... και ο $\displaystyle{10^9+8=2^3 \cdot 3^2\cdot7$ ... Παρατήρηση: Η μορφή (1) βρίσκεται με πολύ κόπο αλλά εγώ τη βρήκα με τη βοήθεια λογισμικού, όπως και τη μορφή του αριθμού $\displaystyle{A}$ Ίσως εδώ να βοηθάει και η ίδια ταυτότητα που χρησιμοποιήθηκε ήδη για να μην καταφύγουμε στην όντως επί...

Έχουμε $A=1.002.004.008.016.032=10^{15}+2\cdot 10^{12}+4\cdot 10^9+8\cdot 10^6+16\cdot 10^3+32$ Και παρατηρώντας το μοτίβο των όρων πολλαπλασιάζουμε με $2 \cdot 10^{-3}$. $2\cdot 10^{-3}\cdot A=2\cdot 10^{12}+4\cdot 10^{9}+8\cdot10^{6}+16\cdot10^{3}+32+64\cdot10^{-3}$ Οπότε με αφαίρεση κατά μέλη: $\...

Με αφορμή αυτό!



Να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του τέτοια ώστε το πολυώνυμο:
να έχει τρεις ακέραιες ρίζες.

Θέτουμε στην αρχική όπου $\displaystyle y \rightarrow x+ \frac{1}{2}$ και παίρνουμε: $\displaystyle f(x)+f\left ( x+\frac{1}{2} \right )\geq \frac{1}{2}$ και ολοκληρώνοντας έχουμε: $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( f(x)+f\left ( x+\frac{1}{2} \right ) \right )dx\geq \frac{1}{4}$ Όμως: $\d...

Τηλέμαχε καλησπέρα! Αν $a,b,c\in \left ( 0,1 \right )$ αποδείξτε ότι $\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}< 1$ 1η Λύση Είναι $0< a,b,c <1$ και επίσης $1-c<1$ άρα: $\displaystyle \sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )} <...

3) Να αποδειχθεί οτι είναι κοίλη Είναι $\displaystyle f''(x)=cosx \cdot lncosx -\frac{sin^2x}{cosx}, x \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ Για $x=0$ είναι $f''(x)=0$ και στις υπόλοιπες τιμές είναι $f''(x)<0$ δεδομένου του ότι $cosx >0$ για $x \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ και $lncosx <0$ ...

Το θυμάμαι αυτό το πρόβλημα. Είναι από κάποιο διαγωνισμό του Ιράν αλλά έψαξα λίγο σε κάτι αρχεία και δεν μπόρεσα να το βρω. Θα βάλω τη λύση που θυμάμαι από τότε αλλά ουσιαστικά εμπεριέχει θεώρημα οπότε δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι πιο απλό. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοιο σύνολο και ας πάρουμε 3 σταθερ...

Χρόνια πολλά και ευτυχισμένα στους εορτάζοντες. Υγεία και ο,τι επιθυμείτε

Χρόνια πολλά και ευτυχισμένα στους εορτάζοντες και ιδιαίτερα στη Σταυρούλα και το Σταύρο. Υγεία και ευτυχία

Έχουμε: $\displaystyle \angle{KAM}=\angle{BAE}=\angle{ECB}=\frac{\angle{DCB}}{2}=\frac{\angle{DAM}}{2} \Rightarrow 2\angle{KAM}=\angle{KAM}+\angle{KAD}\Rightarrow \angle{KAM}=\angle{KAD} \stackrel{KM \parallel AD}=\angle{MKA}$ Άρα $KM=MA$ και το ζητούμενο έπεται από το ότι το $KAL$ είναι ορθογώνιο τ...

Ίσως αυτή κ.Μπάμπη: viewtopic.php?f=56&p=14116#p14116

Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$ με $\displaystyle{ab+bc+ca=3}$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{1}{4+(a+b)^2}+\frac{1}{4+(b+c)^2}+\frac{1}{4+(c+a)^2}\leq \frac{3}{8}.}$ Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την: $\displaystyle \frac{\left(a+b \right)^2}{4+\left(a+b \right)^2}+\frac{\left(b+c \right)^2}{...

Ας βρεθούν και όλες οι $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ώστε $f(x + yf(x)) = yx + f(x)$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$. Για $x=1$ η σχέση δίνει: $\boxed{f(1+yf(1))=y+f(1)}: (2)$ από όπου προκύπτει πως η $f$ είναι επί και άρα υπάρχει $x_0$ με $f(x_0)=0$. H αρχική για $x \rightarrow x_0$ δίνει: $f(x_0)=y...

Νομίζω το μπορεί να είναι τυχαίο σημείο επί της , δεν χρειάζεται η συνθήκη

Στα γρήγορα γιατί είμαι από pc του νοσοκομείου, όποιος μπορεί να βάλει το σχήμα ,αλλιώς θα το βάλω το βράδυ. Θεωρούμε τον κύκλο διαμέτρου $NC$ που τέμνει ξανά την $AB$ στο ίχνος του ύψους από το $C$ , έστω $H_1$. Έστω επίσης $H_2$ το ίχνος του ύψους από το $B$ από το οποίο διέρχεται ο κύκλος διαμέτρ...

Και εδώ: viewtopic.php?f=112&t=35435&p=163362&hi ... ar#p163362
στην εργασία-pdf του Παναγιώτη πρόβλημα 5.

Νομίζω το σχόλιο του Αχιλλέα πάει στη λύση με διακρίνουσα (που έχει γίνει τετριμμένη για αυτές τις ασκήσεις). Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακεραίους $x^2+xy+y^2=\left(\dfrac{x+y}{3}+1\right)^3$. Προφανώς $3|x+y$ και άρα θέτουμε $x+y=3a$ και η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: $\displaystyle x^2...

Επαναφορά με hint.

Επειδή έχει ξεχαστεί αυτό το τόπικ να λύσουμε μερικά! 5. Να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle{\begin{cases}x^2+x=y^3-y \\ y^2+y=x^3-x \end{cases}}$ $\bullet$ Για $x=y$ λαμβάνουμε από την 1η σχέση: $x^2+x=x^3-x\Leftrightarrow x\left(x^2-x-2 \right)=0\Leftrightarrow x=0$ ή $x=-1$ ή $x=2$ λύσεις που όλε...

ΑΣΚΗΣΗ 1204 Έστω $\displaystyle{a,b,c}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{a+b+c=1.}$ Να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{7+2b}{1+a}+\frac{7+2c}{1+b}+\frac{7+2a}{1+c}\geq\frac{69}{4} .}$ $\displaystyle \frac{7+2b}{1+a}+\frac{7+2c}{1+b}+\frac{7+2a}{1+c}=5\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+...