Και η βιβλιογραφία από όπου πήρα το συγκεκριμένο ( Gilbert Strang, Linear Algebra and it's applications, 3rd , p.240 ) στη λύση του αναφέρει πως δεν πρόκειται για βέλτιστο άνω φράγμα το παραπάνω.

Έστω ένας πίνακας με .
Τότε, .

Συγγνώμη! Δικό μου λάθος :)
Απλώς δεν την έβαλα επειδή συνδέεται και με άλλο κομμάτι του βιβλίου. Παρ'ολ'αυτά, θα κάνω μια προσπάθεια να την προσαρμόσω.
Η άσκηση λοιπόν είναι η εξής :
Αποδείξτε ότι, αν ένα υποσύνολο $P$ των πραγματικών αριθμών επαληθεύει τα εξής :
1)Για κάθε $a \in \Re$ έχουμε ή ...

Μήπως κάποιος θα μπορούσε να με βοηθήσει στην άσκηση 1-30 από το Απειροστικός Λογισμός Ι
του Νεγρεπόντη ?? 'Η τουλάχιστον να μου δώσει μια παραπομπή ?? Βασικά έχω κολλήσει με το ερώτημα "να δείξετε ότι μπορεί να οριστεί διάταξη ....". Δεν έχω ξανααντιμετωπίσει τέτοιου είδους ερώτημα.(Από ότι ...

Σας ευχαριστώ πολύ !

Γιώργος

Καλησπέρα, έχω μια απόρία πάνω στα βίβλια του νεγρεπόντη.
Παρήγγειλα απο το internet το : Νεγρεπόντης Στυλιανός, Γιωτόπουλος Σταύρος Χ., Γιαννακούλιας Ευστάθιος Απειροστικός Λογισμός Τόμος I
και μου είπαν ότι επειδή αυτό το βιβλίο είναι πολύ παλιά έκδοση και δεν υπάρχει.Μου είπαν ότι βγήκε στη ...

Λάθος, από βιασύνη . Όταν πρόσθετω έναν όρο σε μια σχέση πρέπει να φροντίζv να την αφαιρώ κιόλας
Θα την ξανακοιτάξω

Γιώργος

Φίλε BAGGP93, όπως βλέπω και εγώ δεν απέδειξες τη ζητούμενη ανισοτήτα για κάθε x , αλλά για ένα τουλάχιστον x.
Για να καταλήξεις στο ζητούμενο που θές με άτοπο έπρεπε η υπόθεσή σου να είναι για ένα τουλάχιστον x, κάτι το οποίο δεν ξέρω αν οδηγεί κάπου.

Φιλικά,
Γιώργος

Διαγραφή μετά από λάθος απροσεξίας στη λύση . Κύριε Βασίλη, ευχαριστώ για την επισημανση\
Γιώργος

Για το β) Αυτό που έγραψα δεν είναι ότι έχει 2 ολικά ελάχιστα. Αλλά 2 θέσεις ολικού ελαχίστου(που από όσο μπορώ να δω είναι σωστό)
Για το γ) Συγγνώμη (αναθεματισμένη βιασύνη) . Παίρνουμε Rolle για την

Γιώργος

Για το πρώτο:
Η f συνεχής σε κλειστό διάστημα. Συνεπώς, παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο.
Επειδή $0<f(0)<f(1)$, ισχύει πως το μέγιστο δε μπορεί να εμφανίζεται στο 0.
Έστω , ότι δεν παρουσιάζεται στο 1.
Τότε, υπάρχει $r\in\(0,1)$ ώστε $f(x)\leq f(r), \forall x\in [0,1]$.
Από Fermat, $f'(r)=0$.
Όμως ...

Θέτοντας στη δοθείσα σχέση όπου χ το 0, προκύπτει πως $g(0)=g(1)$.Όμως, η g παραγωγίσιμη στο [0,1] ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων. Συνεπώς, από Rolle, υπάρχει $r \in (0,1)$ ώστε $g'(r)=0\Rightarrow \alpha e^{f(r)}=0$
Επειδή, $e^{f(x)}>0, \forall x\in \Re$,ισχύει πως $\alpha =0$
Άρα , $\forall x\in ...

Ελπίζω να μην έχω κάνει κάπου λάθος...
α)Ισχύει πως οι $\int_{0}^{x}{f(t)dt},\int_{1}^{x}{f(t)dt}$είναι παραγωγίσιμες, άρα και συνεχείς στο $\Re$ καθώς η $f$ είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη.
Συνεπώς, τα όρια $\lim_{x\rightarrow 0}\int_{0}^{x}{f(t)dt}, \lim_{x\rightarrow 1}\int_{0}^{x}{f(t)dt},\lim_{x ...

Μια προσέγγιση...(ελπίζω σωστή)
$\displaystyle{\int_{0}^{1}{e^{f'(x)}f'(x)dx}=f(1)=f(1)-f(0)=\int_{0}^{1}{f'(x)dx}}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow \int_{0}^{1}{(e^{f'(x)}f'(x)-f'(x))dx}=0\Leftrightarrow \int_{0}^{1}{f'(x)(e^{f'(x)}-1)dx}=0}$
Όμως, εύκολα φαίνεται πως οι αριθμοί $f'(x), e^{f'(x)}-1 ...

Σας ευχαριστώ.. Πάντως φαντάζομαι ότι αν κάτι τέτοιο έμπαινε σε εξετάσεις θα μπορούσαμε να το πάρουμε σα δεδομένο, εφόσον το λέει το σχολικό.Σωστά ?

Γιώργος

Στην αντιμετώπιση του κ.Αχχιλέα....Όταν καταλήγετε ότι το όριο του ημχ στο είναι 0, δεν μπορούμε να πούμε κατευθείαν άτοπο ?

Γιώργος

Ευχαριστώ πολύ για την άμεση απάντηση και εξήγηση σας !

Με αφορμή το μάθημα που παρακολούθησα σήμερα στο σχολείο πάνω στο διαφορικό λογισμό, μου δημιουργήθηκε η απορία αν μπορώ να κατασκευάσω μια συνάρτηση που να ορίζεται σε μία ένωση διαστημάτων, ξένων μεταξύ τους, που να είναι σταθερή σε καθένα από αυτά και να έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$.
Υ.Σ Το ...

α)Με απλές αντικαταστάσεις (όπου χ το 0 και το 2) βρίσκουμε ότι $f(2)=f(-2)=-2$
β)Έστω ότι $f(x)\neq 0\forall x\in \Re$. Επειδή η $f$ είναι συνεχής θα διατηρεί σταθερό πρόσημο, άτοπο αφού $f(0)f(2)<0$
Άρα, έστω ότι για $x_0 \in \Re$ ισχύει $f(x_0)=0$. Τότε από τη δοθείσα σχέση προκύπτει πως${x_0}^4 ...

Με συγχωρείτε ... Τώρα είδα ότι μόλις χτες ξανασυζητήθηκε το θέμα ....

Γιώργος