Η αναζήτηση βρήκε 170 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τετ Δεκ 11, 2019 9:04 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Απίστευτη σταθερότητα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 98
Re: Απίστευτη σταθερότητα
Καλησπέρα! Έχω $\angle BOC=2\angle A=120^{\circ}$ και $\angle BHC=180^{\circ}-\angle A=120^{\circ}$ Άρα, $BHOC$ εγγράψιμο. Από θ. Πτολεμαίου έχω $R\cdot CH+a\cdot OH=R\cdot BH\Leftrightarrow a\cdot OH=R\cdot (BH-CH)\Leftrightarrow a\cdot OH=R\cdot (BM+HM-CN+HN)\Leftrightarrow \dfrac{HM+HN}{OH}=\dfra...
- Σάβ Δεκ 07, 2019 2:11 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 155
Re: Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα
Καλησπέρα! Λίγο διαφορετικά: Έστω τα παράκεντρα $I_{B},I_{C}$ Είναι $I_{B}I_{C}\perp OA\Rightarrow I_{B}I_{C}//ST$. Όμως τα τετράπλευρα $AOBI_{C},AOCI_{B}$ είναι εγγράψιμα, διότι $\angle OAI_{B}=\angle OAI_{C}=\angle OBI_{C}=\angle OCI_{B}=90^{\circ}$ Αρα $\angle STO=\angle I_{C}I_{B}O=\angle ACO$$=...
- Πέμ Δεκ 05, 2019 8:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Εμβαδά άμεσης δράσης
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 142
Re: Εμβαδά άμεσης δράσης
Καλησπέρα! Άλλη μια λύση: Εχω $H$ το ορθόκεντρο του $ABC$ και $D,E,F$ οι πόδες των υψών. Είναι : $\dfrac{E_{a}^2}{(ABC)^2}=\dfrac{DA_{1}^2}{h_{a}^2}=\dfrac{BD\cdot CD}{h_{a}^2}=\dfrac{h_{a}\cdot DH}{h_{a}^2}=\dfrac{DH}{h_{a}}=\dfrac{DH\cdot a}{h_{a}a}=\dfrac{(BHC)}{(ABC)}$ Αρα $\dfrac{E_{a}^2+E_{b}^...
- Δευ Δεκ 02, 2019 8:34 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Ακτινοδιάγνωση
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 168
Re: Ακτινοδιάγνωση
Λίγο διαφορετικά:
Στο σχήμα του κυρίου Γιώργου Βισβίκη έχω:

και
.
Στο σχήμα του κυρίου Γιώργου Βισβίκη έχω:

και

- Κυρ Δεκ 01, 2019 2:45 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Μπαρμπαστάθεια 2019
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 360
Re: Μπαρμπαστάθεια 2019
Καλό μήνα σε όλους! Εναλλακτική λύση για το 1ο ερώτημα (εκτός φακέλου): Τα ορθογώνια τρίγωνα $BCM, DCN$ είναι ίσα καθώς έχουν ίσες τις κάθετες πλευρές τους. Άρα οι ομόλογες πλευρές των ίσων αυτών τριγώνων σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες, δηλαδή στη συγκεριμένη περίπτωση ορθές γωνίες. Συνεπώς , ο...
- Σάβ Νοέμ 30, 2019 8:20 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Προδρομιακή
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 207
Re: Προδρομιακή
Καλημέρα!
Το
είναι το ορθόκεντρο του
, όπως αποδείξαμε στην άσκηση του συνδέσμου.
Η
τέμνει τον κύκλο στο
.
Τότε, από γνωστή ιδιότητα για το ορθόκεντρο , έχουμε
.
Από θεώρημα τεμνομένων χορδών έχουμε
, ό.έ.δ.
Το


Η


Τότε, από γνωστή ιδιότητα για το ορθόκεντρο , έχουμε

Από θεώρημα τεμνομένων χορδών έχουμε

- Παρ Νοέμ 29, 2019 10:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 166
Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
Ακόμα μία λύση:
Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότι
Εστω
το βαρύκεντρο του 
Εύκολα βλέπουμε ότι το
είναι βαρύκεντρο και του
.
Αρα
και το
ορθόκεντρο (ευθεία Euler).
Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότι

Εστω


Εύκολα βλέπουμε ότι το


Αρα


- Παρ Νοέμ 29, 2019 10:06 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 166
Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
Άλλη μια λύση:
Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότι
.
Τότε
, διότι
κέντρο του
και
κέντρο του
.
Αφού
θα είναι
και το
ορθόκεντρο.
Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότι

Τότε





Αφού



- Παρ Νοέμ 29, 2019 9:59 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 166
Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
Καλησπέρα! Εστω $E$ το αντιδιαμετρικό του$A$. Είναι $SC\perp BC$ και $AO\perp BC$ Αρα $SC//AO$ Τα τρίγωνα $AMH$ και $SMC$ είναι ίσα, διότι έχουν ίσες γωνίες και $AM=MC$. Αρα $HM=SM$. Είναι $MD//AB$, διότι $AM=MC$ και $BD=DC$. κι επειδή $AB//SE$ είναι $MD//SE$. Αφού $MD//SE$ και $HM=SM$, είναι $HD=DE...
- Τετ Νοέμ 27, 2019 8:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Διπλάσιο εμβαδόν
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 182
Re: Διπλάσιο εμβαδόν
Καλησπέρα! Έστω $Q$ το συμμετρικό του $S$ ως προς $M$. Είναι $(ATS)=2(PTM)\Leftrightarrow AT\cdot TS\cdot sin\angle ATS=2PT\cdot TM\cdot sin\angle PTM $ $\Leftrightarrow AT\cdot TS=2PT\cdot TM\Leftrightarrow \dfrac{AT}{TM}=\dfrac{2PT}{TS}$ Από θ. Θαλή έχω $\dfrac{AT}{TM}=\dfrac{SC}{SM}=\dfrac{BQ}{QM...
- Παρ Σεπ 20, 2019 8:05 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
- Θέμα: Είναι ακέραιος
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 399
Re: Είναι ακέραιος
Άλλη μια λύση: Έχω: $1053=3^4\cdot 13$ $392=2^3\cdot 7^2$ $378=2\cdot 3^3\cdot 7$ "Παίζοντας" με τους αριθμούς, παρατηρώ ότι: $1053+392+1134=2579$ και $1134=3\cdot 378$ Ετσι, μπορώ να εκμεταλλευτώ την ταυτότητα του Euler και έχω: $N=\dfrac{1053^3+392^3+1134^3+378^3-1134^3}{2579} \Leftrightarrow$ $N=...
- Τετ Σεπ 18, 2019 10:26 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα σε τρίγωνο
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 389
Re: Ανισότητα σε τρίγωνο
Από Cauchy Schwartz έχω $(a^3+b^6+c^6)(a^3+2)\geq (a^3+b^3+c^3)^2\Leftrightarrow \frac{sinA}{a^3+b^6+c^6}\leq \frac{sinA(a^3+2)}{(a^3+b^3+c^3)^2}$ Αρα αρκεί: $\frac{1}{a^3+b^3+c^3}\sum \sqrt{sinA(a^3+2)}\leq \sqrt[4]{\frac{27}{4}}\Leftrightarrow (\sum \sqrt{sinA(a^3+2)})^2\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^...
- Τετ Σεπ 18, 2019 7:55 pm
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Ύψη και αποστάσεις
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 214
Re: Ύψη και αποστάσεις
Ισχύει από τύπους εμβαδού τριγώνου: $2E=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}=ax+by+cz$. Αρα $\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}}=\frac{ax+by+cz}{2E}=1$ Οπότε , από την ανισότητα Cauchy Schwartz έχω: $(\frac{h_{a}}{x}+\frac{h_{b}}{y}+\frac{h_{c}}{z})(\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}})\geq 9...
- Κυρ Σεπ 08, 2019 9:00 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Κατασκευή ρόμβου
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 639
Re: Κατασκευή ρόμβου
Βασικά, το $K$ δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του $AB$. Η μία οριακή θέση του $K$ είναι όταν το $N$ συμπίπτει με το $A$ και η άλλη όταν το $L$ συμπίπτει με το $B$. Δηλαδή οι θέσεις του $K$ είναι στο μέσο τριτημόριο του $AB$. Αντίστοιχα , οι θέσεις του $M$ στο συμμετρικό τμήμα του μέσου τριτη...
- Κυρ Σεπ 08, 2019 8:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Κατασκευή ρόμβου
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 639
Re: Κατασκευή ρόμβου
Λίγο διαφορετικά: Εστω $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου. Τότε από τα εγγράψιμα $ANOK, BLOK$ έχω $\angle OAB=\angle OBA=\frac{\pi }{6}$ Αρα το $O$ είναι το ορθόκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ Αρα σταθερό σημείο και συνάμα κατασκευάσιμο. Το $M$ είναι το συμμετρικό του $K$ ως προς $O$ ...
- Παρ Σεπ 06, 2019 11:51 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Τριπλός λόγος
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 291
Re: Τριπλός λόγος
Άλλη μια λύση: Το τετράπλευρο $ACKM$ εγγράψιμο διότι $\angle KAM=\angle KCM.$ Αρα $\angle CKA=\angle CMA=\frac{\pi }{2}$. Το τετράπλευρο $ALSN$ ρόμβος, διότι οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα. Από θ.διχοτόμων $\frac{BN}{AN}=\frac{BC}{CA}=\sqrt{2}$ και $\frac{AL}{LM}=\frac{CA}{CM}=\...
- Πέμ Σεπ 05, 2019 2:38 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Μέγιστο ύψος
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 292
Re: Μέγιστο ύψος
Εστω O το κέντρο του κύκλου και Μ το μέσο του τόξου ΑΒ.
Εστω ότι η ΟΜ τέμνει την ΤP στο D και την SP στο Ε.
Εστω ότι η ακτίνα του κύκλου είναι 1.
Εστω
ST=x και TD=y.
Ειναι από πυθαγόρειο θεώρημα
Εχω
Όμως
Αρα
Ισότητα για
Εστω ότι η ΟΜ τέμνει την ΤP στο D και την SP στο Ε.
Εστω ότι η ακτίνα του κύκλου είναι 1.
Εστω
ST=x και TD=y.
Ειναι από πυθαγόρειο θεώρημα
Εχω
Όμως
Αρα
Ισότητα για
- Τετ Σεπ 04, 2019 3:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ώρα για εφαπτόμενες
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 440
Re: Ώρα για εφαπτόμενες
Καλησπέρα σε όλους! Στη διαμόρφωση του μηνύματός μου έκανα κάτι που δεν ξέρω αν επιτρέπεται από τον κανονισμό του mathematica. Επειδή δεν εμφανίζεται ο κώδικας latex με το συμβατικό τρόπο, αποθήκευσα τον κώδικα latex ως εικόνα και μετά έκανα επισύναψη. Αν υπάρχει πρόβλημα , θα αποσύρω το μήνυμά μου ...
- Τετ Σεπ 04, 2019 3:12 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ώρα για εφαπτόμενες
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 440
Re: Ώρα για εφαπτόμενες
Αλλιώς για το 2ο:
Εστω D το σημείο τομής των AT,OK
Θετω
OA=R, OK=R/2=r
Ο κύκλος (O,r) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ADB
Εστω x=AD=BD
Από τύπους εμβαδού τριγώνου και το πυθαγόρειο θεώρημα:
Εστω D το σημείο τομής των AT,OK
Θετω
OA=R, OK=R/2=r
Ο κύκλος (O,r) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ADB
Εστω x=AD=BD
Από τύπους εμβαδού τριγώνου και το πυθαγόρειο θεώρημα:
- Κυρ Σεπ 01, 2019 6:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 542
Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Λίγο διαφορετικά:
Θεωρώ

Τότε
,
που ισχύει διότι
Θεωρώ

Τότε

που ισχύει διότι
