ME ENTONH ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ
συγνωμη προβλημα στον υπολογιστή
f' συνεχής τότε $\displaystyle{f'(x) \le M=f'(m)=0}$ αρα $\displaystyle{f}$ γν.φθίνουσα στο $\displaystyle{[a,b]}$
Το γν.επειδή $\displaystyle{f}$ δεν είναι σταθερή
Αν απο το σημείο $\displaystyle{(c,f(c))}$με $\displaystyle{a<c<m ...

είναι $\displaystyle{(f^2(x))'=\frac{(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=(-\frac{1}{x^2+1})'}$

Αρα $\displaystyle{f^2 (x)=\frac{-1}{x^2+1}+c}$

ομως $\displaystyle{f(0)=0}$ αφού $\displaystyle{f'(x)\ne 0}$ οπότε $\displaystyle{c=1}$ Και τότε $\displaystyle{f^2 (x)=\frac{x^2}{x^2+1}}$ η
$\displaystyle{|f(x ...

Συγχαρητήρια για την θαυμάσια δουλειά που βρίσκεται σε αυτό το άρθρο

εδωδιμα αποικιακά
εκδόθηκε το βιβλίο μας
επαρκως σχολιασμενο(Δ.Λύκκας - Ρ.Μπορης)

η f είναι αντιστρέψιμη οποτε παίρνουμε $\displaystyle{2x-f(x)=f^{-1}(x)}$

H $\displaystyle{f,f^{-1}}$ έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας , $\displaystyle{2x}$ γν αύξουσα άρα $\displaystyle{f}$ γν.αύξουσα

Tότε για $\displaystyle{x=f(x)\Rightarrow f(f(x))+x=2f(x)}$ συνεχίζοντας ετσι αν θέσουμε ...

Σε 3-4 μέρες θα κυκλοφορήσει το βιβλίο μου και του Δ.Λυκκσ ΕΔΩΔΙΜΑ ΑΠΟΙΚΙΑΚΑ - ΜΠΑΚΑΛΙΚΟ από τις εκδόσεις 24 γράμματα και θα περιέχει 2 λύσεις του προβλήματος που συζητήθηκε Μια με ορθοκεντρική τετράδα και μια με συζυγή αρμονικά
Ρ.Μ

Η κρυφή γοητεία
της ξεχασμένης
μεθόδου των τριών.









για την 6η δημοτικού

Ρ.Μπόρης
3/12/2024

1 Λίγο καιρό πριν έπεσε στα χέρια μου ένα φυλλάδιο με προβλήματα για την 6η δημοτικού που αφορούσε «τας εισιτηρίους εξετάσεις προτύπων γυμνασίων καιγυμνασίων αριστούχων\ των αδελφών Γρυμπιλάκου ...

Aν δεν υπήρχε το όριο θa έπρεπε
να υπάρχουν 2 ακολουθίες $\displaystyle{x_n,y_n}$ που να συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια Ας τα πούμε $\displaystyle{a,b}$ Αλλά η τιμή του $\displaystyle{L}$ είναι μοναδική διοτι αν $\displaystyle{3a^2(a+1)^2+(a+1)^2+3=0}$ ΤΟΤΕ $\displaystyle{3=0}$ οπότε δεν ΜΠΟΡΕΊ ...

Νομιζω οτι πρεπει να αποκλειστει και η περίπτωση που είναι εύκολο Με μεγιστοβάθμιους καταλήγουμε

δεν υπαρχει $\displaystyle{a_k}$:$\displaystyle{a_k=2025}$ γιατι $\displaystyle{a_n>a_k=2025}$ για κάθε $\displaystyle{n>k}$ Ομως το 2025 είναι ανω φραγμα της ακολουθιας αρα το συνολο των ανω φραγμάτων της ακολουθιας πρεπει να ειναι το $\displaystyle{[2025,\infty)}$ μια που οποιοσδηποτε αριθμος ...

$\displaystyle{(a_n)}$ γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη άρα συγκλίνει προς το $\displaystyle{m=sup(a_n)}$
Το $\displaystyle{m}$ ειναι μοναδικό για κάθε φυσικό $\displaystyle{n}$ ισχυει $\displaystyle{m>a_n}$
αν $\displaystyle{M}$ ενα άνω φράγμα της $\displaystyle{(a_n)}$ τοτε $\displaystyle{M\ge m ...

φίλοι μου
εξέδωσα την 3η συλλογή ποίησης ΑΛΚΥΟΝΙΔΕΣ ΛΕΞΕΙΣ απο τις εκδόσεις 24 γράμματα εδώ και κάμποσο καιρό και τωρα ετοιμαζω την 4η.Να είστε όλοι καλά!
Ρ.Μ

το ποστ το βαζω αλλου

θετω $\displaystyle{x=cosu}$

εχουμε $\displaystyle{2x^2-x-1 =\sqrt{1-x^2}\Rightarrow x=1,-1\le x \le-1/2}$

Tοτε $\displaystyle{cos2u-cosu=|sinu|}$ η $\displaystyle{2sin(3u/2)sin(-u/2)=2|sin(u/2)sin(pi/2-u/2)}$

1. Aν }$sin(u/2)=0$\displaystyle{ τοτε $u/2=k\pi \RightArrow cosu=x=1}$ και ευκολα

2 ...

δεν χρειάζεται να μπλεξουμε τα σημεια καμπης και την κυρτοτητα

εγινε διορθωση
$\displaystyle{f'(x)=\frac{2xe^x-e^x(x^2+a)}{e^{2x}}=\frac{2x-x^2-a}{e^x}=\frac{(x-1)^2+a-1}{-e^x}}$

για να εχει ακρότατα η $\displaystyle{f}$ πρεπει $\displaystyle{a-1\le 0}$ και τότε πρεπει ακόμα $\displaystyle{(r-1)^2=1-a}$

τα ακροτατα θα ειναι τα $\displaystyle{\frac{r^2+a}{e^r ...

λαθος

επαναληψη λαθος

επναληψη το σβηνω

αν η $\displaystyle{f}$ δεν εχει ρίζα τοτε

$\displaystyle{ -\frac{f'(x)}{f^2(x)}=2x}$

ή $\displaystyle{\frac{1}{f(x)}=x^2+c}$ και αφού $\displaystyle{f(0)=1\Rightarrow c=1}$ οποτε $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x^2+1}}$


Aν η $\displaystyle{f}$είχε μια τουλάχιστον ριζα $\displaystyle{r}$ τότε στα ...