Άσκηση 67 (μία απλή στις ακολουθίες) Έστω $\{x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R}, \;\; \{y_n\}_{n=1}^{\infty} \subset (0, +\infty)$. Yποθέτουμε ότι η $\{x_n /y_n \}_{n=1}^{\infty}$ είναι μονότονη . Να δείξετε ότι η ακολουθία $z_n , \; n=1, 2, \dots$ η οποία ορίζεται ως: $\displaystyle{z_n = \f...

Το επαγωγικό επιχείρημα στηρίζεται στο γεγονός ότι άμα έχουμε δύο σύνολα $M_1, M_2$ με $n$ αντικείμενα, ώστε $|M_1 \cup M_2| = n+1$, τότε $M_1 \cap M_2 \neq \emptyset$. Αυτό το επιχείρημα όμως ισχύει για $n \geq 2$ και όχι για $n=1$. Κατ'επέκταση δεν ισχύει το επαγωγικό βήμα $1 \to 2$ και άρα δε μπο...

Ναι, μια χαρά ισχύει. Απλά χρησιμοποιείς την γραμμικότητα της συνδιακύμανσης και μετά παρατηρείς ότι μόνο η "διαγώνιος" παραμένει, καθώς kai από την υπόθεσή σου.

Ναι και όχι. Κατά κανόνα άμα μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα στατιστικό τεστ για οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας α, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε και διαστήματα εμπιστοσύνης με όποια κάλυψη θέλουμε. Αυτό ισχύει και αντίστροφα. Από την άλλη, αφού ρωτάς, ενδεχομένως να μη σου είναι ξεκάθαρη αυτή η...

Καλησπέρα! 'Εστω μια ακολουθία από μέτρα πιθανότητας $\mathbb P_n$ που αντιστοιχούν σε κανονικές κατανομές $N(\mu_n,\sigma_n^2)$. Έστω ακόμα ότι υπάρχει μέτρο πιθανότητας $\mathbb P$, ώστε $\mathbb P_n \Rightarrow \mathbb P$ (ασθενής σύγκλιση). Γνωρίζουμε τότε κάτι για το μέτρο πιθανότητας $\mathbb ...

Ωραία, ευχαριστώ πολύ. Το όριο είναι ίσως πράγματι τετριμμένο για ΑΕΙ, ωστόσο ήθελα να το παρουσιάσω εδώ (ίσως ο φάκελος των Πιθανοτήταν να ήταν μάλιστα πιο κατάλληλος), καθώς έχει την ακόλουθη ενδιαφέρουσα ερμηνεία: Έστω $F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}arctanx$ η συνάρτηση κατανομής του Cauchy, ...

Να βρεθεί το όριο:

Χμμμ, σίγουρα είναι έτσι η εκφώνηση της άσκησης? Εικάζω ότι αρχικά δίνεται η συνθήκη ότι οι μεταβλητές $\ln X_1,\ln X_2$ έχουν κοινή κανονική κατανομή, δηλαδή ότι: $\begin{pmatrix} \ln X_2\\ \ln X_1 \end{pmatrix} \sim N(\mu, \Sigma)$ με $\mu = \begin{pmatrix} 1.5\\ 1 \end{pmatrix}$ $\Sigma = \begin{...

Χμμ αυτή είναι η βασική ιδέα, αλλά θέλει μικρή τροποποίηση, γιατί με βάση τον ορισμό της ακολουθιακής συμπάγειας πρέπει να εξετάσεις οποιαδήποτε ακολουθία στο . π.χ. και τη σταθερή ακολουθία

Εναλλακτικά πάλι αφού στήσουμε τον πίνακα $A$, βλέπουμε ότι ειναι ήδη σε μορφή Frobenius. Κατα συνέπεια μπορούμε να " διαβάσουμε " απευθείας τους "elementary divisors" (ελληνικός όρος;) του πίνακα $tE-A$, οι οποίοι είναι $1|1|....|1|t^n$ και από γνωστό θεώρημα ο τελευταίος από αυτούς τους όρους είνα...

Η προηγούμενη λύση που είχα στείλει ήταν λάθος (ευχαριστώ τον socrates για την επισήμανση). Τουλάχιστον και η δεύτερη απόπειρα λύσης ξεκινά με ανάλογο συλλογισμό: Έστω $x\in G$ τυχαίος. Υποστηρίζω ότι η συνάρτηση $f$ είναι ακριβώς αυτή που στέλνει το $x$ στον ελάχιστο φυσικό $n_0$ με την ιδιότητα $x...

Ναι, κολλάει η λύση σου. Το πρόβλημα συγκεκριμένα είναι ότι το $\int_x^{x+y}f(t)dt=\int_{x-y}^{x}f(t)dt \forall x,y \in \mathbb R$ είναι τελείως διαφορετική συνθήκη από $\int_x^{x+y}f(t)dt=\int_{x-y}^{x}f(t)dt \forall x \in \mathbb R$ , όπου $y$ σταθερός (επιλεγμένος) αριθμός. Εσύ σαν υπόθεση έχεις ...

(Υποθέτω ότι $k_A\in\mathbb Z$) a)Το πρώτο πράγμα που πρέπει να δειχθεί είναι ότι η συνάρτηση είναι καλώς ορισμένη, με άλλα λόγια ότι σε κάθε πίνακα Α στο πεδίο ορισμού αντιστοιχεί μία μόνο τιμή $k_A$. Έστω $k_{A'},k_A$ ικανοποιούν τη συγκεκριμένη ιδιότητα και χωρίς βλάβη $k_{A'}\leq k_A$, τότε $\ex...

Για το β: Ο μαθητής διαλέγει $x<x_0$. Στη συνέχεια επικαλείται το ορισμό του ορίου. Δε γνωρίζει όμως αν το $x$ ανήκει στην ε-περιοχή του $x_0$ στην οποία ισχύει ότι $\dfrac{f\left( x'\right) -f\left( x_{0}\right) }{x'-x_{0}}>0$. Και δε νομίζω να σώζεται με κάποιο τρόπο το επιχείρημα. Ακόμα π.χ. και ...

Θέτοντας $x=y=z=0$ παίρνουμε $|f(0)|< \displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\forall \varepsilon >0 \Rightarrow f(0)=0$. Ανάλογα με $z=0,y=-x$ προκύπτει $f(x)=-f(-x) \forall x\in\mathbb R$, δηλαδή κάθε συνάρτηση-λύση είναι περιττή. Τώρα με $z=0$ και θέτοντας όπου $y$ το $-y$, βλέπουμε ότι η $f$ είναι σ...

Cesaro sum -> ,

όπου η χρυσή τομή.

Αναρωτιέμαι αν η παρακάτω λύση κολλάει κάπου, γιατί μου φαίνεται πολύ απλή για θέμα διαγωνισμού Putnam. Θέτω x=0 στη δοθείσα και προκύπτει: $\frac{f(n)}{n}=f'(0)+\frac{f(0)}{n} \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{f(n)}{n}=f'(0)$. Έστω τώρα $x\in\mathbb R$ τυχαίος. Τότε ισχύει: $\displa...

.... Απλά θέλω κάτι για αρχή......... Λοιπόν Ανδρέα, σωστά. Πρέπει κανείς να αρχίζει από την αρχή. Έτσι κάποια καλά βιβλία Ανάλυσης και Γραμμικής Άλγεβρας είναι τα: 1) Walter Rubin "Αρχές Μαθηματικής Ανάλυσης" εκδόσεις Leader Books (μεταφρασμένο στα Ελληνικά) 2) Michael Spivak "Διαφορικός & Ολοκληρ...

Μια προσπάθεια λύσης. Έστω $a\in\mathbb R$ τυχαίος, τότε από το θεώρημα Taylor προκύπτει η παρακάτω μορφή για τη $f$: $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{\displaystyle f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{\displaystyle f'''(a)}{6}(x-a)^3+\frac{\displaystyle f^{(4)}(t)}{24}(x-a)^4$, όπου $t$ ανάμεσα στα $x,a$. Τώρα από τ...

Είναι γνωστό (έχει συζητηθεί στο :logo: , αλλά και εύκολα αποδεικνύεται για τον φάκελο που βρισκόμαστε) ότι για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση με τις ιδιότητες που δίνονται οι αριθμοί $\frac {1}{n}$, όπου $n$ θετικός ακέραιος είναι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης. Για αυτό και ο τίτλος. ;) Πάντως αυτή η...