Αρχικά, η $f'$ είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και διάφορη του μηδενός, άρα διατηρεί πρόσημο. Επομένως η $f$ είναι γνησίως μονότονη και $1-1$

Έστω $\displaystyle{g\left(x \right)=\frac{f\left(x \right)}{x},\; x\in \left(-\infty,0 \right)\cup\left(0,1 \right)}$ με $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0 ...

Η σχέση γράφεται:

$\displaystyle{\left[f\left(f\left(x \right) \right)+lnf\left(x \right)-f\left(e^{x} \right)-x \right]'=f\left(f\left(x \right) \right)+lnf\left(x \right)-f\left(e^{x} \right)-x\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f\left(f\left(x \right) \right)+lnf\left(x \right)-f ...

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου, ευχαριστώ για τη 2η λύση.
Αν ένας μαθητής δε θυμάται horner, μπορεί να το σώσει. Η συνάρτηση $g\left(x \right)=x^{3}+x-2$ έχει θετική παράγωγο, άρα γνησίως αύξουσα και 1-1, με μοναδική ρίζα την προφανή $x=1$. Επομένως

$f^{3}\left(2 \right)+f\left(2 \right)-2=0 ...

Για $x=0$ και $x=2$ προκύπτει $f\left(0 \right)=0$ και $f\left(2\right)=1$ αντίστοιχα.

$\displaystyle{f^{3}\left(x \right)+f\left(x \right)=x\Rightarrow f^{3}\left(x \right)f'\left(x \right)+f\left(x \right)f'\left(x \right)=xf'\left(x \right)}\Rightarrow$

$\displaystyle{\Rightarrow \left[\frac{f ...

Καλησπέρα! Μία λύση, ίσως όχι η πιο σύντομη:

$\displaystyle{A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a} \right)=3-A_{1}\Leftrightarrow A_{1}=3-A}$

Επίσης

$\displaystyle{A=\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c ...

Καλησπέρα,
Νομίζω ότι το σωστό ερώτημα για τη συγκεκριμένη εξίσωση είναι να δειχθεί ότι έχει ακριβώς 2 ρίζες, οι οποίες έχουν γινόμενο μονάδα.

ΑΣΚΗΣΗ 49

Ένα χωριό (κωμόπολη) έχει $2016$ ενήλικες κατοίκους. Αυτοί, κάθονται σε κύκλο ώστε ο κάθε ένας να κοιτάζει την πλάτη του μπροστινού του. Όλες οι γυναίκες βρίσκονται πίσω από άντρα, οι μισοί άντρες βρίσκονται πίσω από άντρα και οι υπόλοιποι πίσω από γυναίκα.

Πόσοι είναι οι άνδρες και ...

ΑΣΚΗΣΗ 48 Να γίνουν οι πράξεις:

$\displaystyle{A = 0,5^{30}.2^{32}+0,4^{40}.2,5^{41}-\frac{1}{2}}$.
Για $\displaystyle{a=2\rightarrow \frac{1}{a}=0,5}$ και $\displaystyle{b=2,5\rightarrow \frac{1}{b}=0,4}$

$\displaystyle{A=\left(\frac{1}{a} \right)^{30}\cdot a^{32}+\left(\frac{1}{b} \right)^{40 ...

Καλησπέρα!

Δε μπορεί να ισχύει και ;

Θέμα Γ

Γ1) Από Θεώρημα Μέσης Τιμής στο $\left[\alpha ,\beta \right]$ προκύπτει άμεσα

Γ2) Έστω $\alpha <d_{1}<\beta$.
Θέλουμε $2\left(d_{1} -\alpha \right)=\beta -d_{1}\Leftrightarrow d_{1}=\frac{2\alpha +\beta }{3}$
Από Θεώρημα Μέσης Τιμής προκύπτουν:
$\displaystyle{\xi _{1}\in \left(d_{1 ...

α) $\displaystyle{f'\left(x \right)+\int_{x}^{x+1}{f\left(t-x \right)}dt=f\left(x \right)+e^{x}+1 \mathop {========} \limits^{u=t-x\rightarrow du=dt}_{u_{1}=0,u_{2}=1}f'\left(x \right)+\int_{0}^{1}{f\left(u \right)}du=f\left(x \right)+e^{x}+1\Leftrightarrow}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow f'\left ...

Στο τελευταίο ερώτημα νομίζω κάτι δεν πάει καλά. Το αριστερό μέλος είναι θετικό ενώ το δεξί αρνητικό.

Αν, επιπλέον, ισχύει $2015f(\alpha )=f(\beta )$, τότε:

δ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx$.

ε) Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\beta )$, ώστε $\displaystyle f(\xi )=\frac{ln2015}{\beta -\alpha }$.

δ) $\displaystyle{f'\left(x \right)=f^{2}\left(x ...

Ένα επαναληπτικό θέμα - παραλλαγή ενός θέματος από το εξαιρετικό βιβλίο του Χρήστου Πατήλα.

Θεωρούμε μία δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

$f(x)\ge \ln x$ για κάθε $x>0.$
$f'(x)x\ln x+f(x)>2\ln x$ για κάθε $x\in(0,1)\cup(1,+\infty)$
$f ...

Λίγο διαφορετικά:
Έστω $\displaystyle{\kappa }$ η ηλικία του Κώστα και $\displaystyle{\gamma }$ η ηλικία του Γιάννη "σήμερα".
Έστω $\displaystyle{\kappa }_{1}$ η ηλικία του Κώστα και $\displaystyle{\gamma }_{1}$ η ηλικία του Γιάννη "τότε".

$\displaystyle{\kappa +\gamma =112 \; \left(1 \right ...

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση με
Να αποδειχτεί ότι

Αν α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει:

να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Αλλάζοντας το διαφορικό από $\displaystyle{ dydx}$ σε $\displaystyle{ dxdy}$, έχουμε:

$\displaystyle{ I=\int_{0}^{\pi }{\left(\int_{0}^{y}{\frac{siny}{y}}dx \right)}dy=\int_{0}^{\pi }{\frac{siny}{y}}\left(\int_{0}^{y}{dx} \right)dy=\int_{0}^{\pi }{\frac{siny}{y}}y\, dy=\int_{0}^{\pi }{siny}\, dy=2 ...

Κι εγώ αυτό σκέφτηκα απλά στην υπόδειξη έδινε το πρώτο που έγραψα, και μου φάνηκε περίεργο. Σας ευχαριστώ για την απάντηση !