Καλημέρα σε όλους. Οι πληροφορίες και τα ιστορικά στοιχεία που περιέχει η έκδοση του παραρτήματος Λακωνίας της ΕΜΕ είναι εξαιρετικά χρήσιμη σε όσους διδάσκοντες θέλουν να διανθίσουν τη διδασκαλία τους με ιστορικές αναφορές, ώστε να παρακινήσουν το ενδιαφέρον των μαθητών τους, αλλά και σε μαθητές με ...

Καλησπέρα σε όλους. Ουσιαστικά δεν λέω κάτι διαφορετικό από τον Γιώργο , (κοιτώντας εκ των υστέρων τη λύση του Γιώργου ). Γράφω την απάντησή μου με τη διατύπωση που συνηθίζαμε ως μαθητές γυμνασίου (γύρω στο 1977-78) σε προβλήματα κατασκευής. Γνωρίζει ή θυμάται κανείς, πότε και πώς (μη ρωτήσω και για...

$ \displaystyle {x^4} + 4{x^3} + (3 - a){x^2} - (2 + 2a)x + a = 0$ $ \displaystyle \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) - a\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) = 0$ $ \displaystyle \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - a} \right) = 0$ Οπ...

Αναρτώ το σχήμα για την τελευταία γεωμετρική λύση του Σταύρου . Το σημείο $D$ είναι το σημείο τομής με τη μεγαλύτερη τετμημένη. 16-04-2019 Γεωμετρία.png edit: Έκανα τις διορθώσεις. (Αν ήμουν προληπτικός θα έλεγα ότι υπάρχουν ασκήσεις που είναι φτιαγμένες για να μας βασανίζουν... ) :mrgreen:

Χρήστο καλησπέρα. Το σχήμα σου δεν μπορώ να το δω, γιατί έχω παλαιότερη έκδοση του προγράμματος. Αν μπορείς να το αναρτήσεις σε pdf. Να απολογηθώ για ένα "τυπογραφικό" λάθος στο κείμενό μου. Οι ημιευθείες είναι $ \displaystyle y=tan\frac{2\pi}{5}x,y=tan\frac{4\pi}{5}x, y >0$ και $ \displaystyle y=ta...

Καλημέρα σε όλους. Ο Χρήστος Κυριαζής μού υπέδειξε ότι μπορεί να βρεθεί καλύτερο ελάχιστο (αυτό που δίνω παρακάτω). Ξαναδοκίμασα το πρόβλημα και βρίσκω το εξής: Τετραγωνίζω τις ισότητες $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos b + \cos c = 1 - \cos a}\\ {sinb + sinc = 1 - \sin a} \end{...

Καλησπέρα. Καλώς ήλθες στο :logo: Δεν ξέρω αν είσαι μαθητής και αν ναι ποιας τάξης. Αφού θέλεις συνταταγμένες προτείνω το εξής: Κατασκευάζεις έναν μοναδιαίο κύκλο $x^2+y^2=1$ παίρνεις το σημείο $A(1, 0)$ και τις διαδοχικές ημιευθείες $ \displaystyle y=\frac{2\pi}{5}x,y=\frac{4\pi}{5}x, y >0$ και $ \...

Καλημέρα σε όλους. Πιστεύω ότι οι εισηγήσεις του Χρήστου Κυριαζή και του Λευτέρη Πρωτόπαππα , ΕΔΩ καθώς και η εισήγηση του Ανδρέα Πούλου δίνουν το ερέθισμα και την αφορμή να ανοίξει μια συζήτηση για το θέμα της ένταξης των Διακριτών Μαθηματικών στην εξεταστέα ύλη. Γράφω εδώ γιατί θα αναφερθώ ειδικότ...

Καλημέρα σε όλους. Χρησιμοποιώ τη μέθοδο "της προς στιγμήν σταθεράς" , όπως την περιγράφουν οι Ιησουίτες στη γεωμετρία τους (έκδοση 1912) και ο Γιώργος Τσαπακίδης σε άρθρο του στον Ευκλείδη Β (λ.α., τ. 2 σσ.28-32). Θα ήθελα να δω πληροφορίες και γνώμες για τη μέθοδο αυτή. FGM.jpg Εικόνα.jpg Είναι $ ...

Καλησπέρα σε όλους. Από έναν αγαπητό φίλο έλαβα το εξής πρόβλημα: Στα παλιά κουρδιστά ρολόγια-ξυπνητήρια υπάρχουν 2 καμπάνες και ένα μεταλλικό στέλεχος με σφυράκι που τις χτυπά και ξυπνάνε και οι πεθαμένοι. Μπορεί να βρεθεί η συνάρτηση που εκφράζει την κίνηση του στελέχους με το σφυράκι; Σχετικά με ...

Νομίζω ότι η σωστή εκφώνηση είναι η : $4^{cos^2x}+4^{cos2x}\leq 4$ Καλησπέρα σε όλους. Αν δεν έχω λάθος στο παρακάτω, πιστεύω, ότι ούτε η εκδοχή του Θανάση ταιριάζει στο σημερινό σχολικό περιβάλλον. Πιθανολογώ ότι είναι η αρχική παραλλαγή που δόθηκε από τον Αποστόλη . Για την εκδοχή του Θανάση : Έσ...

Επειδή το γινόμενο των θετικών παραγόντων είναι σταθερό, το άθροισμά τους παίρνει την ελάχιστη τιμή του, όταν είναι ίσοι, (εφόσον μπορούν να είναι ίσοι).

Κατόπιν είναι εύκολα τα πράγματα. Επίσης εύκολο είναι το ότι το ελάχιστο αυτό είναι το ζητούμενο .

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω μια προσέγγιση σε ένα από τα θέματα του διαγωνίσματος, περιμένοντας κι άλλες αναρτήσεις που θα αντιμετωπίσουν τα θέματα και με άλλους τρόπους. Πριν, όμως, δίνω μια απάντηση στα ερωτήματα σωστού - λάθους Δ κι Ε, επειδή δεν εντοπίζω κάτι που να χαλά τη συμμετρία του διαγωνίσμα...

Καλησπέρα σε όλους. Μετά τις ευφάνταστες γεωμετρικές λύσεις των εκλεκτών Γεωμετρών μας, αναρτώ και μια πεζή υπολογιστική, που απλώς δεν χρειάζεται νέο σχήμα, εφόσον δεν χρησιμοποιεί καμία βοηθητική. Η ώρα της συνεφαπτομένης.png Έστω $(A(0,0), M(1, 0), C(2, 0), B(0, a), a>0$. Τότε $ \displaystyle BM:...

Καλημέρα σε όλους. Λίγο διαφορετικά από τη λύση του Νίκου . 31-3-2019 Ανάλυση.png Για κάθε $ \displaystyle x \in \left[ {0,2} \right]$ είναι $f(x) \geq 0$, οπότε το εμβαδό της περιοχής που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ και τον οριζόντιο άξονα είναι $ \displaystyle E = \int_0^2 {\left...

Πιστεύοντας ότι είναι ορθός ο υπολογισμός των Τ. Andreescu, Ο. Mushkarov, L. Stoyanov από ΕΔΩ , έχουμε: 22-3-2019 Ελάχιστο μήκος.png Έστω $\phi $ η οξεία γωνία της σκάλας με το οριζόντιο έδαφος. Τότε $ \displaystyle AB = AC + BC = \frac{2}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} + \frac{4}{{\eta \mu \varphi...

Καλησπέρα σε όλους. Ξεκινώ με επεξεργασία της γενικής μορφής: Θέτω $ \displaystyle {a^2} + {b^2} + {c^2} = p,\;\;\;2abc = q$ . Η συνάρτηση $ \displaystyle f\left( x \right) = {x^3} - px - q,\;\;\;\;p,q > 0,\;\;x \in \left[ {0,\; + \infty } \right)$ έχει παράγωγο $ \displaystyle f'\left( x \right) = ...

Καλησπέρα σε όλους. Το ίδιο ερώτημα με τον Λάμπρο θέτουμε με τον Γιάννη Θωμαΐδη στο 3ο κεφάλαιο της "Οδού Μαθηματικής Σκέψης" . Μεταφέρω την διαφορετική προσέγγιση που δίνουμε εκεί (αφήνω τα ελληνικά σύμβολα για να είναι συμβατή η απάντηση με το σχήμα): Το ερώτημα της εκφώνησης ίσως να μη γίνεται άμ...

Απλώς θέλω να φαίνεται κυρίως η διερεύνηση με το $\displaystyle af(\xi )....$ Νομίζω ότι ο Γιώργος εννοεί κάτι σαν το παρακάτω: Δίνεται η συνάρτηση $ \displaystyle f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\;\;a \ne 0$ Πρόταση (1): Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι συνθήκες: $ \displaystyle \Delta > 0\;\;\;\;\; \...

Δίχως Ανάλυση . Μετακινώ την παραβολή κατά μία μονάδα προς τα κάτω. 21-3-2019 Ανάλυση.png Έχει εξίσωση $x^2=y$, και εφαπτομένη στο σημείο $A(x_0, y_0)$ του πρώτου τεταρτημορίου με εξίσωση $ \displaystyle x{x_0} = \frac{1}{2}\left( {y + y{ & _0}} \right)$ . Η κάθετη στο $A$ έχει εξίσωση $ \displayst...