματικά, να μελετηθεί και η περίπτωση η μεταβλητή ευθεία να είναι κατακόρυφη.

Καλησπέρα σε όλους. Μια απάντηση στο παραπάνω πρόβλημα του Φάνη : Ν. Ημιτόνων sτο $BDC$: $ \displaystyle \frac{{DC}}{{\eta \mu 80^\circ }} = \frac{{BC}}{{\eta \mu D}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}C}}{{DC}} = \frac{{\eta \mu D}}{{\eta \mu 80^\circ }}$ . Ν. Ημιτόνων sτο $ABC$: $ \displaystyle \frac{{...

Χρόνια πολλά Γιώργο . Δεν καταλαβαίνω γιατί το τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές και γιατί $\angle AOB=\varphi$ . Φάνη Χρόνια Πολλά! Έχεις δίκιο που δεν καταλαβαίνεις, γιατί η παραπάνω λύση έχει και κενά, ακόμα και τυπογραφικό λάθος: $\angle ABO=\varphi$ Μέχρι να διορθώσω είχαν ήδη αναρτηθεί ευθείες απ...

Καλησπέρα σε όλους. Αναρωτιέμαι γιατί στα γενικά θέματα; Το βρίσκω ωραίο θέμα για συζήτηση στην τάξη (Α' Λυκείου). 07-01-2020 Γεωμετρία.jpg Φέρνουμε την $AC$, που τέμνει την $BD$ στο $O$. Το $DAC$ είναι ισοσκελές, άρα $ \displaystyle \widehat {DAO} = \widehat {DCO} = \varphi $ . Τα $BOC, AOD$ έχουν ...

Καλημέρα σε όλους. Δίνονται οι ευθείες $e: x+y=1$ και $d: y=2$. Η μεταβλητή ευθεία $t: y = mx, m \neq -1, m \neq 0$ τις τέμνει στα $P, Q$ αντίστοιχα. Αν $O$ η αρχή του συστήματος αξόνων, βρείτε την ελάχιστη τιμή του γινομένου $OP \cdot OQ$ καθώς και την τιμή του $m$ για την οποία προκύπτει το ελάχισ...

Χρόνια Πολλά σε κάθε Γιάννη και Ιωάννα του !


Στέλνω τις ευχές μου στους αγαπητούς φίλους Γιάννη Θωμαΐδη, Γιάννη Σαράφη, Γιάννη Κερασαρίδη

και στους διαδικτυακούς φίλους Γιάννη Τσόπελα, Γιάννη Γεωργά, Γιάννη Μπόρμπα, Γιάννη Στάμου,Γιάννη Σταματογιάννη, Γιάννη Καραγιάννη.

Μέγιστο γινόμενο.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ οι πλευρές $AB=c$ και $AC=2c$ έχουν σταθερό μήκος , ενώ η βάση $BC$ μεταβάλλεται . Η $AD$ είναι διχοτόμος . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου : $DA\cdot DB$ $\displaystyle DB = \frac{{ac}}{{3c}} = \frac{a}{3},D{A^2} = 2{c^2}\left( {1 - \fr...