Καλημέρα!
Ψάχνω την περσινή shortlist της JBMO, αλλά δεν έχω καταφέρει να τη βρω κάπου. Αν πλέον επιτρέπεται να δημοσιευτεί, μήπως έχει κάποιος κάποιο link;
Ευχαριστώ πολύ!

Από 3 έως 8 Μαΐου πραγματοποιείται στη Θεσσαλονίκη η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Λυκείου. Σήμερα έγινε ο διαγωνισμός και, αν κάποιος έχει τα θέματα, ας τα αναρτήσει. Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που εκπροσωπούν τη χώρα μας! Εύχομαι όμορφα αποτελέσματα και να χαρούν αυτή τη σημαντική εμπειρία :f...

$\bigstar$ Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y+z &=1 & \\ & & \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=1 & \\ & & \\ 2x-3y+4z& =1 & \\ & & \\ \end{matrix}\right.$ Από την πρώτη εξίσωση: $\displaystyle x=1-y-z. $ Αντικαθιστούμε στην τρίτη: $\displaystyle 2(1-y-z)-3y+4z=1 $ $\displayst...

Συγγνώμη που δεν απάντησα, το ξέχασα. Η άσκηση είναι από το διαγωνισμό της Κορέας για juniors $\displaystyle{2026}$. Ευχαριστώ για την απάντηση. Έχεις ακριβή παραπομπή γιατί δεν την βρίσκω, δεδομένου ότι σίγουρα υπάρχουν διάφοροι διαγωνισμοί στην Κορέα, και τα στοιχεία που δίνεις είναι ασαφή. Υπάρχ...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Απρ 29, 2026 6:27 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Δευ Απρ 27, 2026 11:12 pm

Θα ήθελα να ρωτήσω αν η άσκηση είναι κατασκευής σου. Αλλιώς, από πού είναι;

Φώτη, έχεις δει το παραπάνω μήνυμα;

Συγγνώμη που δεν απάντησα, το ξέχασα. Η άσκηση είναι από το διαγωνισμό της Κορέας για juniors .

Να προσδιορίσετε όλες τις τετράδες $\displaystyle{(p,q,r,n),}$ με $\displaystyle{p,q,r}$ πρώτους και $\displaystyle{n}$ θετικό ακέραιο, που ικανοποιούν την εξίσωση: $\displaystyle{p^n+q^n+r^n=2026(p+q)(q+r)(r+p).}$ (Ας την αφήσουμε $\displaystyle{24}$ ώρες για τους μαθητές του γυμνασίου). Μια λίγο ...

Επαναφορά.

Σας ευχαριστώ! Λογικά, αυτή ήταν η ιδέα.

Pistodoulos έγραψε: ↑

Δευ Απρ 06, 2026 11:01 pm

Πρόβλημα 3:
Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε και
Αποδείξετε ότι

Μπορείς κάποιος να αναρτήσει λύση;

Τα αποτελέσματα των ΜΙΚΡΩΝ:

https://hms.gr/wp-content/uploads/2026/ ... ESMATA.pdf

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους!!!

Ανοικτή σε όλους.

Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:



Edit 10:59μμ. Αβλεψία που έγραφα γρήγορα. Ευχαριστώ τον κύριο Μιχάλη.

Απόρριψη δημοσίευσης.

Ισχύει για $a>0$ ότι $a + \frac{1}{a} \geq 2$ $a + \frac{1}{a} \geq a+b$ $\frac{1}{a} \geq b$ άρα $\frac{1}{a^2} \geq b^2$ Ισχύει για $b>0$ ότι $b + \frac{1}{b} \geq 2 \iff b + \frac{1}{b} \geq a+b$. Και με τον ίδιο τρόπο είναι $\frac{1}{b^2} \geq a^2$. Με πρόσθεση κατά μέλη είναι $\frac{1}{a^2} + ...

Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς με , ισχύει:

Να προσδιορίσετε όλες τις τετράδες με πρώτους και θετικό ακέραιο, που ικανοποιούν την εξίσωση:



(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές του γυμνασίου).

Αποτελέσματα ΜΕΓΑΛΩΝ:

https://hms.gr/wp-content/uploads/2026/ ... Y-2026.pdf

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους και ιδιαίτερα σε όλα τα μέλη του !!!

Edit 9:55μμ. Τα αποτελέσματα των ΜΙΚΡΩΝ πότε να τα περιμένουμε;

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί με .

Να αποδείξετε ότι:


Για ποιες τιμές των και ισχύει η ισότητα;

Edit 9:29μμ. Μήπως ο φάκελος δεν είναι σωστός;

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑

Τρί Απρ 14, 2026 7:10 pm

Καλησπέρα Φώτη. Οι δοκιμές δεν αποδεικνύουν κάτι. Οπότε δεν νομίζω ότι θα έπαιρνες κάτι αν το έγραφες.

Σας ευχαριστώ.

Στον πλανήτη Μαθστάρ οι μαθητές μαθαίνουν την πράξη $\displaystyle{\bigstar}$ (αστέρι) με τη βοήθεια του τύπου: $\displaystyle{a\bigstar b =a²+a+b}$, όπου $\displaystyle{a,b}$ είναι ακέραιοι αριθμοί. Να βρείτε τα αποτελέσματα των πράξεων: (α) $\displaystyle{3\bigstar4}$ και $\displaystyle{(1\bigsta...