Θα παρακαλούσα τους Γενικούς Συντονιστές να σβήσουν το ποστ του κ. Θύμιου Κοσυφαρίνη και όλα όσα ακολουθούν (και το δικό μου, εννοείται). Οι λόγοι είναι απλοί: α) Το φόρουμ είναι επιστημονικό και δεν χωρούν εδώ εμμονές για "επίλυση προβλημάτων" στα οποία η απάντηση είναι γνωστή και τεκμηριωμένη πέρ...

Καλησπέρα σε όλους. Μια λύση με σύστημα συντεταγμένων, όπου έκανα αντιστροφή στο σχήμα για να είναι πιο "βολικές" οι εξισώσεις. 28-07-2019 Γεωμετρία.png Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο $DEC$ είναι $ \displaystyle DC = a = \sqrt {89} $ . Έστω $ \displaystyle D\left( {0,0} \right),\;C\left( {a,0} \right),\...

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω μια απάντηση στο πολύ ενδιαφέρον ερώτημα του Σωτήρη . Τέτοια ερωτήματα (ενδιαφέροντα, ρεαλιστικά, χρήσιμα) πιστεύω ότι είναι απαραίτητο να συνοδεύουν τη διδασκαλία μας στην τάξη. Σύμφωνα με την κλίμακα Richter το μέγεθος $R$ ενός σεισμού εντάσεως $I$ δίνεται από τον τύπο $ \...

Καλησπέρα σε όλους. Φαντάζομαι κάτι παρόμοιο (ή το ίδιο) με την παρακάτω λύση περιγράφει ο Λάμπρος στην απάντησή του. Εύκολα δείχνουμε ότι είναι αδύνατο να είναι $\left( {a \ge 0\;\; \wedge \;b \ge 0} \right)\;\;\; \vee \;\;\left( {a \le 0\;\; \wedge \;\;b \le 0} \right)$ 17-07-2019 Άλγεβρα.jpg Έστω...

Kαλησπέρα σε όλους. Όπως έχουμε ξαναπεί, τέτοια θέματα σε διαγωνισμούς με επιλογή απάντησης είναι ευάλωτα σε αθώα τεχνασματάκια όπως το παρακάτω: Αφού μια από τις προτεινόμενες απαντήσεις έχει γενική εφαρμογή για τις εμπλεκόμενες μεταβλητές, θέτουμε τυχαία βολικές τιμές και βλέπουμε ποια ταιριάζει. ...

Καλημέρα σε όλους. Ξεκινώ με μια γεωμετρική λύση και ακολουθεί μια ρουτινιάρικη Αναλυτικογεωμετρική, στην οποία, όπου $x$ έβαλα $t$. Υπολογισμός τμήματος.png 1η λύση: Από την ισότητα των $BAS, BCE$, (ορθογώνια με ίσες γωνίες $S, E$, αφού έχουν πλευρές κάθετες και $AB=BC=a$), έχουμε $BS=x$. Άρα $ \di...

Νομίζω ότι αυτά τα στοιχεία αντανακλούν και την ουσία της εκπαίδευσης των μαθητών μας στα Μαθηματικά. Καλημέρα σε όλους. Ας εστιάσουμε στη φράση του Ανδρέα , που σημείωσα με έντονο χρώμα, συμπληρώνοντας το παραθετικό: "(μαθηματική) εκπαίδευση". Ας μην έχουμε αυταπάτες. Και οκτώ σελίδες ύλη να αφήσο...

Άλλος τρόπος ; Ώρα για ημίτονο.png Δίχως βοηθητικές, μόνο με τους νοητούς άξονες στο σχήμα του Θανάση . Είναι $O(0,0), A(0,3), B(-4, 0), C(0, -3), D(4,0)$. Είναι $ \displaystyle BC:\;y = - \frac{3}{4}x - 4$ , άρα $ \displaystyle {\lambda _{AS}} = \frac{4}{3}$ οπότε $ \displaystyle AS:\;y = \frac{4}...

Με τον ίδιο τρόπο αντιμετωπίζεται και η γενική περίπτωση ... Καλημέρα σε όλους. Για την πληρότητα του θέματος, δίνω μια αλγεβρική αντιμετώπιση του προσδιορισμού του ελαχίστου της $f(x)$ χρησιμοποιώντας την παλιά μέθοδο του σταθερού γινομένου. 2η λύση για το ελάχιστο της συνάρτησης $f(x)$. Είναι $ \...

Και μια αμιγώς γεωμετρική-εποπτική προσέγγιση: 25-06-2019 Γεωμετρία.png Κατασκευάζουμε τον κύκλο $C_1$ διαμέτρου $BC$ και τον κύκλο $C_2:(B, c)$, που τέμνονται στο $A$. Φέρουμε την $CA$, που είναι εφαπτομένη του $C_2$, αφού είναι κάθετη στην $BA$. Έστω $M$ τυχαίο σημείο του $C_2$. Κάθε ευθεία που δι...

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα μήκη των πλευρών $AB$ και $BC , (BC>AB)$ είναι σταθερά , ενώ εκείνο της $AC$ μεταβάλλεται . Βρείτε τη θέση της κορυφής $A$ , για την οποία η γωνία $\hat{C}$ μεγιστοποιείται . Αφού λύσετε το θέμα για τις δοθείσες τιμές , γενικεύστε . Καλύτερα να αποφύγετε την παρ...

Μερικές παρατηρήσεις - αλήθειες ! Τα πρακτικά μαθηματικά - ας τα πούμε του δημοτικού είναι πάρα πολύ δύσκολα ! Αν δώσει κανείς τη λύση του Γιώργου Βισβίκη σε παιδιά Γ΄λυκείου το πολύ 2% θα την καταλάβουν ! Ξέρουν να σου πετάξουν 2-3 θεωρήματα Roll και να σου ολοκληρώσουν σχεδόν τα πάντα αλλά απο κα...

Καλησπέρα σε όλους. Μια προσέγγιση με μια μικρούλα βοηθητική γραμμή και τριγωνομετρία. Οι υπολογισμοί ήταν κάπως μπελαλίδικοι (αν δεν έχω κάνει εγώ λάθος στις πράξεις. Ο Θανάσης έφτιαξε σχολή μού φαίνεται... :D 26-06-2019 Γεωμετρία.jpg Έστω $a = 1, EB = y, DF=x, 0<x,y<1$. Στο $AEB$ είναι $ \displays...

Καλησπέρα σε όλους. Γράφω την εκφώνηση σε LaTex: Στο παρακάτω σχήμα είναι $ \displaystyle \widehat A = \widehat C = 90^\circ $ , $ \displaystyle BC \bot AD$ , $AB = 25, CD = 16$. Να βρεθεί η $AC$. Δεν αποφεύγω τον πειρασμό να δώσω μια λύση εκτός φακέλου, αλλά σε μια γραμμή, (άντε δυο, αν κάνετε μεγά...

Καλησπέρα σε όλους. Τις ευχές μου για καλή επιτυχία στα παιδιά της Ολυμπιακής Ομάδας Νέων .\ Λίγες επιλογές έχουν μείνει. Θεωρούμε ένα κανονικό πολύγωνο εγγεγγραμμένο σε κύκλο. Τότε... 20-06-2019 Γεωμετρία.png $ \displaystyle AC = {\lambda _\nu }$ . Επίσης, από Θ. Διχοτόμων, είναι $ \displaystyle BD...

Ξεκινάμε μια δημοσίευση. Γράφουμε το κείμενό μας και το μαθηματικό κείμενο σε LaTex. Κατόπιν, 1) Από το μενού "Συνημμένα" επιλέγουμε "Προσθήκη αρχείων". 2) Επιλέγουμε την εικόνα τον σκληρό μας δίσκο, κάνοντας αναζήτηση στο παράθυρο που έχει ανοίξει. Επιλέγουμε "άνοιγμα". 3)Τοποθετούμε τον κέρσορα στ...

Καλησπέρα σε όλους. Εμπειρικά, από την διδασκαλία στην τάξη, νομίζω ότι οι μαθητές κατανοούν πιο εύκολα την αντιμετώπιση ανισώσεων με μεταβλητή στον παρονομαστή όπως περιγράφεται στο παράδειγμα: Για $ \displaystyle x \ne 2$ έχουμε: $ \displaystyle \frac{1}{{x - 2}} \le 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{x ...

Καλημέρα σε όλους. Δεν θα έλεγα ότι βλέπω και φοβερή συμμετοχή στο ενδιαφέρον πρόβλημα του Θανάση ... Με την υπόδειξη και το σχήμα του Θανάση : Κυκλώστε το τετράγωνο.png Έστω $a = 4$. Τότε, όπως δείξαμε παραπάνω $ \displaystyle R = \sqrt {10} $ . Αφού $ \displaystyle DB = 4\sqrt 2 $ , από Θεώρημα Δι...

Διορθώθηκε. Ευχαριστούμε για την επισήμανση. Οι Γ.Σ. θα αλλάξουν τα σχετικά σημεία.

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια προσέγγιση στο πρόβλημα του Θανάση , κρατώντας επιφυλάξεις για το αποτέλεσμα. 12-06-2019 Γεωμετρία b.jpg Έστω $1$ η πλευρά του τετραγώνου. Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην τομή των μεσοκαθέτων των $AM, NC$, άρα είναι $ \displaystyle A\left( { - \frac{3}{4},\; - \f...