Kαλημέρα σε όλους. 22-09-2018 Γεωμετρία.jpg Έστω $CT$ διχοτόμος της $ \displaystyle \widehat C$ . Έστω $ \displaystyle \widehat {DCS} = \widehat {BCS} = \varphi \Rightarrow \widehat {BTC} = \varphi $ (ως εντός εναλλάξ των $BT//DC$), οπότε $BT=15, AT=27$ άρα $ATD$ ισοσκελές με $ \displaystyle \wideha...

Χρόνια πολλά στους Στάθηδες και τις Ευσταθίες του .

Στον αγαπητό φίλο Στάθη Κούτρα, τις καλύτερες ευχές μου.

Ας δούμε μια ακόμα προσέγγιση: 20-09-2018 Γεωμετρία.jpg Έστω ότι $ \displaystyle \widehat A = \widehat D \ne 90^\circ $ . Έστω $BC = EZ =a$ και $AH = DT = 1$, (δίχως να χαλά η γενικότητα για το ύψος τους). Τότε $ \displaystyle \varepsilon \varphi {{\rm A}_1} = x,\;\;\varepsilon \varphi {{\rm A}_2} =...

Καλησπέρα σε όλους. Θα επιχειρήσω μια προσέγγιση με γεωμετρική εποπτεία. 20-9-2018 Ανάλυση.png Έστω $ \displaystyle y = \sqrt {{x^2} + 9} $ , με $ \displaystyle x \in IR$ , και $ \displaystyle y \ge 3$ , οπότε $ \displaystyle \frac{{{y^2}}}{9} - \frac{{{x^2}}}{9} = 1$, $(C)$ . Η συνάρτηση $ \display...

Καλησπέρα σε όλους. Στο ίδιο αποτέλεσμα με τον Γιώργο , από άλλο δρόμο. 19-09-2018 Γεωμετρία.jpg Έστω $O$ το κέντρο του κύκλου, ακτίνας $R$. Έστω $C(k, m)$, οπότε $D(k+c, m), B(k, m+b), A(k-a, m+b)$. Τότε έχουμε το σύστημα: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {\left( {k + c} \right)^2} + {m^2} ...

Καλησπέρα σε όλους. Μία ακόμα τριγωνομετρική λύση, στην οποία δεν χρειάστηκε να φέρουμε βοηθητική. Χρησιμοποιώ το αρχικό σχήμα του Γιώργου. Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα.png Στο $ABC$ είναι $ \displaystyle \widehat C = 100^\circ $ , οπότε στο $BMC$ είναι $ \displaystyle \widehat {MBC} = \widehat {{\...

Καλησπέρα. Δίνω ακόμα μερικά παραδείγματα για να γίνει πιο κατανοητή η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων δίχως τη χρήση εξισώσεων. Μια σημαντική μέθοδος είναι η Μελέτη ακραίας περίπτωσης . Υποθέτουμε ότι συμβαίνει μια από τις ακραίες περιπτώσεις και κατόπιν χρησιμοποιούμε τα δεδομένα μας για να βρούμε...

Καλησπέρα στο φίλο (φίλη) από τη Ρόδο. Τα προβλήματα πρακτικής αριθμητικής που σού ζητήθηκαν (;) προφανώς εξυπηρετούν κάποιον διδακτικό στόχο. Οπότε δεν θα ήταν σωστό να δώσουμε έτοιμες λύσεις, παρά μόνο κάποιαν υπόδειξη που τυχόν θα χρειαστείς. Γενικώς, όταν λέμε "με ύλη Δημοτικού" εννοούμε δίχως τ...

Καλησπέρα. Δες στο σχολικό βιβλίο Γενικής Παιδείας (που θα πάψει να διδάσκεται από το επόμενο έτος, άρα οι μαθητές δεν θα διδαχτούν ποτέ Στατιστική και Πιθανότητες, αφού προφανώς είναι άχρηστες). σσ. 147-148. Επίσης, εδώ στο παλαιότερο βιβλίο όταν διδάσκονταν και Άλγεβρα στη Γ΄ Λυκείου, έχει ένα χαρ...

Καλησπέρα σε όλους. Ένα παρόμοιο θέμα βρίσκεται στο βιβλίο της κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στην ύλη της Μαθηματικής Επαγωγής, (η οποία ύλη φαίνεται ότι είναι πλέον άχρηστη για τα Λύκειά μας). Απόδειξη 1.jpg Λ. Αδαμόπουλος κ.α., Μαθηματικά Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Β΄ Γενικού Λυκείου, Εκδόσεις ...

Κι άλλη μία αμιγώς γεωμετρική. 05-09-2018 Γεωμετρία.jpg Από την ισότητα των $ADM, ABN$ προκύπτει ότι $ \displaystyle \widehat {ADM} = \widehat {BAN}$ , οπότε $ \displaystyle \widehat {BAN} + \widehat {AMD} = \widehat {ADM} + \widehat {AMD} = 90^\circ $ , οπότε $ \displaystyle DM \bot AN$ . Στο ορθογ...

Καλησπέρα σε όλους. Με τα εργαλεία Αναλυτικής Γεωμετρίας και άσκηση προπόνησης την λες. Ασφαλώς υπάρχουν κομψότερες λύσεις. Απλώς αναρτώ τις ζητούμενες απαντήσεις για επιβεβαίωση των ευρημάτων σας. 05-9-2018 Γεωμετρία.png Παίρνουμε $A(0,0), B(10,0), C(10,10), D(0, 10), M(5, 0), N(10,5)$, οπότε $ \di...

Καλησπέρα σε όλους. "Δρυός πεσούσης, πας ανήρ ξυλεύεται", που λένε. Αναρτώ μια λύση που διαφέρει λίγο από τη λύση του Altrian . 04-09-2018 Γεωμετρία.jpg Φέρνω τις κάθετες $TK, TL$ στις $AC, AB$ αντίστοιχα. Τα $STK, TLB$ είναι όμοια, οπότε $ \displaystyle \frac{{ST}}{{TB}} = \frac{{TK}}{{BL}}$ . Έστω...

Αφιερωμένο σε όσους αγωνιούν για το μέλλον της Μαθηματικής Παιδείας στον τόπο μας.

Τους χαιρετισμούς μου στον φίλο Στέλιο, που για 40+ χρόνια τώρα αγωνιά και αγωνίζεται για την Παιδεία μας (και τα Μαθηματικά, που τόσο αγαπά).

Καλήν ανάγνωση! Εύχομαι να διαψευσθώ.

Έστω και με μικρή καθυστέρηση, θέλω να ευχηθώ Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες.

Στέλνω τις ευχές μου στον φίλο και στυλοβάτη του Αλέξανδρο Συγκελάκη και στον πάντα ευγενή και με ουσιαστικές παρεμβάσεις Αλέξανδρο Κουτσουρίδη .

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια υπολογιστική προσέγγιση σε ένα συγκεκριμένο τρίγωνο, με γνωστές συντεταγμένες. Δεν τολμώ να επεκταθώ στη γενίκευση αντικαθιστώντας τα $B(6,0), C(0,8)$ με $B(b,0), C(0,c), b,c >0$. Άλλωστε είναι ακόμα Αύγουστος! 26-08-2018 Γεωμετρία.png Παίρνουμε μια ειδική περίπτωση....

Καλησπέρα σε όλους. Ας δούμε μια ακόμα γεωμετρική λύση. 19-08-2018 Γεωμετρία.jpg Προεκτείνουμε τις $BC, AD$, που τέμνονται στο $K$. Φέρνουμε το ύψος $AM$. Από την ομοιότητα των $CDK, ABK$, (λόγω της παραλληλίας $CD//AB$), είναι $ \displaystyle \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{{CK}}{{BK}}$ (1). Από Θ. Θαλή ...

Και μια ακόμα δίχως Τριγωνομετρία (φανερή τουλάχιστον....). Απ' ότι βλέπετε απέφυγα να χρησιμοποιήσω τις λέξεις ημίτονο, συνημίτονο κ.λπ. 18-08-2018 Διασκεδαστικά Μαθηματικά.jpg Έστω $C(0,0), A(3, 0), B(3, 1), S(3, a), a>1$ . Αφού $ \displaystyle \widehat {BCA} = \widehat {BCS}$, θα είναι $ \display...

Καλησπέρα σε όλους. Η προκλητική εκφώνηση με ανάγκασε να χρησιμοποιήσω Θεώρημα Εσωτερικής Διχοτόμου. χωρίς τριγωνομετρία.png Είναι $ \displaystyle \frac{{BS}}{{AB}} = \frac{{CS}}{{CA}} \Leftrightarrow \frac{y}{x} = \frac{{\sqrt {{{\left( {x + y} \right)}^2} + 9{x^2}} }}{{3x}} \Leftrightarrow 8{y^2} ...

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω και μια ΑναλυτικοΓεωμετρική προσέγγιση με το σχήμα του Θανάση . Προφανώς η λύση μου δεν είναι καθόλου "διασκεδαστική", άρα είμαι εκτός φακέλου κι ελπίζω να μην με πάρει χαμπάρι ο επιμελητής. Πάντως η προσέγγιση που πέτυχε ο Θανάσης είναι όντως διασκεδαστική! Το ορθογώνιο του...