Καλό κατευόδιο Ροδόλφε μας!

Λόγω συμμετρίας στο παραλληλόγραμμο , το τρίγωνο είναι ίσο με το . Επομένως αρκεί να υπολογίσουμε τον λόγο . Όμως , οπότε ο ζητούμενος λόγος είναι .

Μία άλλη ιδέα:
Με σταθερά τα σημεία $A, B$ ψάχνουμε την θέση του $C$ πάνω στον κύκλο $(A, AC)$ ώστε να μεγιστοποιηθεί η γωνία $C$ του τριγώνου $ABC$. Αυτό επιτυγχάνεται όταν ο κύκλος $ABC$ εφάπτεται στο $C$ στον κύκλο $(A, AC)$ καθώς διαφορετικά θα υπάρχει σημείο του μεγάλου κύκλου στο εσωτερικό του ...

stats.png

Σύμφωνα με τα στοιχεία του αρχείου και την κατηγοριοποίηση που ορίσατε (Πρότυπα στα Δημόσια, Σχολές/Κολλέγια στα Ιδιωτικά), η κατάταξη των τριών πρώτων σχολείων ανά τομέα με βάση τον συνολικό αριθμό των βραβείων είναι η εξής:

Κορυφαία Δημόσια Σχολεία (συμπεριλαμβανομένων των Προτύπων ...

Δύο άλλες ιδέες για την λύση σύμφωνα με την εκφώνηση του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου.
1) ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ
Έστω $x=\angle{SOP}$. Τότε $E(x)=\frac{r^2}{2}(sinx+2sin(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})=\frac{r^2}{2}(sinx+2cos(\frac{x}{2}))$.
Παραγωγίζοντας έχουμε:
$E'(x)=\frac{r^2}{2}(cosx-sin(\frac{x}{2}))=\frac{r^2 ...

Ανδρέα , υπέροχη η λύση που προτείνεις :clap2:

Θα ήθελα μια χάρη . Επειδή συνήθως με τα σύμβολα $a, b$ παριστάνουμε τις πλευρές του ορθογωνίου , πιστεύω

ότι κάποιοι λύτες μπερδεύτηκαν κάπως . Επίσης επειδή με $x$ παριστάνεις το επίδικο εμβαδόν , εκείνο το $x$

στο σχήμα σου , μοιάζει ξεκάρφωτο ...

Η δική μου λύση.
Διαμερίζουμε το αρχικό ορθογώνιο σε τέσσερα μικρότερα με τις ευθείες $ZK, EN$ όπως στο σχήμα. Καθώς $(EBCN)+(ZAEO)=2a+2b=(DCKZ)=(ZDC)+(ZAE)+(ECB)$ , προκύπτει άμεσα η ισότητα $(CZE)=(ZOND)=(ZKBA)$.
Όμως $(ZOND)+(ONCK)=2a+2b$ και $(ZOND):(AEOZ)=(ONCK):(OKBE)$, προκύπτει εύκολα το ...

Έστω ορθογώνιο και τα εμβαδά των τριγώνων .
Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( συναρτήσει των .
Άραγε αν τα εμβαδά των τριών τριγώνων είναι είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους μπορούμε να υπολογίσουμε το (;

Μία ενδιαφέρουσα παρατήρηση για το όμορφο θέμα της γεωμετρίας της Β Λυκείου.
Το πρώτο ερώτημα για το έγκεντρο $I$ ισχύει γενικότερα σε οποιδήποτε τρίγωνο $ABC$ ικανοποιεί την συνθήκη $AD=AB$ όπου $AD$ διχοτόμος του. Επί πλέον αν $E$ είναι το μέσο του τόξου $BC$ η συνθήκη $AE=AC$ είναι ισοδύναμη με ...

Ωραία θέματα, κάποια ευκολότερα αλλά θεωρώ δυσκολότερο όλων το 4 της Β λυκείου.
Μία εναλλακτική προσέγγιση του 3 της Γ λυκείου το οποίο θυμίζει έντονα το 2 της Β λυκείου του 1986 στον Πανελλήνιο Διαγωνισμό της ΕΜΕ. ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ.png
Από το Θ. Κεντρικής Δέσμης, έχουμε $AI=AN=DH$, επομένως τα $I, H ...

Επειδή συχνά ακούμε το ερώτημα για το πώς πρέπει να προετοιμαστεί κανείς για τον Ευκλείδη η για οποιονδήποτε επικείμενο διαγωνισμό καλό θα ήταν να τονίσουμε τα εξής:
Η προετοιμασία γίνεται σε βάθος χρόνου, αρχικά από τα σχολικά εγχειρίδια όπου πρέπει να αναζητά κανείς τις πιο απαιτητικές ...

Επειδή συχνά ακούμε το ερώτημα για το πώς πρέπει να προετοιμαστεί κανείς για τον Ευκλείδη η για οποιονδήποτε επικείμενο διαγωνισμό καλό θα ήταν να τονίσουμε τα εξής:
Η προετοιμασία γίνεται σε βάθος χρόνου, αρχικά από τα σχολικά εγχειρίδια όπου πρέπει να αναζητά κανείς τις πιο απαιτητικές ασκήσεις ...

Το κέντρο του συγκεκριμένου κύκλου προσδιορίζεται ως σημείο τομής (το πιο μακρυνό από την κορυφή της γωνίας) της διχοτόμου της γωνίας με την παραβολή που ορίζεται με εστία το δοδμένο σημείο και διευθετούσα μία από τις πλευρές της γωνίας. Οπότε είναι ζήτημα επίλυσης ενός συστήματος.

Καλή χρονιά σε όλους τους καλούς μου φίλους!
Παραθέτω μερικές ειδικές περιπτώσεις, όπου προκύπτει ισόπλευρο τρίγωνο $EZH$ στις τρείς πρώτες, όπου έχουμε 3 ισοσκελή τρίγωνα με γωνία κορυφής 120 μοιρών στο εξωτερικό η εσωτερικό τριγώνου $ABC$ η και σε συνευθειακά σημεία (εκφυλισμένο τρίγωνο) με $a=b=c ...

Με αφορμή πρόσφατη άσκηση:
Έστω τρίγωνο τα ύψη του, το περίκεντρο και το ορθόκεντρο του. Αν είναι το μέσο της και η επανατέμνει τον κύκλο στο και οι τέμνονται στο , να αποδείξετε ότι .

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΞΗ ΠΑΡΕΑ!
Στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$ ορίζουμε σημείο $D$ επί της μεσοκαθέτου της $BC$, τέτοιο ώστε $\angle{BCD}=20^0$. Ομοίως επί της μεσοκαθέτου της $AC$ ορίζουμε σημείο $E$ με $\angle{ACE}=30^0$ και επί της μεσοκαθέτου της $AB$ ορίζουμε σημείο $Z$ με $\angle{ABZ}=40^0 ...

Μιχάλη, Γιώργο καλημέρα.
Σας ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση
Καταθέτω περιγραφικά την δική μου λύση καθώς και τον προβληματισμό που μου προέκυψε.
Στο σημείο που ο Μιχάλης κάνει την προσθαφαίρεση του $x^4$ και την δημιουργία της ταυτότητας τετραγώνου που οδηγεί σε παραγοντοποίηση δεν μπόρεσα να ...

Να υπολογίσετε το ΔΕ αν το ΘΕ ισούται με την πλευρά των ίσων τετραγώνων.

Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις
$f_1(x)=\dfrac{\left| sinx+cosx\right |+\left| sinx-cosx\right |}{2}$
$f_2(x)=\dfrac{\left|\left| sinx+cosx\right |-\left| sinx-cosx\right |\right |}{2}$



Καλησπέρα...

Επανέρχομαι με την ανάρτηση αυτή καταθέτοντας ένα όμορφο σχήμα,

αποτέλεσμα των ...

Αν είναι το κέντρο του ημικυκλίου και η προβολή του στην , το ορθογώνιο τρίγωνο έχει επομένως οπότε η ζητούμενη γωνία ισούται με .