Η αναζήτηση βρήκε 196 εγγραφές

από ksofsa
Τετ Σεπ 09, 2020 12:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόδειξη ανισότητας
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 296

Re: Απόδειξη ανισότητας

Καλησπέρα!

Μία λύση εκτός φακέλου:

Η ανισότητα είναι άμεση απόρροια της ανισότητας τετραγωνικού μέσου -αρμονικού μέσου.

\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\geq \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}.

Αντικαθιστώντας a^2+b^2=1, παίρνουμε τη ζητούμενη.
από ksofsa
Δευ Σεπ 07, 2020 11:47 am
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Σταθμικός μέσος γωνιών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 214

Re: Σταθμικός μέσος γωνιών

Καλησπέρα! Για την αριστερή: Οι τριάδες $(a,b,c), (A,B,C)$ είναι όμοια διατεταγμένες. Οπότε, σύμφωνα με την ανισότητα του Chebyshev θα είναι $aA+bB+cC\geq \dfrac{(a+b+c)(A+B+C)}{3}\Leftrightarrow \dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}\geq 60^{\circ}$. Για τη δεξιά: Από την τριγωνική ανισότητα έχω $\dfrac{aA+bB+cC}...
από ksofsa
Πέμ Σεπ 03, 2020 12:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ακρότατα υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 528

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Καλησπέρα! Μια λύση με τριγωνομετρία και διαφορικό λογισμό. Θέτω $A=x^2+2xy-y^2$. Τότε $3-A=3x^2+2y^2$. Θέτω $p=\sqrt{3x^2+2y^2}$ και $sina=\dfrac{\sqrt{3}x}{p}, cosa=\dfrac{\sqrt{2}y}{p}$. Τότε $x^2=\dfrac{p^2sin^2a}{3}, y^2=\dfrac{p^2cos^2a}{2}, xy=\dfrac{p^2sinacosa}{\sqrt{6}}$ Οπότε η συνθήκη γρ...
από ksofsa
Κυρ Αύγ 30, 2020 10:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Διάταξη τιμών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 421

Re: Διάταξη τιμών

Καλησπέρα σε όλους! Θεωρώ την ευθεία $y=x$ Είναι $g'(x)=2(f'(x)-x)$. Είναι $\int_{-2}^{2}g'(x)dx=2\int_{-2}^{2}(f'(x)-x)dx> 0$, αφού το σχετικό χωρίο πάνω από την ευθεία $y=x$. Άρα $g(2)> g(-2)$. Είναι $\int_{2}^{4}g'(x)dx=2\int_{2}^{4}(f'(x)-x)dx< 0$, αφού το σχετικό χωρίο κάτω από την ευθεία $y=x$...
από ksofsa
Τρί Αύγ 18, 2020 5:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 679

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

Καλησπέρα! Διαφορετικά για το 6: Έστω $K\equiv AD\cap FE$. Τότε έχω διαδοχικά: $tanBtanC=2\Leftrightarrow \dfrac{AF}{FH}\cdot \dfrac{AE}{EH}=2 \Leftrightarrow AF\cdot AEsinA=2FH\cdot EHsinA\Leftrightarrow$ $(FAE)=2(FHE)\Leftrightarrow AK=2KH\Leftrightarrow DK=4KH\Leftrightarrow$ $(FDE)=4(FHE)\Leftri...
από ksofsa
Κυρ Αύγ 09, 2020 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισοτικές σχέσεις
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 170

Re: Ανισοτικές σχέσεις

Καλησπέρα! Έστω ότι οι $a,b,c$ θετικοί. Ειδάλλως, το ζητούμενο είναι προφανές. Αφού $ab\leq \dfrac{1}{4}, ac\leq \dfrac{1}{4}$, μπορώ να θεωρήσω ότι $ab=\dfrac{sin^2x}{4}, ac=\dfrac{sin^2y}{4}$, με $x,y\epsilon [0, \dfrac{\pi }{2}]$. Η δεδομένη ανισοτική σχέση γράφεται $cosx+cosy> 4a$. Διακρίνω δύο ...
από ksofsa
Δευ Αύγ 03, 2020 12:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Για την ισότητα των λόγων
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 403

Re: Για την ισότητα των λόγων

Καλησπέρα! Έστω $O$ το κέντρο του τετραγώνου. Το τρίγωνο $DEP$ ορθογώνιο ισοσκελές (προκύπτει από την εγγραψιμότητα του $ADEP$). Τα τρίγωνα $ADP, ODE$ όμοια , διότι ορθογώνια και $\angle ADP=\angle ODE=45^{\circ}-\angle PDB$ Τελικά: $\dfrac{OE}{OC}=\dfrac{OE}{OD}=\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{1}{3}\Rightarr...
από ksofsa
Τετ Ιούλ 22, 2020 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Τριγωνομετρικό σύστημα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 348

Re: Τριγωνομετρικό σύστημα

Ακόμα μία λύση: Έχω : $cos^2(a+x)+sin^2(a+x)=1$ $[cosa+cos(a+y)]^2+[sina+sin(a+y)]^2=1$ $2+2[cos(a+y)cosa+sin(a+y)sina]=1$ $cosy=-\dfrac{1}{2}$ Όμοια, $cosx=-\dfrac{1}{2}$. Αναλύοντας τις αρχικές εξισώσεις και αντικαθιστώντας, παίρνω: $sina(sinx+siny)=cosa(sinx+siny)=0$ Άρα, $sinx+siny=0$. Ισχύουν $...
από ksofsa
Σάβ Ιουν 27, 2020 11:09 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ρυθμός μεταβολής τεταγμένης
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 824

Re: Ρυθμός μεταβολής τεταγμένης

Καλημέρα σε όλους! Γράφω μια λύση με τριγωνομετρικά μέσα: Θέτω $\angle OAB=x$ Είναι : $tan\dfrac{x}{2}=\dfrac{2}{a(t)-2}$, σχέση που προκύπτει αν σκεφτούμε ότι η $AK$ διχοτόμος της $\angle A$. Επίσης: $\dfrac{b(t)}{a(t)}=tanx=\dfrac{2tan\dfrac{x}{2}}{1-tan^2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{4a(t)-8}{a^2(t)-4a(t)...
από ksofsa
Κυρ Απρ 26, 2020 12:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Παραπληρωματικές γωνίες
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 754

Re: Παραπληρωματικές γωνίες

Ακόμα μία λύση: Προεκτείνω την $AM$ κατά τμήμα $MD=AM$. Αρκεί να δειχθεί ότι το $EBDC$ εγγράψιμο ή ισοδύναμα από θεώρημα τεμνομένων χορδών ότι $BM^2=MA\cdot ME$ Όμως, από θ. διαμέσων και ν. συνημιτόνου έχω: $\dfrac{AB^2}{EB^2}=\dfrac{AC^2}{EC^2}=\dfrac{2AB^2+2AC^2}{2EB^2+2EC^2}=\dfrac{4AM^2+BC^2}{4E...
από ksofsa
Πέμ Απρ 16, 2020 11:56 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Υπερανισότητα
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1923

Re: Υπερανισότητα

Καλημέρα σε όλους! Έχω: $(8a^2+b^2)^2=(\dfrac{8}{3}a^2+\dfrac{8}{3}a^2+\dfrac{8}{3}a^2+b^2)^2\geq (4\sqrt[4]{\dfrac{8^3}{3^3}a^6b^2})^2=16\sqrt{\dfrac{8^3}{3^3}}a^3b$ με ισότητα για $\dfrac{8}{3}a^2=b^2$. Δεδομένου ότι πιάνεται η ισότητα, δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι η μέγιστη τιμή του $M$ είναι $...
από ksofsa
Τετ Απρ 15, 2020 2:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Υπερανισότητα
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1923

Re: Υπερανισότητα

Καλησπέρα!

Θα χρησιμοποιήσω τις ανισότητες x+y\geq 2\sqrt{xy} και (x+y)^2\geq 4xy

Εχω λοιπόν:

(8a^2+b^2)^2=(4a^2+4a^2+b^2)^2\geq (4a^2+4ab)^2=16(a^2+ab)^2\geq 64a^3b> 16a^3b,

ό.έ.δ.
από ksofsa
Σάβ Απρ 11, 2020 12:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1054

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Καλησπέρα!

Μια λύση για το θέμα 3:


\sum \dfrac{a}{a^2+7}=\sum \dfrac{a}{(a+b)(a+c)+4}\leq \dfrac{1}{4}\sum \dfrac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq

\leq \dfrac{1}{8}\sum (\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c})=\dfrac{3}{8}
από ksofsa
Κυρ Μαρ 15, 2020 9:52 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Γνησίως φθίνουσα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1351

Re: Γνησίως φθίνουσα

Καλημέρα σε όλους! Μια προσπάθεια: Εστω $t_{1}<t_{2}$ Αρκεί ν.δ.ό.: $f(t_{1})>f(t_{2})$ $\dfrac{k^{t_{2}}}{(k+x^{t_{1}}-1)^{t_{2}}}> \dfrac{k^{t_{1}}}{(k+x^{t_{2}}-1)^{t_{1}}}$ $(\dfrac{k+x^0-1}{k+x^{t_{1}}-1})^{\dfrac{1}{t_{1}}}> (\dfrac{k+x^{t_{1}}-1}{k+x^{t_{2}}-1})^{\dfrac{1}{t_{2}-t_{1}}}$ $\df...
από ksofsa
Πέμ Μαρ 12, 2020 3:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 660

Re: Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι

Καλησπέρα! Για το 1ο θέμα: Εστω $(a,b)= d>1$ Τότε $a=xd,b=yd, (x,y)=1,$ και $(d,c)=1$ Αρα $xd/(yd-c)^2\rightarrow d/c^2$ κι επειδή $(d,c)=1$ έχω $d=1$ Δηλαδή $(a,b)=1$ και όμοια $(b,c)=(c,a)=1$ Εχω $ab/(c-b)^2(c-a)^2\Rightarrow ab/(ab+c^2-ca-bc)^2\Rightarrow ab/(c^2-ab-bc)^2$ $\Rightarrow ab/c^2(a+b...
από ksofsa
Τετ Μαρ 04, 2020 6:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (10), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 459

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μικροί

Καλησπέρα! Άλλη μια λύση για το θέμα 3: Από Cauchy Schwartz έχω: $(x^4+y)(y^2z^2+y^3)\geq (x+y^2)^2$ $y^2(x^4+y)(y+z^2)\geq (x+y^2)^2$ Ομοια $z^2(y^4+z)(z+x^2)\geq (y+z^2)^2$ $x^2(z^4+x)(x+y^2)\geq (z+x^2)^2$ Πολλαπλασιάζοντας τις τρεις ανισότητες κι επειδή $xyz=1$ παίρνω τελικά $(x^4+y)(y^4+z)(z^4+...
από ksofsa
Σάβ Φεβ 08, 2020 6:41 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σχέση πλευρών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 459

Re: Σχέση πλευρών

Καλημέρα! Και αλλιώς: Εστω $I_{a}$ παράκεντρο και $C$ ο κύκλος $(BIGCI_{a})$. Εστω ότι η διάμεσος $AM$ τέμνει τον κύκλο ξανά στο $K$. Τα τρίγωνα $AIB, AI_{a}C$ όμοια και άρα $AI\cdot AI_{a}=bc$. Από θ. δύναμης σημείου έχω $MB\cdot MC=MG\cdot MK\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{4}=\dfrac{m_{a}}{3}\cdot MK\...
από ksofsa
Παρ Φεβ 07, 2020 8:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σχέση πλευρών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 459

Re: Σχέση πλευρών

Ακόμα μία λύση: Εστω $I_{a}$ παράκεντρο . Το πεντάγωνο $BIGCI_{a}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $K$. Με βάση το θεώρημα του Leibniz για το κέντρο του κύκλου έχω: $3KG^2+\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=KA^2+KB^2+KC^2\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=KA^2-KI^2\Leftrightarrow $ $\dfrac{1}{3}...
από ksofsa
Παρ Φεβ 07, 2020 6:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Επιδίωξη παραλληλίας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 311

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

Καλησπέρα! Είναι $\angle FDE=180^{\circ}-2A$ $\angle FED=180^{\circ}-2B$ $\angle DFE=180^{\circ}-2C$ Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του $FDE$, τότε $2FE=DE+EF\Leftrightarrow 4Rsin2A=2Rsin2B+2Rsin2C\Leftrightarrow 2sin2A=sin2B+sin2C$ $\Leftrightarrow 2sinAcosA=sinBcosB+sinCcosC\Leftrighta...
από ksofsa
Παρ Φεβ 07, 2020 12:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σχέση πλευρών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 459

Re: Σχέση πλευρών

Καλησπέρα! Ισχύει $\angle BGC=\angle BIC=90^{\circ}+\dfrac{\angle A}{2}$ Από ν. συνημιτόνων $a^2=BG^2+CG^2-2BG\cdot CGcos(90^{\circ}+\dfrac{A}{2})\Leftrightarrow 9a^2=4m_{b}^2+4m_{c}^2+8m_{b}m_{c}sin\dfrac{A}{2}$. ΕίναI $(BGC)=\dfrac{(ABC)}{3}\Leftrightarrow BG\cdot CG\cdot sin(90^{\circ}+\dfrac{A}{...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση