Η αναζήτηση βρήκε 1176 εγγραφές

από chris
Πέμ Αύγ 04, 2016 1:25 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πρώτος παράγοντας!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 638

Re: Πρώτος παράγοντας!

... και ο $\displaystyle{10^9+8=2^3 \cdot 3^2\cdot7$ ... Παρατήρηση: Η μορφή (1) βρίσκεται με πολύ κόπο αλλά εγώ τη βρήκα με τη βοήθεια λογισμικού, όπως και τη μορφή του αριθμού $\displaystyle{A}$ Ίσως εδώ να βοηθάει και η ίδια ταυτότητα που χρησιμοποιήθηκε ήδη για να μην καταφύγουμε στην όντως επί...
από chris
Τετ Αύγ 03, 2016 11:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πρώτος παράγοντας!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 638

Re: Πρώτος παράγοντας!

Έχουμε $A=1.002.004.008.016.032=10^{15}+2\cdot 10^{12}+4\cdot 10^9+8\cdot 10^6+16\cdot 10^3+32$ Και παρατηρώντας το μοτίβο των όρων πολλαπλασιάζουμε με $2 \cdot 10^{-3}$. $2\cdot 10^{-3}\cdot A=2\cdot 10^{12}+4\cdot 10^{9}+8\cdot10^{6}+16\cdot10^{3}+32+64\cdot10^{-3}$ Οπότε με αφαίρεση κατά μέλη: $\...
από chris
Δευ Αύγ 01, 2016 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ακέραιες Ρίζες Πολυωνύμου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 677

Ακέραιες Ρίζες Πολυωνύμου

Με αφορμή αυτό!



Να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του d \in \mathbb{Z} τέτοια ώστε το πολυώνυμο:
P_d(x)=x^3-87x^2+181x+d να έχει τρεις ακέραιες ρίζες.
από chris
Παρ Ιούλ 29, 2016 2:47 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2016/2/2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 683

Re: IMC 2016/2/2

Θέτουμε στην αρχική όπου $\displaystyle y \rightarrow x+ \frac{1}{2}$ και παίρνουμε: $\displaystyle f(x)+f\left ( x+\frac{1}{2} \right )\geq \frac{1}{2}$ και ολοκληρώνοντας έχουμε: $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( f(x)+f\left ( x+\frac{1}{2} \right ) \right )dx\geq \frac{1}{4}$ Όμως: $\d...
από chris
Πέμ Ιούλ 28, 2016 4:35 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 117
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1076

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 117

Τηλέμαχε καλησπέρα! Αν $a,b,c\in \left ( 0,1 \right )$ αποδείξτε ότι $\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}< 1$ 1η Λύση Είναι $0< a,b,c <1$ και επίσης $1-c<1$ άρα: $\displaystyle \sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )} <...
από chris
Τρί Ιούλ 26, 2016 2:58 am
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Classic
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 548

Re: Classic

3) Να αποδειχθεί οτι είναι κοίλη Είναι $\displaystyle f''(x)=cosx \cdot lncosx -\frac{sin^2x}{cosx}, x \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ Για $x=0$ είναι $f''(x)=0$ και στις υπόλοιπες τιμές είναι $f''(x)<0$ δεδομένου του ότι $cosx >0$ για $x \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ και $lncosx <0$ ...
από chris
Σάβ Μαρ 26, 2016 2:17 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πάντα τέλειο τετράγωνο...
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1032

Re: Πάντα τέλειο τετράγωνο...

Το θυμάμαι αυτό το πρόβλημα. Είναι από κάποιο διαγωνισμό του Ιράν αλλά έψαξα λίγο σε κάτι αρχεία και δεν μπόρεσα να το βρω. Θα βάλω τη λύση που θυμάμαι από τότε αλλά ουσιαστικά εμπεριέχει θεώρημα οπότε δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι πιο απλό. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοιο σύνολο και ας πάρουμε 3 σταθερ...
από chris
Δευ Οκτ 26, 2015 2:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Χρόνια Πολλά
Απαντήσεις: 43
Προβολές: 2067

Re: Χρόνια Πολλά

Χρόνια πολλά και ευτυχισμένα στους εορτάζοντες. Υγεία και ο,τι επιθυμείτε :)
από chris
Δευ Σεπ 14, 2015 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 763

Re: Ευχές

Χρόνια πολλά και ευτυχισμένα στους εορτάζοντες και ιδιαίτερα στη Σταυρούλα και το Σταύρο. Υγεία και ευτυχία :)
από chris
Πέμ Αύγ 06, 2015 5:13 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Είναι μέσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 347

Re: Είναι μέσο

Έχουμε: $\displaystyle \angle{KAM}=\angle{BAE}=\angle{ECB}=\frac{\angle{DCB}}{2}=\frac{\angle{DAM}}{2} \Rightarrow 2\angle{KAM}=\angle{KAM}+\angle{KAD}\Rightarrow \angle{KAM}=\angle{KAD} \stackrel{KM \parallel AD}=\angle{MKA}$ Άρα $KM=MA$ και το ζητούμενο έπεται από το ότι το $KAL$ είναι ορθογώνιο τ...
από chris
Πέμ Ιούλ 23, 2015 2:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Αναζήτηση θέματος στο Rolle
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 877

Re: Αναζήτηση θέματος στο Rolle

Ίσως αυτή κ.Μπάμπη: viewtopic.php?f=56&p=14116#p14116
από chris
Κυρ Ιούλ 19, 2015 4:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Βαλκανική ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 468

Re: Βαλκανική ανισότητα!

Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$ με $\displaystyle{ab+bc+ca=3}$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{1}{4+(a+b)^2}+\frac{1}{4+(b+c)^2}+\frac{1}{4+(c+a)^2}\leq \frac{3}{8}.}$ Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την: $\displaystyle \frac{\left(a+b \right)^2}{4+\left(a+b \right)^2}+\frac{\left(b+c \right)^2}{...
από chris
Πέμ Ιούλ 16, 2015 11:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εύκολη συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 869

Re: Εύκολη συναρτησιακή!

Ας βρεθούν και όλες οι $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ώστε $f(x + yf(x)) = yx + f(x)$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$. Για $x=1$ η σχέση δίνει: $\boxed{f(1+yf(1))=y+f(1)}: (2)$ από όπου προκύπτει πως η $f$ είναι επί και άρα υπάρχει $x_0$ με $f(x_0)=0$. H αρχική για $x \rightarrow x_0$ δίνει: $f(x_0)=y...
από chris
Τρί Ιούλ 14, 2015 3:51 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Απλή_3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 324

Re: Απλή_3

\left(ABCD \right)=\left(NBMPD \right)+\left(PMC \right)+\left(ADN \right)+\left(ANB \right)=\left(NBMPD \right)+\left(PMB \right)+\left(PDN \right)+\left(PNB \right)=2\left(NBMPD \right)

Νομίζω το P μπορεί να είναι τυχαίο σημείο επί της DC, δεν χρειάζεται η συνθήκη PM=\frac{BC}{2}.
από chris
Τρί Ιούλ 07, 2015 8:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Κάθετη από το μέσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 501

Re: Κάθετη από το μέσο

Στα γρήγορα γιατί είμαι από pc του νοσοκομείου, όποιος μπορεί να βάλει το σχήμα ,αλλιώς θα το βάλω το βράδυ. Θεωρούμε τον κύκλο διαμέτρου $NC$ που τέμνει ξανά την $AB$ στο ίχνος του ύψους από το $C$ , έστω $H_1$. Έστω επίσης $H_2$ το ίχνος του ύψους από το $B$ από το οποίο διέρχεται ο κύκλος διαμέτρ...
από chris
Σάβ Ιουν 13, 2015 6:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Διοφαντική Εξίσωση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 616

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Νομίζω το σχόλιο του Αχιλλέα πάει στη λύση με διακρίνουσα (που έχει γίνει τετριμμένη για αυτές τις ασκήσεις). Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακεραίους $x^2+xy+y^2=\left(\dfrac{x+y}{3}+1\right)^3$. Προφανώς $3|x+y$ και άρα θέτουμε $x+y=3a$ και η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: $\displaystyle x^2...
από chris
Τετ Μάιος 27, 2015 5:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τουρνουά Τένις!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 544

Re: Τουρνουά Τένις!

Επαναφορά με hint.
Σε κάθε ομάδα παιχτών το πολύ ένας παίχτης νίκησε όλους τους άλλους και το πολύ ένας έχασε από όλους τους άλλους.Πόσες ομάδες με απόλυτο νικητή και πόσες με χαμένο μπορούμε να βρούμε που να αποτελούνται από συγκεκριμένους αριθμούς παιχτών και πως βοηθάει αυτό;
από chris
Δευ Μάιος 25, 2015 6:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συστήματα
Απαντήσεις: 36
Προβολές: 5269

Re: Συστήματα

Επειδή έχει ξεχαστεί αυτό το τόπικ να λύσουμε μερικά! 5. Να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle{\begin{cases}x^2+x=y^3-y \\ y^2+y=x^3-x \end{cases}}$ $\bullet$ Για $x=y$ λαμβάνουμε από την 1η σχέση: $x^2+x=x^3-x\Leftrightarrow x\left(x^2-x-2 \right)=0\Leftrightarrow x=0$ ή $x=-1$ ή $x=2$ λύσεις που όλε...
από chris
Παρ Μάιος 22, 2015 7:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 236731

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

ΑΣΚΗΣΗ 1204 Έστω $\displaystyle{a,b,c}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{a+b+c=1.}$ Να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{7+2b}{1+a}+\frac{7+2c}{1+b}+\frac{7+2a}{1+c}\geq\frac{69}{4} .}$ $\displaystyle \frac{7+2b}{1+a}+\frac{7+2c}{1+b}+\frac{7+2a}{1+c}=5\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση