Η αναζήτηση βρήκε 170 εγγραφές

από ksofsa
Τετ Δεκ 11, 2019 9:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Απίστευτη σταθερότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 98

Re: Απίστευτη σταθερότητα

Καλησπέρα! Έχω $\angle BOC=2\angle A=120^{\circ}$ και $\angle BHC=180^{\circ}-\angle A=120^{\circ}$ Άρα, $BHOC$ εγγράψιμο. Από θ. Πτολεμαίου έχω $R\cdot CH+a\cdot OH=R\cdot BH\Leftrightarrow a\cdot OH=R\cdot (BH-CH)\Leftrightarrow a\cdot OH=R\cdot (BM+HM-CN+HN)\Leftrightarrow \dfrac{HM+HN}{OH}=\dfra...
από ksofsa
Σάβ Δεκ 07, 2019 2:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 155

Re: Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα

Καλησπέρα! Λίγο διαφορετικά: Έστω τα παράκεντρα $I_{B},I_{C}$ Είναι $I_{B}I_{C}\perp OA\Rightarrow I_{B}I_{C}//ST$. Όμως τα τετράπλευρα $AOBI_{C},AOCI_{B}$ είναι εγγράψιμα, διότι $\angle OAI_{B}=\angle OAI_{C}=\angle OBI_{C}=\angle OCI_{B}=90^{\circ}$ Αρα $\angle STO=\angle I_{C}I_{B}O=\angle ACO$$=...
από ksofsa
Πέμ Δεκ 05, 2019 8:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδά άμεσης δράσης
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 142

Re: Εμβαδά άμεσης δράσης

Καλησπέρα! Άλλη μια λύση: Εχω $H$ το ορθόκεντρο του $ABC$ και $D,E,F$ οι πόδες των υψών. Είναι : $\dfrac{E_{a}^2}{(ABC)^2}=\dfrac{DA_{1}^2}{h_{a}^2}=\dfrac{BD\cdot CD}{h_{a}^2}=\dfrac{h_{a}\cdot DH}{h_{a}^2}=\dfrac{DH}{h_{a}}=\dfrac{DH\cdot a}{h_{a}a}=\dfrac{(BHC)}{(ABC)}$ Αρα $\dfrac{E_{a}^2+E_{b}^...
από ksofsa
Δευ Δεκ 02, 2019 8:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ακτινοδιάγνωση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 168

Re: Ακτινοδιάγνωση

Λίγο διαφορετικά:

Στο σχήμα του κυρίου Γιώργου Βισβίκη έχω:

EL\cdot SL=AL^2\Rightarrow EL=\dfrac{AL^2}{SL}=\dfrac{\dfrac{a^2}{4}}{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{a}{6}

και

2R=\dfrac{3a}{2}+EL=\dfrac{10a}{6}\Rightarrow R=\dfrac{5a}{6}.
από ksofsa
Κυρ Δεκ 01, 2019 2:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μπαρμπαστάθεια 2019
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 360

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

Καλό μήνα σε όλους! Εναλλακτική λύση για το 1ο ερώτημα (εκτός φακέλου): Τα ορθογώνια τρίγωνα $BCM, DCN$ είναι ίσα καθώς έχουν ίσες τις κάθετες πλευρές τους. Άρα οι ομόλογες πλευρές των ίσων αυτών τριγώνων σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες, δηλαδή στη συγκεριμένη περίπτωση ορθές γωνίες. Συνεπώς , ο...
από ksofsa
Σάβ Νοέμ 30, 2019 8:20 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Προδρομιακή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 207

Re: Προδρομιακή

Καλημέρα!

Το T είναι το ορθόκεντρο του ABC, όπως αποδείξαμε στην άσκηση του συνδέσμου.

Η AD τέμνει τον κύκλο στο E.

Τότε, από γνωστή ιδιότητα για το ορθόκεντρο , έχουμε DT=DE.

Από θεώρημα τεμνομένων χορδών έχουμε

DB\cdot DC=DE\cdot DA=DT\cdot DA, ό.έ.δ.
από ksofsa
Παρ Νοέμ 29, 2019 10:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 166

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Ακόμα μία λύση:

Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότιHM=SM

Εστω W το βαρύκεντρο του ABC

Εύκολα βλέπουμε ότι το W είναι βαρύκεντρο και του BHS.

Αρα WH=2WO και το H ορθόκεντρο (ευθεία Euler).
από ksofsa
Παρ Νοέμ 29, 2019 10:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 166

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Άλλη μια λύση:


Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότι HM=SM.

Τότε OM//BH, διότι M κέντρο του SH και O κέντρο του BS.

Αφού OM\perp AC θα είναι BH\perp AC και το H ορθόκεντρο.
από ksofsa
Παρ Νοέμ 29, 2019 9:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 166

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Καλησπέρα! Εστω $E$ το αντιδιαμετρικό του$A$. Είναι $SC\perp BC$ και $AO\perp BC$ Αρα $SC//AO$ Τα τρίγωνα $AMH$ και $SMC$ είναι ίσα, διότι έχουν ίσες γωνίες και $AM=MC$. Αρα $HM=SM$. Είναι $MD//AB$, διότι $AM=MC$ και $BD=DC$. κι επειδή $AB//SE$ είναι $MD//SE$. Αφού $MD//SE$ και $HM=SM$, είναι $HD=DE...
από ksofsa
Τετ Νοέμ 27, 2019 8:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσιο εμβαδόν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 182

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Καλησπέρα! Έστω $Q$ το συμμετρικό του $S$ ως προς $M$. Είναι $(ATS)=2(PTM)\Leftrightarrow AT\cdot TS\cdot sin\angle ATS=2PT\cdot TM\cdot sin\angle PTM $ $\Leftrightarrow AT\cdot TS=2PT\cdot TM\Leftrightarrow \dfrac{AT}{TM}=\dfrac{2PT}{TS}$ Από θ. Θαλή έχω $\dfrac{AT}{TM}=\dfrac{SC}{SM}=\dfrac{BQ}{QM...
από ksofsa
Παρ Σεπ 20, 2019 8:05 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Είναι ακέραιος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 399

Re: Είναι ακέραιος

Άλλη μια λύση: Έχω: $1053=3^4\cdot 13$ $392=2^3\cdot 7^2$ $378=2\cdot 3^3\cdot 7$ "Παίζοντας" με τους αριθμούς, παρατηρώ ότι: $1053+392+1134=2579$ και $1134=3\cdot 378$ Ετσι, μπορώ να εκμεταλλευτώ την ταυτότητα του Euler και έχω: $N=\dfrac{1053^3+392^3+1134^3+378^3-1134^3}{2579} \Leftrightarrow$ $N=...
από ksofsa
Τετ Σεπ 18, 2019 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τρίγωνο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 389

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Από Cauchy Schwartz έχω $(a^3+b^6+c^6)(a^3+2)\geq (a^3+b^3+c^3)^2\Leftrightarrow \frac{sinA}{a^3+b^6+c^6}\leq \frac{sinA(a^3+2)}{(a^3+b^3+c^3)^2}$ Αρα αρκεί: $\frac{1}{a^3+b^3+c^3}\sum \sqrt{sinA(a^3+2)}\leq \sqrt[4]{\frac{27}{4}}\Leftrightarrow (\sum \sqrt{sinA(a^3+2)})^2\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^...
από ksofsa
Τετ Σεπ 18, 2019 7:55 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ύψη και αποστάσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 214

Re: Ύψη και αποστάσεις

Ισχύει από τύπους εμβαδού τριγώνου: $2E=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}=ax+by+cz$. Αρα $\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}}=\frac{ax+by+cz}{2E}=1$ Οπότε , από την ανισότητα Cauchy Schwartz έχω: $(\frac{h_{a}}{x}+\frac{h_{b}}{y}+\frac{h_{c}}{z})(\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}})\geq 9...
από ksofsa
Κυρ Σεπ 08, 2019 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή ρόμβου
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 639

Re: Κατασκευή ρόμβου

Βασικά, το $K$ δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του $AB$. Η μία οριακή θέση του $K$ είναι όταν το $N$ συμπίπτει με το $A$ και η άλλη όταν το $L$ συμπίπτει με το $B$. Δηλαδή οι θέσεις του $K$ είναι στο μέσο τριτημόριο του $AB$. Αντίστοιχα , οι θέσεις του $M$ στο συμμετρικό τμήμα του μέσου τριτη...
από ksofsa
Κυρ Σεπ 08, 2019 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή ρόμβου
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 639

Re: Κατασκευή ρόμβου

Λίγο διαφορετικά: Εστω $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου. Τότε από τα εγγράψιμα $ANOK, BLOK$ έχω $\angle OAB=\angle OBA=\frac{\pi }{6}$ Αρα το $O$ είναι το ορθόκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ Αρα σταθερό σημείο και συνάμα κατασκευάσιμο. Το $M$ είναι το συμμετρικό του $K$ ως προς $O$ ...
από ksofsa
Παρ Σεπ 06, 2019 11:51 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τριπλός λόγος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 291

Re: Τριπλός λόγος

Άλλη μια λύση: Το τετράπλευρο $ACKM$ εγγράψιμο διότι $\angle KAM=\angle KCM.$ Αρα $\angle CKA=\angle CMA=\frac{\pi }{2}$. Το τετράπλευρο $ALSN$ ρόμβος, διότι οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα. Από θ.διχοτόμων $\frac{BN}{AN}=\frac{BC}{CA}=\sqrt{2}$ και $\frac{AL}{LM}=\frac{CA}{CM}=\...
από ksofsa
Πέμ Σεπ 05, 2019 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο ύψος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 292

Re: Μέγιστο ύψος

Εστω O το κέντρο του κύκλου και Μ το μέσο του τόξου ΑΒ.

Εστω ότι η ΟΜ τέμνει την ΤP στο D και την SP στο Ε.

Εστω ότι η ακτίνα του κύκλου είναι 1.

Εστω

ST=x και TD=y.

Ειναι από πυθαγόρειο θεώρημα
a.gif
a.gif (977 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 268 φορές
Εχω
b.gif
b.gif (2.25 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές
Όμως
c.gif
c.gif (1.77 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές
Αρα
d.gif
d.gif (721 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 268 φορές
Ισότητα για

f.gif
f.gif (335 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 268 φορές
από ksofsa
Τετ Σεπ 04, 2019 3:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ώρα για εφαπτόμενες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 440

Re: Ώρα για εφαπτόμενες

Καλησπέρα σε όλους! Στη διαμόρφωση του μηνύματός μου έκανα κάτι που δεν ξέρω αν επιτρέπεται από τον κανονισμό του mathematica. Επειδή δεν εμφανίζεται ο κώδικας latex με το συμβατικό τρόπο, αποθήκευσα τον κώδικα latex ως εικόνα και μετά έκανα επισύναψη. Αν υπάρχει πρόβλημα , θα αποσύρω το μήνυμά μου ...
από ksofsa
Τετ Σεπ 04, 2019 3:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ώρα για εφαπτόμενες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 440

Re: Ώρα για εφαπτόμενες

Αλλιώς για το 2ο:

Εστω D το σημείο τομής των AT,OK

Θετω

OA=R, OK=R/2=r

Ο κύκλος (O,r) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ADB

Εστω x=AD=BD

Από τύπους εμβαδού τριγώνου και το πυθαγόρειο θεώρημα:

5.gif
5.gif (5.08 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές
από ksofsa
Κυρ Σεπ 01, 2019 6:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 542

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Λίγο διαφορετικά:

Θεωρώ

x+y=1

Τότε

(x^3+1)(y^3+1)-4=x^3y^3+x^3+y^3-3=x^3y^3+x^3+y^3+(-1)^3-2=x^3y^3-3xy-2=

(xy+1)^2(xy-2)\leq 0,

που ισχύει διότι xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}<2

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση