Ενδιαφέρον. Για να δουμε όμως αν θα περάσει και στην υλοποίηση!

ΥΓ: mick7 είδα το δικό σου θέμα αφού είχα ετοιμάσει το δικό μου, το οποίο και τοποθέτησα αρχικά στα "Θέματα Ολυμπιάδων" (καθώς νόμιζα ειναι πιο σχετικό εκεί), όμως οι διαχειριστές το μετέφεραν εδώ.


Σχετικά με αυτό ο υπουργός ...

Πριν λίγες μέρες, ερευνητές από τη DeepMind (γνωστή για πολλά breakthroughs στο χώρο του Deep Learning και της τεχνητής νοημοσύνης (ΤΝ)), δημοσίευσαν στο κορυφαίο επιστημονικό περιοδικό Nature ένα νέο μοντέλο, το AlphaGeometry, που μπορεί να λύσει ασκήσεις γεωμετρίας επιπέδου ολυμπιάδων. Δείτε το ...

Συγχαρητήρια σε όλη την ομάδα - φοβερή επιτυχία!
Καλαντζής Γιώργος

Καλησπέρα στην κοινότητα, εύχομαι καλα αποτελέσματα στην ελληνική ομάδα !
Επιστρέφω μιας και μου φάνηκαν πολύ ενδιεφέροντα τα προβλήματα και θα ήθελα να μοιραστώ μια λύση για το Π2.

Αρχικά να δώσω δυο σκέψεις για τη λύση μου. Το πρώτο που σκέφτηκα ήταν να θεωρήσω $F$ την τομή της διχοτόμου της ...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.
Καλαντζής Γεώργιος
Μαθηματικός

Καλησπέρα σε όλους και Καλά Αποτελέσματα στους διαγωνιζόμενους! Επιστρέφω μετά από καιρό στο αγαπητό forum με μια προσέγγιση στη γεωμετρία των μεγάλων:

Θέμα 2ο - Μεγάλοι
Έστω $T$ το σημείο τομής των εφαπτομένων από τα σημεία $B,C$ στον κύκλο $c$. Θα βασιστώ σε γνωστή πρόταση που λέει ότι η $AT ...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση
Καλαντζής Γιώργος
Μαθηματικός

Δίνω, για λόγους αρχείου και κυρίως επειδή ασχολήθηκα με το θέμα πρόσφατα τη λύση στο 4ο :

Κατ'αρχάς το ότι έχουμε 2004 στοιχεία δε μας επηρεάζει οπότε αποδεικνύουμε μια "γενίκευση". Επίσης θεωρούμε ότι όλα τα στοιχεία να είναι διαφορετικά ανά δύο, αφού αλλιώς δε μπορούμε να ορίσουμε αριθμητική ...

Συγχαρητήρια στην ομάδα μας! Μπορούμε να πούμε ότι τα παιδιά ΕΣΚΙΣΑΝ! 4 μετάλια, 2 χρυσά και 1 40άρι! ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ!!
Χαιρομαι ιδιαιτέρως που περσι ήμασταν με τους μισούς στην ίδια ομάδα και φέτος τα πήγαν ακόμα καλύτερα! Καλή συνέχεια παιδιά! Θέλουμε χρυσΑ και στην ΙΜΟ!

Να ευχηθώ κι εγώ με τη σειρά μου (τώρα που γύρισα στον υπολογιστή μου! :D ) ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΔΙΑΚΡΙΘΕΝΤΕΣ!ΚΑΙ ΚΑΛΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ! .
Αναφέρω τώρα άλλη μια λύση της Γεωμετρίας των μεγάλων που βρήκα στο γυρισμό προς Πάτρα. Μάλιστα, χωρίς τη χρήση λημμάτων, για να μή λένε μερικοί ...

Φιλε Δημήτρη καλως ήρθες στην παρέα μας. Οι μαθηματική διαγωνισμοί, όπως και κάθε άλλο αγώνισμα, θέλουν προσπάθεια, αφοσίωση-συγκέντρωση και αγάπη προς το αντικείμενο. Το πολύ διάβασμα δε σου εξασφαλίζει επιτυχία και βεβαίως, και "ο πιο έξυπνος" θα μπορούσε να αποτύχει ακόμα και στα πρώτα επίπεδα ...

Συμπληρώνω τη λύση του προηγούμενου φίλου βάζοντας μια γενικευμένη απάντηση του αρχικού προβλήματος.

Θεωρούμε την ακολουθία $a_n=p^a_{n-1}+p, a_0=p$, όπου p ένας πρώτος. Ισχύει ότι $a_{n-1} | a_n$ και αυτό το δείχνουμε επαγωγικά:
Για k=1 έχουμε $a_1=p^{p-1}+p=p(p^{p-2}+1)\Longrightarrow a_0|a_1$ (p ...

Επαναφέρω το θέμα μετά από καιρό ώστε, αφού σας ευχαριστήσω όλους, για τη δύναμη, την εμψύχωση και το θάρρος που μας δώσατε-και γενικά δίνετε (όπως και γω θα δίνω στο εξής)- στους διαγωνιζόμενους των μαθηματικών ολυμπιάδων, να μοιραστώ τη λύση μου στο όμορφο γεωμετρικό πρόβλημα του φετινού ...

'Εστω κ 0 βαθμός του Ρ(χ). Τότε ο βαθμός του Ρ(χ+1) θα είναι κ και ο βαθμός του $P(x^{2})$ θα είναι $2k$ . Επειδή είναι $P(x^{2})=-P(x).P(x+1)$

για κάθε xΕR άρα θα πρέπει $2k=k.k$

Έχεις κάνει ένα λάθος!
Για κάθε 2 πολυώνυμα P,Q είναι $deg[P\cdot Q]=degP+degQ$. Αν και εσφαλμένος, με τον τρόπο ...

Δεν είναι πολύ δύσκολη αλλά νομίζω είναι "ζουμερή" (ναι χρησιμοποιώ συχνά αυτόν τον όρο :coolspeak: )

Να βρεθούν τα πολυώνυμα $P(x)$ ($x \in \mathbb{R}$) που είναι τέτοια ώστε $P(x^2) +P(x)P(x+1)=0$ .

Αν αντί για πολυώνυμο είχαμε συνάρτηση?


Άσχετο ,στη σελίδα "...Ολυμπιάδες » Θέματα για ...

K.Μπόλη χαίρομαι πολύ που γίνατε μέλος της κοινότητας μας. Εκτός όσων προαναφέρθηκαν θα ήθελα να σας ευχαριστήσω για όσα κάνατε για μας στη Ρουμανία καθώς και για τις υπέροχες ώρες που περάσαμε μαζί σας .Ήταν τιμή μου που σας είχα αρχηγό.

Επίσης νομίζω πρέπει να ευχαριστήσουμε την ΕΜΕ που επιτέλους ...

Συγχαρητήρια σε όλους - διακριθέντες και μη - και από μένα. Ευχαριστώ το "συμπαίχτη" Γιώργο για τα καλά του λόγια. Δεν τελείωσε τίποτα όμως, το ταξίδι μας συνεχίζεται. Καλή μας συνέχεια!

Για το 1ο:
Έχουμε $p^3(p+1)=(q-p)(q+p+1)$ οπότε με κάποιες πρυποθέσεις προκείπτει q=kp-1 για κάποιον άρτιο k. Έτσι $p^2(p+1)=(q-p)(k+1)$ όπου πρέπει k+1=mp για εναν πειττό m. Συνεπώς $p(p+1)=(q-p)m$ όπου και παλι πρέπει m=np για εναν πειττό n. Τελικά $p+1=(q-p)n$ και αφού p+1 άρτιος ενώ n περιττός ...

Καθώς έγραφα την απάντησή μου είδα ότι ο κ.Λουρίδας με πρόλαβε με αυτά τα 2 πολύ χρήσιμα λημματάκια,οπότε ας αναφέρω κάτι άλλο.
Γενικά το μοτίβο αυτό με μικρούς "εφαπτομενικούς" κύκλους μέσα σε άλλον είναι συχνό σε διαγωνισμούς και θεωρώ χρήσιμο να αναφέρω 2 χαρακτηριστικά παραδείγματα που έχω ...

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το ακόλουθο:

Έστω πλήρες τετράπλευρο ABCDTS (όπουT η τομή των ΑD,BC κλπ) με P το σημείο τομής των διαγωνίων BD,AC. To P ανήκει στην ευθεία Aubert ακα το ABCD είναι εγγράψιμο.
όπου η ευθεία Aubert είναι η ευθεία με τα ορθόκεντρα των τριγώνων TDC,TAB,SAD,ABC.

Έστω ...