Καλημέρα σε όλους. Ξεκινώ με τα σίγουρα εργαλεία της Ανάλυσης. Την ώρα της ελαχιστοποίησης.png Έστω $DT = y, 0 < y < a$ και $EC = AS = y, 0< y< a$. Από την ομοιότητα $TCE, SBE$ είναι $ \displaystyle \frac{{TC}}{{SB}} = \frac{{EC}}{{EB}} \Leftrightarrow \frac{{a - y}}{{a - x}} = \frac{x}{{b + x}} \Le...

Καλησπέρα σε όλους! Η ιδέα του Γιώργου : (...) Εδώ , δίνοντας στο $(DE)$ την ελάχιστη τιμή $\dfrac{a}{\Phi }$ "υποχρεώνουμε" την $DE$ να διέλθει από το μέσο $M$ του $AB$. είναι εξαιρετική. Από περιέργεια, προσπάθησα να ελέγξω αν η δύναμη των εργαλείων της Αναλυτικής Γεωμετρίας μπορεί να μην χρησιμοπ...

Π.χ. μια ιδέα είναι η παραγοντοποίηση: $ \displaystyle \chi \psi - 3\psi = 31 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)y = 31$ Αφού $31$ πρώτος αριθμός θα είναι είτε $ \displaystyle x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4$ και $y=31$ είτε $ \displaystyle x - 3 = 31 \Leftrightarrow x = 34$ και $y = 1$. edit (13...

Καλημέρα σε όλους. Όντως το master mind με αριθμούς ήταν αγαπημένο παιχνίδι τόσο στις ατελείωτες ώρες της 18μηνης θητείας στη Θήβα και στη Λήμνο προ πολλών δεκαετιών, όσο και στα ταξίδια, αλλά και στο υπόγειο βιβλιοπωλείο του Χάρη Βαφειάδη στη Δέλλιου 4 στη δεκαετία 1990-2000. Για σωστό αριθμό σε σω...

Γιώργο , είναι χθεσινός τίτλος διαδικτυακής εφημερίδας ... Κανονικά, ποινική δίωξη πρέπει να ασκηθεί στον συντάκτη της διαδικτυακής εφημερίδας για βίαιη συμπεριφορά κατά της ελληνικής γλώσσας! Φαινόμενο, θα έλεγα, καθημερινό. Πολλοί συντάκτες, ειδικά σε δικτυακούς τόπους προσπαθούν -ανεπιτυχώς φευ-...

Μια εναλλακτική ακόμα: 10-07-2020 Γεωμετρία.jpg Είναι $ \displaystyle 0^\circ < \theta ,\;\varphi ,\;\omega < 180^\circ $ και $ \displaystyle \theta + \varphi + \omega = 180^\circ $ $ \displaystyle \eta \mu \frac{\theta }{2} = \frac{3}{{2R}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2} = \f...

Καλησπέρα σε όλους.

Με σωλήνες γίνεται η δουλειά και περισσεύουν και λίγα εκατοστά. Θέλει όμως πιο πολλές συνδέσεις.


Προτείνω μια γνωστή μάρκα για τις συνδέσεις.

Καλησπέρα σε όλους. Μετά την ταχύτατη, κομψή πρακτική λύση του Φώτη , ας δώσω και μια αλγεβρική. Ας πούμε ότι αρχικά είχαν $a, b,c$ χρήματα οι πειρατές $A, B, C$ (με την αρχική σειρά). Τότε αρχικά ίσχυε: $ \displaystyle \frac{a}{7} = \frac{b}{6} = \frac{c}{5}$ δηλαδή $ \displaystyle a = \frac{7}{5} ...

Ροδόλφε , ευχαριστούμε για την προσφορά σου όλα αυτά τα χρόνια. Τόσο για τις ενδιαφέρουσες αναρτήσεις και τις παρεμβάσεις με ήθος κι ευγένεια, όσο και για το ποιοτικό μαθηματικό υλικό που μοιράστηκες με όλους. Το βιβλίο σου ΜΕΤΑ ΤΟ ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ (ΠΑΡΑΜΥΘΙΑ , ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ) κοσμεί τ...

Καλησπέρα σε όλους. Καλό μήνα να έχουμε! Η αρχική μου προσέγγιση ήταν αυτή του Γιώργου , αλλά αφού την ανάρτησε ο Γιώργος αναζήτησα κάτι άλλο. 30-06-2020 Γεωμετρία.jpg Έστω $BC = a$ και $d$ η πλευρά του τετραγώνου. Αν $ \displaystyle \widehat B = \widehat C = \varphi $ , τότε $ \displaystyle \eta \m...

Από τους πρώτους φίλους στο , ο Δημήτρης, συμμετείχε ενεργά τα πρώτα χρόνια. Θα θυμόμαστε την ευγενική και συναδελφική συμπεριφορά του. Συλλυπητήρια στους δικούς του ανθρώπους.

Να κάνω λίγο το συνήγορο του Διαβόλου. Το δεδομένο $\angle BOM=\angle \theta =\angle BAC$ χωρίς τον ακριβή προσδιορισμό του σημείου $M$ αυτόματα θέτει το $M$ στην προέκταση της $AO$ προς το $O$. Τότε $E=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \theta \overset{AB=AC}{\mathop{=}}\,\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}\cdot...

1. Στην εκφώνηση αναφέρεται ότι «δίνεται το τρίγωνο όπως φαίνεται στο σχήμα». Εκεί φαίνεται ξεκάθαρα ότι το $M$ είναι σημείο της $ \displaystyle {\bf{{\rm B}}}\Gamma $ και ότι $ \displaystyle \widehat {BOM} = \theta $ . Όμως, μόνο για οξυγώνια τρίγωνα προκύπτει ότι το $BOM$ είναι ορθογώνιο, ώστε να ...

Καλημέρα σε όλους. Αναρτώ εδώ ένα κείμενο σχετικά με το θέμα που συζητήθηκε ΕΔΩ . Δεν ήθελα να συνεχίσω τη συζήτηση σε χώρο που μπορεί να εμπλακούν και μαθητές. Το θέμα αφορά κυριώς εμάς! (Το κείμενο βρίσκεται στο συνημμένο αρχείο στο τέλος της ανάρτησης). Θέμα Γ, Παλαιό 2020 Εκφώνηση.jpg 1. Όπως δί...

Γιώργο , εδώ είναι η ουσία της ένστασής μου στην "μεταμόρφωση" κλασσικών θεμάτων σε θέματα εξετάσεων. (Η μετάλλαξη που λέγαμε ΕΔΩ ) (ανάρτηση #13). Η καρδιά του προβλήματος είναι η εξής: 17-6-2020 Γ4 β.jpg (Από το βιβλίο του Π. Τόγκα για μέγιστα κι ελάχιστα του 1932). Οι Αndreescu, Mushkarov, Stoya...

Το θέμα είναι ότι $\displaystyle B\widehat OM = \theta, $ Αυτό ισχύει αν $0 <\theta\leq \frac{\pi }{2}$ Αλλά δίνεται $\theta \in (0,\pi )$ Σημαντική η παρατήρηση του Σταύρου. Αναρωτιέμαι αν αναμένεται από τους μαθητές η διερεύνηση και της περίπτωσης το κέντρο να είναι εκτός κύκλου, όπως θα συνέβαιν...

Γιώργο καλησπέρα ! Δεν μπορώ να μην σου σφίξω το χέρι για αυτή την ωραία προσπάθεια και προσέγγιση. Χθες το πρωί με το Σταύρο, στο καφενείο του Δήμου, στην παραλία της Χαλκίδας κουβεντιάσαμε τις σκέψεις σου για πολλή ώρα. Νομίζω ότι ο Σταύρος, όταν βρει το χρόνο , κάτι σημαντικό θα γράψει για αυτό ...

Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ θερμά τους φίλους που επικοινώνησαν μαζί μου και μοιράστηκαν τις σκέψεις τους για αυτό το όμορφο θέμα. Για την εύρεση του μεγίστου εικάζω ότι η διαισθητική απάντηση που έδωσα είναι ορθή. Λείπει η μαθηματική τεκμηρίωσή της. Θα συνεχίσω να προσπαθώ με εργαλεία από τα σχολ...

Ας αναρτήσω και μια προσπάθεια για την ελάχιστη τιμή. Τρίγωνο στο τετράγωνο (2).png Έστω $T$ το κέντρο του τετραγώνου. Τότε, από τριγωνική ανισότητα είναι $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {KT \le KA + AT}\\ {LT \le LB + BT}\\ {MT \le MC + CT}\\ {NT \le ND + DT} \end{array}} \right. \...

Καλησπέρα σε όλους. Θα επιχειρήσω μια προσέγγιση, αρκετά περιγραφική θα έλεγα. Θα χαρώ να δω τυχόν διορθώσεις ή αντιρρήσεις σε μια προσέγγιση που με παίδεψε αρκετά και κυρίως να δω κάτι κομψότερο! Εντοπισμός μέγιστης τιμής. Τρίγωνο στο τετράγωνο (1).png Έστω, δίχως να χαλά η γενικότητα, ότι $ \displ...