.
α) Δείξτε ότι ο $2025^{2026}$ γράφεται ως άθροισμα $2025$ διαδοχικών φυσικών αριθμών.

β) (Γενίκευση) Δείξτε ότι ο $(2k+1)^N(2m+1)^N(2n+1)^N$ γράφεται ως άθροισμα $(2k+1)(2m+1)(2n+1)$ διαδοχικών φυσικών αριθμών.

(Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας)


(α) ερώτημα:

Θεωρούμε τους ...

Παρουσιάζω δύο λύσεις:

1ος τρόπος:

\[
37\equiv 1\pmod{12},\qquad 13\equiv 1\pmod{12}.
\]

Άρα
\[
37^m-13^n\equiv 1^m-1^n
\equiv 0\pmod{12}.
\]

Επομένως,
\[
\boxed{12\mid 37^m-13^n}.
\]

2ος τρόπος:

\[
37=36+1,\qquad 13=12+1.
\]

Από το διωνυμικό θεώρημα, υπάρχουν
\(a,b\in\mathbb{Z}\) τέτοιοι ...

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου \(AOB\) (\(O\) το κέντρο), μία
χορδή \(CD\) (τα σημεία \(A, C, D, B\) είναι με αυτή τη σειρά),
το μέσον \(M\) του \(CD\) και η παράλληλη από το \(M\) προς
την \(AD\), που τέμνει την ευθεία \(BA\) στο \(N\).
Αν η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο \(B\) τέμνει την ευθεία
\(CD ...

Dimessi έγραψε: Τρί Σεπ 15, 2026 9:21 pm Εσύ το κατασκεύασες ρε μάγκα;

Δυστυχώς, όχι.

Για χαριτωμένο πρώτο p>5 επειδή pq-2\not\equiv 0\left ( \mathrm{mod}3 \right )\Longrightarrow pq\not\equiv 2\left ( \mathrm{mod}3 \right ) και pq+2\not\equiv 0\left ( \mathrm{mod}3 \right )\Longrightarrow pq \not\equiv 1\left ( \mathrm{mod 3} \right ), επομένως 3|pq. Αφού 3\nmid p\Longrightarrow ...

Ονομάζουμε έναν πρώτο αριθμό $$p$$ χαριτωμένο αν υπάρχει πρώτος
αριθμός \(q\) τέτοιος, ώστε και οι δύο αριθμοί
\[
pq-2,\qquad pq+2
\]
να είναι πρώτοι.

Επίσης, ονομάζουμε έναν πρώτο αριθμό $$p$$ θαυμάσιο αν τόσο ο
\(p\) όσο και ο \(p+2\) είναι χαριτωμένοι .

Να προσδιορίσετε όλους τους θαυμάσιους ...

Μπορείτε να βάλετε το link με τα αντίστοιχα για BMO/EGMO/IMO;
Σας ευχαριστώ πολύ.

Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $$ΑΒΓ$$, με υποτείνουσα $$ΒΓ$$. Στο εσωτερικό του τριγώνου παίρνουμε σημείο $$M$$ τέτοιο, ώστε $$\measuredangle ΑΒΜ = \measuredangle ΜΓΒ = 30 ^{\circ} $$. Να αποδείξετε ότι το $$M$$ βρίσκεται σε κάποιο από τα τμήματα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του ...

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2026 12:18 pm .


αλλά εδώ
.

Fotis34 έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2026 10:57 am

.

είναι μεν σωστό, αλλά χρειάζεται απόδειξη/τεκμηρίωση.

Εύκολα με μαθηματική επαγωγή.

.
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί φυσικοί αριθμοί $n$ τέτοιοι ώστε o $\sqrt [n]{n+7}$ είναι φυσικός.

(Είδα παραλλαγή της σε ξένη εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα, και μου άρεσε. Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας του Γυμνασίου. )

Θέτουμε
\[
\sqrt[n]{n+7}=k,\quad k\in\mathbb{N}.
\]
για
\[
n ...

achilleas έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 1:40 pm Δείτε εδώ.

Σας ευχαριστώ πολύ!

Καλησπέρα! Θα ήθελα να ρωτήσω αν επιτρέπεται να δημοσιευτούν τα θέματα των φετινών Τεστ επιλογής της Κύπρου για την JBMO, εφόσον φυσικά δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός. Επίσης, γνωρίζει κάποιος αν τα έχει στην κατοχή του και θα μπορούσε να τα μοιραστεί;
Ευχαριστώ πολύ!

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη πρώτων θετικών ακέραιων που είναι τέτοια ώστε:

Καλησπέρα,

Καταρχάς καλή επιτυχία σε όλα τα μέλη της Ελλάδας και της Κύπρου!

Αν κάποιος έχει τα σημερινά θέματα, ας τα αναρτήσει.

Καλημέρα!
Ψάχνω την περσινή shortlist της JBMO, αλλά δεν έχω καταφέρει να τη βρω κάπου. Αν πλέον επιτρέπεται να δημοσιευτεί, μήπως έχει κάποιος κάποιο link;
Ευχαριστώ πολύ!

Από 3 έως 8 Μαΐου πραγματοποιείται στη Θεσσαλονίκη η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Λυκείου. Σήμερα έγινε ο διαγωνισμός και, αν κάποιος έχει τα θέματα, ας τα αναρτήσει.

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που εκπροσωπούν τη χώρα μας! Εύχομαι όμορφα αποτελέσματα και να χαρούν αυτή τη σημαντική εμπειρία ...

$\bigstar$ Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix}
x+y+z &=1 & \\
& & \\
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=1 & \\
& & \\
2x-3y+4z& =1 & \\
& & \\
\end{matrix}\right.$


Από την πρώτη εξίσωση:

$\displaystyle
x=1-y-z.
$

Αντικαθιστούμε στην τρίτη:

$\displaystyle
2(1-y-z)-3y+4z=1 ...

Συγγνώμη που δεν απάντησα, το ξέχασα. Η άσκηση είναι από το διαγωνισμό της Κορέας για juniors $\displaystyle{2026}$.


Ευχαριστώ για την απάντηση. Έχεις ακριβή παραπομπή γιατί δεν την βρίσκω, δεδομένου ότι σίγουρα υπάρχουν διάφοροι διαγωνισμοί στην Κορέα, και τα στοιχεία που δίνεις είναι ασαφή ...

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Απρ 29, 2026 6:27 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Απρ 27, 2026 11:12 pm Θα ήθελα να ρωτήσω αν η άσκηση είναι κατασκευής σου. Αλλιώς, από πού είναι;

Φώτη, έχεις δει το παραπάνω μήνυμα;

Συγγνώμη που δεν απάντησα, το ξέχασα. Η άσκηση είναι από το διαγωνισμό της Κορέας για juniors .

Να προσδιορίσετε όλες τις τετράδες $\displaystyle{(p,q,r,n),}$ με $\displaystyle{p,q,r}$ πρώτους και $\displaystyle{n}$ θετικό ακέραιο, που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{p^n+q^n+r^n=2026(p+q)(q+r)(r+p).}$

(Ας την αφήσουμε $\displaystyle{24}$ ώρες για τους μαθητές του γυμνασίου).


Μια ...