Συγχαρητήρια σε όλους!
Από ότι γνωρίζω ανακοινώνονται οι βαθμολογίες μετά τον Προκριματικό.

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά για την προσπάθειά τους. Προφανώς δεν μπορεί να γνωρίζει κανείς τις πιθανότητες του να περάσει στον Αρχιμήδη. Γίνεται προσπάθεια τα αποτελέσματα να βγούν το συντομότερο δυνατό καθώς σε ένα μήνα περίπου ακλουθεί η επόμενη φάση. Νομίζω ότι 15-20 μέρες είναι έναλογικό διάσ...

καθώς και οι δύο είναι ίσες με την ημιπεριμετρο του τριγώνου που σχηματίζουν οι τρεις εφαπτόμενες.

Καλησπέρα Θανάση.
Είναι σίγουρα σωστό το ζητούμενο; Χρειαζόμαστε και την ακτίνα του μεγάλου κύκλου.

Μία προσέγγιση με σχήμα. Σχηματίζουμε τα τετράγωνα $ABML, CBHT$ καθώς και τα ισόπλευρα τρίγωνα $ABE, CBZ$ ενώ $ADKN$ είναι ορθογώνιο κέντρου $Z$ και πλευράς $AD$. Η πλευρά $AN$ του τριγώνου $APD$ είναι διπλάσια της διαμέσου $EM$ του τραπεζίου $DNML$, επομένως τα $APD$, $DNML$ είναι ισεμβαδικά. Αφαιρ...

Θεωρούμε την οικογένεια ευθειών που είναι κάθετες στην διχοτόμο της γωνίας. Τα σημεία κάθε ευθείας που βρίσκονται εντός της γωνίας έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις πλευρές. Επομένως τα σημεία επαφής των αντίστοιχων ευθειών που εφάπτονται στον κύκλο, είναι τα σημεία με το ελάχιστο η μέγιστο ...

Από την ομοιότητα των κεντρικών δεσμών $(DA, DK, DC)$ και $(BA, BK, BC)$ προκύπτει ότι οι λόγοι των αποστάσεων του $K$ από τις $DA, DC$ και τις $BA,BC$ είναι ίσοι. Το τελευταίο όμως ισοδυναμεί με την ισότητα των λόγων των αποστάσεων του $K$ από τις $DA, BA$ και τις $DC,BC$. Επομένως και οι δέσμες $(...

Αν $O$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου και $OM, ON$ τα αντίστοιχα αποστήματα των $AB, AC$ αντίστοιχα, τότε καθώς $CH=2OM, BH=2ON$, η δοσμένη σχέση ισοδυναμεί με την $AM+OM=AN+ON$ και καθώς τα τμήματα αυτά έχουν σταθερό άθροισμα τετραγώνων (ίσο με το τετράγωνο της ακτίνας $ΟΑ$), θα είναι ένα προς έν...

Πολλά μπράβο σε όλους μαθητές και προπονητές-συνοδούς! Εκπληκτικές επιδόσεις! Από το Χρυσό μετάλλιο του Γιώργου, το τρίτο μετάλλιο του Ορέστη μέχρι και την εύφημο μνεία του Κώστα αξίζουν τα θερμότερα συγχαρητήρια. Φυσικά ακολουθώντας το παράδειγμα του Σιλουανού, έχω την αίσθηση ότι οι περισσότεροι α...

Αφού συγχαρώ και εγώ όλα τα εκπληκτικά παιδιά μας για την επιτυχία τους, παραθέτω άλλη μία λύση για την Γεωμετρία. Κατασκευάζω το τρίγωνο $HO_cO_b$ με την μεσοκάθετο της $OA$ και τις παράλληλες από τα $O_c, O_b$ προς τις $AC, AB$ αντίστοιχα. Είναι εύκολο να δούμε ότι το τρίγωνο αυτό είναι όμοιο του...

Αφού συγχαρώ και εγώ όλα τα εκπληκτικά παιδιά μας για την επιτυχία τους, παραθέτω άλλη μία λύση για την Γεωμετρία. Κατασκευάζω το τρίγωνο $HO_cO_b$ με την μεσοκάθετο της $OA$ και τις παράλληλες από τα $O_c, O_b$ προς τις $AC, AB$ αντίστοιχα. Είναι εύκολο να δούμε ότι το τρίγωνο αυτό είναι όμοιο του ...

Όμορφη άσκηση. Μία άλλη σκέψη για το πρώτο ερώτημα: Έστω $S’$ το συμμετρικό του $S$ ως προς $AB$. Τα τρίγωνα $OAB, ASS’$ είναι όμοια με ορθογώνια σχέση ομοιότητας, επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι $\frac{AP}{PB}=\frac{SC}{S’C}$ καθώς τότε τα $OP, AC$ θα είναι ομόλογα στην ομοιότητα. Από Θ. Μενελάου...

Έστω εξάγωνο $ABCDEZ$ με $AB=AZ, EZ=ED, CD=CB$ και επί πλέον οι γωνίες $A, E$ και $C$ έχουν άθροισμα $360^0$. Τότε οι γωνίες του τριγώνου $AEC$ είναι ίσες με τα μισά των αντίστοιχων γωνιών του εξαγώνου. Η πρόταση ισχύει και για μη κυρτά εξάγωνα η για "εκφυλισμένα", δηλαδή όταν μία γωνία γίνει ευθεία...

ΛΗΜΜΑ (με διορθώσεις).pdf Αν $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο, $Z, E, K, H$ είναι σημεία των $AB, BC, CD, DA$ αντίστοιχα με $AZ=DK, AH=BE$ και $M\equiv AK\cap CH$, $T\equiv BK\cap DE$, $N\equiv AE\cap CZ$, $F\equiv DZ\cap BH$, να αποδείξετε ότι οι $AT, BM, CF, DN$ συντρέχουν. $\bullet$ Έστω το σημείο $...

Αν είναι παραλληλόγραμμο, είναι σημεία των αντίστοιχα με και , , , , να αποδείξετε ότι οι συντρέχουν.

Αν είναι το συμμετρικό του ως προς , τότε η δεύτερη εφαπτομένη από το προς τον κύκλο είναι παράλληλη της . Το τετράπλευρο που σχηματίζει αυτή η εφαπτομένη με τις πλευρές του , είναι περιγράψιμο, άρα και το ομοιόθετό του είναι περιγράψιμο.

Παραθέτω ένα διαγώνισμα που έβαλα στην Α Λυκείου Γεωμετρία στο φροντιστήριο. Να μου πείτε και την άποψή σας. :) Θέμα 1: Από το μέσο $M$ της διαμέσου $AD$ τριγώνου $ABC$ φέρνουμε παράλληλη στην $AB$ που τέμνει την πλευρά $AC$ στο σημείο $E$ . Να αποδείξετε ότι: i) $ \displaystyle AE=\frac{AC}{4}$ (3...

Αν τα είναι ισοσκελή τραπέζια και η είναι κάθετη στην να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των διαγωνίων των τραπεζίων, τα μέσα των και τα είναι ομοκυκλικά.

Ένα χρήσιμο λήμμα για την αντιμετώπιση του προβλήματος. Αν το $ABDC$ είναι παραλληλόγραμμο και τα σημεία $E, K$ κινούνται επί των $CD, BD$ αντίστοιχα έτσι ώστε ο λόγος $\frac{KB}{CE}$ να είναι σταθερός, τότε ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής $M$ των $BE, CK$ είναι μία ευθεία που διέρχεται από το...

Στην 5 χρειάζεται διόρθωση η εκφώνηση. Ποιό είναι το ύψοε ;