Ανοικτή σε όλους.

Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:



Edit 10:59μμ. Αβλεψία που έγραφα γρήγορα. Ευχαριστώ τον κύριο Μιχάλη.

Απόρριψη δημοσίευσης.

Ισχύει για $a>0$ ότι $a + \frac{1}{a} \geq 2$ $a + \frac{1}{a} \geq a+b$ $\frac{1}{a} \geq b$ άρα $\frac{1}{a^2} \geq b^2$ Ισχύει για $b>0$ ότι $b + \frac{1}{b} \geq 2 \iff b + \frac{1}{b} \geq a+b$. Και με τον ίδιο τρόπο είναι $\frac{1}{b^2} \geq a^2$. Με πρόσθεση κατά μέλη είναι $\frac{1}{a^2} + ...

Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς με , ισχύει:

Να προσδιορίσετε όλες τις τετράδες με πρώτους και θετικό ακέραιο, που ικανοποιούν την εξίσωση:



(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές του γυμνασίου).

Αποτελέσματα ΜΕΓΑΛΩΝ:

https://hms.gr/wp-content/uploads/2026/ ... Y-2026.pdf

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους και ιδιαίτερα σε όλα τα μέλη του !!!

Edit 9:55μμ. Τα αποτελέσματα των ΜΙΚΡΩΝ πότε να τα περιμένουμε;

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί με .

Να αποδείξετε ότι:


Για ποιες τιμές των και ισχύει η ισότητα;

Edit 9:29μμ. Μήπως ο φάκελος δεν είναι σωστός;

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑

Τρί Απρ 14, 2026 7:10 pm

Καλησπέρα Φώτη. Οι δοκιμές δεν αποδεικνύουν κάτι. Οπότε δεν νομίζω ότι θα έπαιρνες κάτι αν το έγραφες.

Σας ευχαριστώ.

Στον πλανήτη Μαθστάρ οι μαθητές μαθαίνουν την πράξη $\displaystyle{\bigstar}$ (αστέρι) με τη βοήθεια του τύπου: $\displaystyle{a\bigstar b =a²+a+b}$, όπου $\displaystyle{a,b}$ είναι ακέραιοι αριθμοί. Να βρείτε τα αποτελέσματα των πράξεων: (α) $\displaystyle{3\bigstar4}$ και $\displaystyle{(1\bigsta...

Πρόβλημα 4: Έχουμε ένα ρομπότ το οποίο βρίσκεται σε ένα αριθμημένο από το $1$ ως το $36$ πλέγμα $6*6$, όπως αυτό δίπλα. Το ρομπότ μπορεί να κινείται μόνο σε γειτονικά τετράγωνα και δεν μπορεί να πάει σε ένα τετράγωνο δύο φορές. Αν το ρομπότ βρίσκεται στο τετράγωνο αριθμημένο $1$ και πρέπει να καταλ...

Ανοικτή σε όλους.

Στον πλανήτη Μαθστάρ οι μαθητές μαθαίνουν την πράξη $\displaystyle{\bigstar}$ (αστέρι) ... (γ) Αν ισχύει $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{a=b}$. ... Η άσκηση είναι από διαγωνισμό δημοτικού. Έτσι όπως ήταν την ανέβασα , δηλαδή με το "ακέραιοι". . Φώτη, ...

Μία ακόμη λύση που δεν ξέρω αν μετράει: $\displaystyle{1=1!}$, δηλαδή παίρνω ένα από τα δύο σπίρτα που βρίσκονται στο δεξί μέλος, το στρίβω ανάποδα, και το τοποθετώ δεξιά από το $\displaystyle{1}$. Με ξενίζει ότι ένα σπίρτο ανάποδα σημαίνει $\bold {!}$. To σπίρτο ένα ένα κομμάτι, ενώ το παραγοντικό...

Στον πλανήτη Μαθστάρ οι μαθητές μαθαίνουν την πράξη $\displaystyle{\bigstar}$ (αστέρι) με τη βοήθεια του τύπου: $\displaystyle{a\bigstar b =a²+a+b}$, όπου $\displaystyle{a,b}$ είναι ακέραιοι αριθμοί. Να βρείτε τα αποτελέσματα των πράξεων: (α) $\displaystyle{3\bigstar4}$ και $\displaystyle{(1\bigstar...

Χρόνια πολλά! Χριστός Ανέστη!

Μία ακόμη λύση που δεν ξέρω αν μετράει:

, δηλαδή παίρνω ένα από τα δύο σπίρτα που βρίσκονται στο δεξί μέλος, το στρίβω ανάποδα, και το τοποθετώ δεξιά από το .

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων $x,y$ που επαληθεύουν την εξίσωση: $(x-y)(xy+3)=21-(xy)^2$ Λύση 1 Θέτουμε: $\displaystyle t=xy. $ Η εξίσωση γίνεται: $\displaystyle (x-y)(t+3)=21-t^2. $ Γράφουμε: $\displaystyle 21-t^2 = 12 - (t+3)(t-3). $ Άρα: $\displaystyle (x-y)(t+3) = ...

Βρείτε τους θετικούς αριθμούς $x , y$ , για τους οποίους ισχύει : $x+\dfrac{1}{x}=y $ και : $x^3+\dfrac{1}{x^3}=3y$ Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $\displaystyle{a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)}$: $\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right) $ Άρα: $\displaystyle x^...

$\bigstar$$$ Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} 2xy &=3(x+y) \\ \\ 5x^2y^2&=18(x^2+y^2) \\ \end{matrix}\right.$ Θέτουμε: $\displaystyle S = x+y,\quad P = xy $ Από την πρώτη εξίσωση: $\displaystyle 2xy = 3(x+y) \Rightarrow 2P = 3S \Rightarrow S = \frac{2P}{3} $ Για τη δεύτερη εξίσωση χρησι...

Ανοικτή σε όλους.