Χρόνια πολλά στους Θωμάδες (τις προηγούμενες μέρες δεν μπορούσα να μπω) και ειδικά στο Θωμά Ραϊκόφτσαλη και στο Θωμά Ποδηματά.

Συνάδελφοι καλησπέρα...

Θα ήθελα να κάνω έκκληση άλλη μια φορά για αιμοπετάλια.

Όποιος μπορεί τα τηλέφωνα είναι 2104511459 και 2132079316 (πρέπει να δοθούν εδώ (Νοσοκομείο Μεταξά στον Πειραιά , οπότε πρέπει να βρίσκεται σε Αθήνα - Πειραιά).

Ευχαριστώ...

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες και ειδικά στο συντοπίτη Γιώργο Ρίζο..

Η 2η έχει αποδειχτεί εδώ. Αλλά έχει ενδιαφέρον να δούμε και άλλες λύσεις...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x^2+yh(x))=xh(x)+f(xy) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$ $\bullet$ Αν $h(1)=0$ , τότε για $x=1$ , έχουμε: $f(1)=f(y)$ , άρα η $f$ είναι σταθερή. Έστω $f(x)=c$ , τότε $c=xh(x)+c\iff xh(x)=0$ , άρα $h(x)=\be...

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{\boxed{f\left( {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 2xf\left( y \right) + {y^2}} \right) = \left( {x + f\left( y \right)} \right)\left( {y + f\left( x \right)} \right)}}$ για κάθε $x, y \in ...

Χριστός Ανέστη.

Χρόνια πολλά σε όλους...

Καλές γιορτές , με ΥΓΕΙΑ , σε όλους...

Χωρίς να είμαι σίγουρος ότι είναι ο σωστός φάκελος... αν όχι, καλό θα ήταν να μεταφερθεί. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος από τους παρακάτω αριθμούς: $\displaystyle{1,\, \, \sqrt{2},\, \, \sqrt[3]{3},\, \, \sqrt[4]{4},\, \, ...\, \, \sqrt[\nu ]{\nu }}$ Για $\nu\geq 3$ έχουμε : $\sqrt[\nu+1]{\nu+1}<\sqrt[\n...

Δε ξέρω αν είναι γνωστό, αλλά τώρα το πρωτοσυνάντησα Να βρεθεί αναγωγικός τύπος για το $\displaystyle{I_n=\int \left ( \sin^{-1} (x)\right )^ndx}$ Καλησπέρα σε όλους... Έχουμε ... $\displaystyle I_{n+2}=\int \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+2}\;dx=\int (x)'\cdot\left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+2}\;dx=$ $\d...

Με την ευκαιρία που μπόρεσα μια μέρα να είμαι έξω από το νοσοκομείο (το απόγευμα θα είμαι πάλι μέσα) θα ήθελα να σας ευχαριστήσω για το ενδιαφέρον και τη συνδρομής σας από τα βάθη της καρδιάς μου . Επίσης κάποιους που τους είδα από κοντά (μεγάλη η χαρά που τους γνώρισα) ένα συγγνώμη που μέσα στη ζαλ...

Έστω $\displaystyle{f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}}$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση. ΝΔΟ υπάρχει $\displaystyle{x_{o}\in \left ( a,b \right )}$ τέτοιο ώστε να ισχύει $\displaystyle{f\left ( x_{o} \right )=0}$ ή $\displaystyle{\int_{a}^{x_{o}}f\left ( t \right )dt=\int_{x_{o}}^{b}f\left ( ...

Με παρόμοιο ύφος .... Aν $\displaystyle{\,\,a,b,c > 0\,\,\,}$ , αποδείξτε ότι : $\displaystyle{\,\frac{a}{{a + 3b + 3c}} + \frac{b}{{3a + b + 3c}} + \frac{c}{{3a + 3b + c}} \ge \frac{3}{7}\,\,}$ $\dfrac{a}{a+3b+3c}+\dfrac{b}{3a+b+3c}+\dfrac{c}{3a+3b+c}\geq \dfrac{3}{7}\iff$ $\iff \dfrac{a}{a+3b+3c}...

Καλησπέρα σε όλους Αν οι αριθμοί$\alpha ,\beta ,\gamma$είναι θετικοί και όχι μεγαλύτεροι του$2$ και επιπλέον ισχύει ότι $\alpha +\beta +\gamma =1$ αποδείξτε ότι $\frac{\alpha }{2-\alpha }+\frac{\beta }{2-\beta }+\frac{\gamma }{2-\gamma }\geq \frac{3}{5}$ Άλλη μια λύση (εκτός φακέλου): Έστω $f(x)=\d...

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{4^x-3^x=\tan 15^o.}$ Είναι $\tan 30^o=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\tan 15^o}{1-\tan^215^o}\iff \tan^215^o+2\sqrt{3}\tan 15^o-1=0$ και αφού $\tan 15^o>0$ , έχουμε $\tan 15^o=2-\sqrt{3}$. Άρα $4^x-3^x=2-\sqrt{3}$. Η συνάρτηση $f(x)=4^x-3^x$ είναι συνεχής στο $\Bbb{R}...

Για τη πολυωνυμική συνάρτηση $P(x)$ισχύει η σχέση $P(x+4)=P(x-4)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $P(x)$ είναι σταθερή. Μου την έδωσε μαθητής και έχω κάνει μια λύση αλλά μπάζει από παντού!!!! Είναι $P(x+4+4)=P(x+4-4)\iff P(x+8)=P(x)$. Επομένως $P(0)=P(8)=P(16)=\cdots=P(8\cdo...

Πολυμέγιστο.png Από σημείο $S$ το οποίο κινείται επί ημικυκλίου διαμέτρου $AB=2R$ , φέρω τμήμα $ST\perp AB$ . Να βρεθεί το μέγιστο του $(AST)$ με διάφορους τρόπους . Έστω $A(0,0)$ και $B(2R,0)$ , τότε το ημικύκλιο έχει εξίσωση $(x-R)^2+y^2=R^2\;,\;x\in[0,2R],y\in[0,R]$ , άρα $(AT)=x$ και $(TS)=y=\s...

.... 2. 'Εστω δύο συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f, g:[a, b]\rightarrow \mathbb{R}}$ τότε: $\displaystyle{f(x)=g(x)\color{red}\Leftrightarrow \color{black}\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx}$ Αυτή η ιδιότητα ισχύει μόνο στα ορισμένα, στα αόριστα δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Το παραπάνω δεν είναι...

Καλημέρα :logo: . Να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδόν ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς $20cm$. EDIT: Εγώ την έλυσα με την ακτίνα του μεσοκάθετη της πλευράς του τετραγώνου και έπειτα έκανα 2 φορές πυθαγόρειο. Υπάρχει κάτι πιο εύκολο για μαθητές β γυμνασίου; Δεν συνηθίζω να ...

Καλημέρα :logo: . Να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδόν ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς $20cm$. EDIT: Εγώ την έλυσα με την ακτίνα του μεσοκάθετη της πλευράς του τετραγώνου και έπειτα έκανα 2 φορές πυθαγόρειο. Υπάρχει κάτι πιο εύκολο για μαθητές β γυμνασίου; Δεν συνηθίζω να ...