Συγχαρητήρια σε όλους!
Από ότι γνωρίζω ανακοινώνονται οι βαθμολογίες μετά τον Προκριματικό.
Η αναζήτηση βρήκε 1090 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τρί Μαρ 05, 2024 11:21 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17706
- Κυρ Ιαν 21, 2024 10:27 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
- Απαντήσεις: 87
- Προβολές: 8213
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά για την προσπάθειά τους. Προφανώς δεν μπορεί να γνωρίζει κανείς τις πιθανότητες του να περάσει στον Αρχιμήδη. Γίνεται προσπάθεια τα αποτελέσματα να βγούν το συντομότερο δυνατό καθώς σε ένα μήνα περίπου ακλουθεί η επόμενη φάση. Νομίζω ότι 15-20 μέρες είναι έναλογικό διάσ...
- Τρί Νοέμ 14, 2023 9:38 am
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Κοινές εφαπτόμενες δύο κύκλων
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 446
Re: Κοινές εφαπτόμενες δύο κύκλων
καθώς και οι δύο είναι ίσες με την ημιπεριμετρο του τριγώνου που σχηματίζουν οι τρεις εφαπτόμενες.
- Δευ Νοέμ 13, 2023 8:33 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Λόγω τρικύκλου
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 673
Re: Λόγω τρικύκλου
Καλησπέρα Θανάση.
Είναι σίγουρα σωστό το ζητούμενο; Χρειαζόμαστε και την ακτίνα του μεγάλου κύκλου.
Είναι σίγουρα σωστό το ζητούμενο; Χρειαζόμαστε και την ακτίνα του μεγάλου κύκλου.
- Τετ Νοέμ 01, 2023 1:46 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Ισεμβαδικά
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 703
Re: Ισεμβαδικά
Μία προσέγγιση με σχήμα. Σχηματίζουμε τα τετράγωνα $ABML, CBHT$ καθώς και τα ισόπλευρα τρίγωνα $ABE, CBZ$ ενώ $ADKN$ είναι ορθογώνιο κέντρου $Z$ και πλευράς $AD$. Η πλευρά $AN$ του τριγώνου $APD$ είναι διπλάσια της διαμέσου $EM$ του τραπεζίου $DNML$, επομένως τα $APD$, $DNML$ είναι ισεμβαδικά. Αφαιρ...
- Τετ Νοέμ 01, 2023 12:55 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Ελάχιστο άθροισμα μέσα σε γωνία
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 331
Re: Ελάχιστο άθροισμα μέσα σε γωνία
Θεωρούμε την οικογένεια ευθειών που είναι κάθετες στην διχοτόμο της γωνίας. Τα σημεία κάθε ευθείας που βρίσκονται εντός της γωνίας έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις πλευρές. Επομένως τα σημεία επαφής των αντίστοιχων ευθειών που εφάπτονται στον κύκλο, είναι τα σημεία με το ελάχιστο η μέγιστο ...
- Δευ Σεπ 25, 2023 6:56 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 462
Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.
Από την ομοιότητα των κεντρικών δεσμών $(DA, DK, DC)$ και $(BA, BK, BC)$ προκύπτει ότι οι λόγοι των αποστάσεων του $K$ από τις $DA, DC$ και τις $BA,BC$ είναι ίσοι. Το τελευταίο όμως ισοδυναμεί με την ισότητα των λόγων των αποστάσεων του $K$ από τις $DA, BA$ και τις $DC,BC$. Επομένως και οι δέσμες $(...
- Παρ Σεπ 22, 2023 9:10 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Ορθοκεντρικόν
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 915
Re: Ορθοκεντρικόν
Αν $O$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου και $OM, ON$ τα αντίστοιχα αποστήματα των $AB, AC$ αντίστοιχα, τότε καθώς $CH=2OM, BH=2ON$, η δοσμένη σχέση ισοδυναμεί με την $AM+OM=AN+ON$ και καθώς τα τμήματα αυτά έχουν σταθερό άθροισμα τετραγώνων (ίσο με το τετράγωνο της ακτίνας $ΟΑ$), θα είναι ένα προς έν...
- Παρ Ιούλ 21, 2023 2:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: IMO 2023
- Απαντήσεις: 38
- Προβολές: 6514
Re: IMO 2023
Πολλά μπράβο σε όλους μαθητές και προπονητές-συνοδούς! Εκπληκτικές επιδόσεις! Από το Χρυσό μετάλλιο του Γιώργου, το τρίτο μετάλλιο του Ορέστη μέχρι και την εύφημο μνεία του Κώστα αξίζουν τα θερμότερα συγχαρητήρια. Φυσικά ακολουθώντας το παράδειγμα του Σιλουανού, έχω την αίσθηση ότι οι περισσότεροι α...
- Κυρ Ιούλ 09, 2023 8:39 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
- Απαντήσεις: 19
- Προβολές: 2781
Re: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
Αφού συγχαρώ και εγώ όλα τα εκπληκτικά παιδιά μας για την επιτυχία τους, παραθέτω άλλη μία λύση για την Γεωμετρία. Κατασκευάζω το τρίγωνο $HO_cO_b$ με την μεσοκάθετο της $OA$ και τις παράλληλες από τα $O_c, O_b$ προς τις $AC, AB$ αντίστοιχα. Είναι εύκολο να δούμε ότι το τρίγωνο αυτό είναι όμοιο του...
- Πέμ Ιουν 29, 2023 11:57 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
- Απαντήσεις: 19
- Προβολές: 2781
Re: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
Αφού συγχαρώ και εγώ όλα τα εκπληκτικά παιδιά μας για την επιτυχία τους, παραθέτω άλλη μία λύση για την Γεωμετρία. Κατασκευάζω το τρίγωνο $HO_cO_b$ με την μεσοκάθετο της $OA$ και τις παράλληλες από τα $O_c, O_b$ προς τις $AC, AB$ αντίστοιχα. Είναι εύκολο να δούμε ότι το τρίγωνο αυτό είναι όμοιο του ...
- Παρ Ιουν 23, 2023 12:59 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Σατανική καθετότητα
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1472
Re: Σατανική καθετότητα
Όμορφη άσκηση. Μία άλλη σκέψη για το πρώτο ερώτημα: Έστω $S’$ το συμμετρικό του $S$ ως προς $AB$. Τα τρίγωνα $OAB, ASS’$ είναι όμοια με ορθογώνια σχέση ομοιότητας, επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι $\frac{AP}{PB}=\frac{SC}{S’C}$ καθώς τότε τα $OP, AC$ θα είναι ομόλογα στην ομοιότητα. Από Θ. Μενελάου...
- Δευ Ιουν 19, 2023 12:26 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: ΕΞΑΓΩΝΟ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 360
- Απαντήσεις: 0
- Προβολές: 496
ΕΞΑΓΩΝΟ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 360
Έστω εξάγωνο $ABCDEZ$ με $AB=AZ, EZ=ED, CD=CB$ και επί πλέον οι γωνίες $A, E$ και $C$ έχουν άθροισμα $360^0$. Τότε οι γωνίες του τριγώνου $AEC$ είναι ίσες με τα μισά των αντίστοιχων γωνιών του εξαγώνου. Η πρόταση ισχύει και για μη κυρτά εξάγωνα η για "εκφυλισμένα", δηλαδή όταν μία γωνία γίνει ευθεία...
- Δευ Ιουν 19, 2023 12:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 693
Re: Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο
ΛΗΜΜΑ (με διορθώσεις).pdf Αν $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο, $Z, E, K, H$ είναι σημεία των $AB, BC, CD, DA$ αντίστοιχα με $AZ=DK, AH=BE$ και $M\equiv AK\cap CH$, $T\equiv BK\cap DE$, $N\equiv AE\cap CZ$, $F\equiv DZ\cap BH$, να αποδείξετε ότι οι $AT, BM, CF, DN$ συντρέχουν. $\bullet$ Έστω το σημείο $...
- Τετ Ιουν 14, 2023 12:13 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 693
Συντρέχουσες σε παραλληλόγραμμο
Αν είναι παραλληλόγραμμο, είναι σημεία των αντίστοιχα με και , , , , να αποδείξετε ότι οι συντρέχουν.
- Τρί Ιουν 13, 2023 11:54 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Περιγράψιμο
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 938
Re: Περιγράψιμο
Αν είναι το συμμετρικό του ως προς , τότε η δεύτερη εφαπτομένη από το προς τον κύκλο είναι παράλληλη της . Το τετράπλευρο που σχηματίζει αυτή η εφαπτομένη με τις πλευρές του , είναι περιγράψιμο, άρα και το ομοιόθετό του είναι περιγράψιμο.
- Τετ Μάιος 31, 2023 8:42 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Διαγώνισμα
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 964
Re: Διαγώνισμα
Παραθέτω ένα διαγώνισμα που έβαλα στην Α Λυκείου Γεωμετρία στο φροντιστήριο. Να μου πείτε και την άποψή σας. :) Θέμα 1: Από το μέσο $M$ της διαμέσου $AD$ τριγώνου $ABC$ φέρνουμε παράλληλη στην $AB$ που τέμνει την πλευρά $AC$ στο σημείο $E$ . Να αποδείξετε ότι: i) $ \displaystyle AE=\frac{AC}{4}$ (3...
- Τρί Μάιος 23, 2023 11:41 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: ΟΜΟΚΥΚΛΙΚΑ ΑΠΟ ΙΣΟΣΚΕΛΗ ΤΡΑΠΕΖΙΑ
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 305
ΟΜΟΚΥΚΛΙΚΑ ΑΠΟ ΙΣΟΣΚΕΛΗ ΤΡΑΠΕΖΙΑ
Αν τα είναι ισοσκελή τραπέζια και η είναι κάθετη στην να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των διαγωνίων των τραπεζίων, τα μέσα των και τα είναι ομοκυκλικά.
- Τρί Μαρ 21, 2023 9:52 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Γεωμετρικός τόπος
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 927
Re: Γεωμετρικός τόπος
Ένα χρήσιμο λήμμα για την αντιμετώπιση του προβλήματος. Αν το $ABDC$ είναι παραλληλόγραμμο και τα σημεία $E, K$ κινούνται επί των $CD, BD$ αντίστοιχα έτσι ώστε ο λόγος $\frac{KB}{CE}$ να είναι σταθερός, τότε ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής $M$ των $BE, CK$ είναι μία ευθεία που διέρχεται από το...
- Κυρ Μαρ 12, 2023 11:39 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 943
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
Στην 5 χρειάζεται διόρθωση η εκφώνηση. Ποιό είναι το ύψοε ;