Παραθέτω σε συνημμένο μια λύση.
Επειδή δυσκολεύομαι στα σχήματα, ο υπεύθυνος ή όποιος άλλος
έχει την ευγενή καλοσύνη ,ας ανεβάσει το σχήμα.
Ευχαριστώ. σχήμα.png

Έστω $K$ το σημείο τομής των κύκλων $(\Delta ,{\rm E},\Gamma ){\rm{ }},{\rm{ (B}}{\rm{,E}}{\rm{,Z)}}$.
Με βάση το παραπάνω σχήμα, από τα ...

Μπορούμε και μόνο με αθροίσματα γωνιών και εγγράψιμα τετράπλευρα
να δείξουμε το ζητούμενο.
Ευχαριστώ τον Θανάση για την ενασχόληση με την άσκηση.

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ υπάρχουν σημεία $\Delta ,E,Z$ των πλευρών του $B\Gamma ,A\Gamma ,AB$,
αντίστοιχα, ώστε να είναι: $B\Delta = E\Gamma = AZ$ και $B\hat Z\Delta = E\hat \Delta \Gamma = A\hat EZ$
Να αποδειχθεί ότι το $AB\Gamma$ είναι ισόπλευρο.
Έγινε η διόρθωση στίς γωνίες, μετά την επισήμανση του ...

Από την ισότητα: $f''(x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) = 0$ , έχουμε ότι και :$f''( - x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) = 0$ ,
οπότε:
$f''(x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) = f''( - x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} (x)$ , ισόδύναμα: $\left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f ...

Ας δούμε πρώτα την : $a^4 + b^4 + c^4 \geqslant a + b + c$.
Έχουμε:
$a^4 + b^4 + c^4 \geqslant a^2 b^2 + b^2 c^2 + a^2 c^2 = \frac{1}{{a^2 }} + \frac{1}{{b^2 }} + \frac{1}
{{c^2 }} \geqslant \frac{1}
{{ab}} + \frac{1}
{{ac}} + \frac{1}
{{bc}} = a + b + c$

Για την $a^2 + b^2 + c^2 \geqslant a + b ...

Για το (δ. ) , από την:
$\int_0^x {F(t)dt} = F(x) + (x - 1)e^{ - x} - 1$
έχουμε:

$\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \int_0^x {F(t)dt = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } } \left( {F(x) + (x - 1)e^x - 1} \right) = \cr
& \cr}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty ...

Ακριβώς στην ανισότητα:
$a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ac$ (1)
στηρίζεται και η δική μου λύση ,παρόμοια με του Θάνο.

Με τη βοήθεια της (1) , χωρίς τη χρήση της : $\eqalign{ & a^2 + b^2 + c^2 \geqslant a + b + c \cr & \cr}$
μπορούμε να αποδείξουμε ότι και

$a^4 + b^4 + c^4 \geqslant a + b + a ...

΄΄Μαθηματικα Λυκείου'' 5ο τεύχος:

Έστω συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη στο $R$ και $F$ μια παράγουσα της ,
τέτοια ώστε και για κάθε $x \in R$ , να ισχύει:

$F(x) - \int_0^x {F(t)dt = 1 + (x - 1)e^x }$

α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης :

$h (x) = x + e^{ - x} + e^{ - x} \int_0^x {F(t)dt ...

Αν
, με ,
να αποδείξετε ότι:


(με μαθηματικά Α΄Λυκείου)

Ας το δούμε και έτσι: με $A'$ ,εννοούμε ''έξω από το $A$''.
Οπότε το:
$(A \cup B)'$ σημαίνει ''έξω απο το $A$ και από το $B$

Δηλαδή δεν πραγματοποιείται ούτε το $A$ ούτε το $B$
Ενώ $A' \cup B'$ σημαίνει: ΄΄δεν πραματοποιείται το $A$ ή το $B$ ή και τα δύο,
δηλαδή : δεν πραγματοποιείται ένα ...

Με διάγραμμα Venn θα καταλάβεις εύκολα τη διαφορά.

Σ΄ευχαριστώ Γιώργο , καθότι δυσκολεύομαι στην παρουσίαση
των σχήμάτων.

Στο συνημμένο παραθέτω μια λύση:
Υπενθυμίζουμε στα μέλη μας ότι λύσεις σε συνημμένο δεν είναι αποδεκτές.
Γενικοί Συντονιστές

Έστω σημειο της διαγωνίου τετραγώνου .
Δείξτε ότι τα και τα περίκεντρα των τριγώνων είναι κορυφές τετραγώνου.

Σημείωση:
Εργαζόμενοι , ανάλογα βρίσκουμε ότι: $1 \le |z| \le 4$
Επομένως οι εικόνες του $z$ βρίσκονται στο κοινό μέρος των δύο δακτυλίων
και επειδή οι μεγάλοι κύκλοι τους εφάπτονται εσωτερικά,η εικόνα του $z$
ανήκει στον δεύτερο δακτύλιο και είναι εκτός του κύκλου $C\left( {K(3,0){\rm{ }},1 ...

Για τις πολύ ωραίες ασκήσεις του ''ΚΑRKAR'':
Έχοντας λίγο χρόνο, πρίν το μάθημα, έχουμε:
Aν $IK \bot AB\mathop {}\limits_{} ,IH \bot AC$ ,τότε τα τρίγωνα $IKE\mathop {}\limits_{} ,\mathop {}\limits_{} IDH$ είναι ίσα , γιατί:

$\begin{array}{l}
A\hat EI = \hat B + \frac{{\hat C}}{2} \\
\\
I\hat ...

Όντως , η μια ανισότητα είναι: $|z - 3| \ge 1$.

Ας βγάλουμε και την άλλη:


$\begin{array}{l}
|z - 3| \ge 1\mathop {}\limits_{} \Rightarrow \mathop {}\limits^{} |z||z - 3| \ge |z|\mathop {}\limits_{} \Rightarrow \mathop {}\limits^{} \\
\\
|z| \le 4\mathop {}\limits_{} \Rightarrow \mathop ...

Ο Θάνος έχει δίκιο:
Άλλαξα τη διατύπωση και άλλαξε το συμπέρασμα.
Διορθώνω λοιπόν τη διατύπωση και ζητώ συγνώμη

(Κατασκευάζοντας το 5ο τεύχος)

Έστω μιγαδικός $z$ τέτοιος ώστε:

$|z||z - 3| = 4$

1. Ν α αποδείξετε ότι οι εικόνες των $z$ , ανήκουν σε ένα δακτύλιο.

2. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του $|z| + {\rm{|}}z - 3|{\rm{ }}$