Η αναζήτηση βρήκε 5988 εγγραφές

από matha
Τρί Απρ 16, 2019 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 284

Re: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...

Μια απλούστερη απόδειξη βασίζεται στο ότι ισχύει $\displaystyle{1+\frac{r}{R}=\cos A+\cos B+\cos C,}$ οπότε, επειδή είναι, $\displaystyle{\cos A+\cos B=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{B-C}{2}\leq 2\sin \frac{C}{2}}$ προκύπτει $\displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C\leq \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin...
από matha
Κυρ Απρ 07, 2019 1:20 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σε κανονικό επτάγωνο!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 297

Σε κανονικό επτάγωνο!

Δίνεται κανονικό επτάγωνο πλευράς $\displaystyle{a}$ και ας είναι $\displaystyle{b,c}$ τα μήκη των διαγωνίων του ($\displaystyle{b<c}$). Να υπολογίσετε τις παραστάσεις $\displaystyle{K=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}}$ και $\displaystyle{L=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c...
από matha
Τετ Απρ 03, 2019 5:01 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Εύρεση συναρτήσεων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 198

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Είναι $\displaystyle{f(0)=0.}$ Στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ είναι $\displaystyle{f'(x)=\frac{2f(x)-x}{x}}$, άρα η $\displaystyle{f}$ είναι δις και τρις παραραγωγίσιμη,οπότε από την αρχική έχουμε $\displaystyle{2f'(x)=1+f'(x)+xf''(x)\implies f'(x)=1+xf''(x)\implies f''(x)=f''(x)+xf'''(x)\implies ...
από matha
Τετ Απρ 03, 2019 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συστηματική ομοιοκαταληξία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 161

Re: Συστηματική ομοιοκαταληξία

Υποθέτω ζητούμενοι είναι οι $\displaystyle{x,y}$ (αν και μπορούμε να βρούμε και τα $\displaystyle{a,b}$). Ισχύει $\displaystyle{(ax^3+by^3)(x+y)=ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)\implies 96(x+y)=256+16xy ~~\color{red}(1)}$ και $\displaystyle{(ax^2+by^2)(x+y)=ax^3+by^3+xy(ax+by)\implies 16(x+y)=96+6xy ~~\color...
από matha
Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Πεπλεγμένη συνάρτηση!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 535

Πεπλεγμένη συνάρτηση!

Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες. Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{y=f(x)}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R},}$ ώστε $\displaystyle{\sin x+\sin y=x-y^3.}$ $\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης. $\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να αποδείξετε ...
από matha
Παρ Μαρ 29, 2019 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: "Δύσκολη" ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 235

Re: "Δύσκολη" ανισότητα

Από την ανισότητα λογαριθμικού μέσου-αριθμητικού μέσου έχουμε

\displaystyle{\frac{5-3}{\ln 5-\ln 3}<\frac{5+3}{2}}

δηλαδή τη ζητούμενη.

:D
από matha
Τρί Μαρ 12, 2019 12:09 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 406

Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές

... οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{2(a^3+b^3+c^3)\geq a^2+b^2+c^2+a+b+c.}$ Και ένα διαφορετικό τελείωμα: Έχουμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{(2a^3-a^2-a)+(2b^3-b^2-b)+(2c^3-c^2-c)\geq 0}$ όταν $\displaystyle{a,b,c>0, abc=1.}$ Αυτό είναι συνέπεια της ανισότητας $\displaystyle{2x^3...
από matha
Δευ Μαρ 11, 2019 6:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 406

Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές

Μια απόδειξη, αλλά είμαι σίγουρος ότι υπάρχουν και άλλες: Λόγω ομογένειας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\displaystyle{abc=1,}$ Οπότε έχουμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{a^3+b^3+c^3\geq \sum a\sqrt{\frac{b+c}{2}}.}$ Από την ΑΜ-ΓΜ είναι $\displaystyle{\frac{1}{2}\left(a^2+\frac{b+c}{2}\right)\geq a...
από matha
Κυρ Μαρ 10, 2019 7:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΚΛΑΔΟΙ ΤΟΜΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1621

Re: ΚΛΑΔΟΙ ΤΟΜΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

Το θέμα έχει διευθετηθεί εντός του :logo:
Για το τι γράφεται σε άλλες σελίδες μάλλον δε μπορούμε να κάνουμε τίποτα.
από matha
Σάβ Μαρ 02, 2019 5:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΚΛΑΔΟΙ ΤΟΜΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1621

Re: ΚΛΑΔΟΙ ΤΟΜΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

Εγώ είμαι ο administrator για την Ελλάδα του διεθνούς μαθηματικού server MATH FACEBOOK που υποστηρίζεται από American Mathematical society με general server http://www.ams.org Ο server MATH FACEBOOK που ένα υποσύνολο των mathematical web pages παρουσιάζουμε στο αρχειο powerpoint - presentation που ...
από matha
Τρί Φεβ 26, 2019 1:12 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: U466 από το MR
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 380

Re: U466 από το MR

Μια απόδειξη ακόμα: Από Cauchy-Schwarz είναι για κάθε $\displaystyle{x\geq 0}$ $\displaystyle{\frac{a^2}{a+bx}+\frac{b^2}{b+cx}+\frac{c^2}{c+ax}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+x(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{x+1}}$. Άρα $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{a^2}{a+bx}dx +\int_{0}^{1}\frac{b^2}{b+cx}dx +\int_{0}^{1}\f...
από matha
Τρί Φεβ 19, 2019 7:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 625

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Πρόκειται για τις καμπύλες (ωοειδείς) του Cassini. Μερικές πληροφορίες υπάρχουν εδώ.
από matha
Κυρ Ιαν 27, 2019 9:56 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 450

Re: Ανισότητα!

Ας την σφίξουμε:

\displaystyle{\rm  
\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}.}

Πρόκειται για ανισότητα με πολύ ενδιαφέρουσες επεκτάσεις και γενικεύσεις, αλλά, νομίζω, ακατάλληλη για Junior.
από matha
Κυρ Ιαν 20, 2019 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Αγίου Αθανασίου
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 521

Re: Του Αγίου Αθανασίου

Ευχαριστώ όλους τους φίλους για τις ευχές τους.
από matha
Δευ Ιαν 14, 2019 2:06 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 364

Re: Ολοκλήρωμα

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(t)=\int_{0}^{1}\frac{\sin (t\ln x)}{\ln x}dx.}$ Είναι $\displaystyle{f'(t)=\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\sin (t\ln x)}{\ln x}dx=\int_{0}^{1}\cos (t\ln x)dx\stackrel{t\ln x=u}{=}}$ $\displaystyle{=\frac{1}{t}\int_{-\infty}^{0}\cos u e^{\frac{u}{t...
από matha
Κυρ Ιαν 13, 2019 12:18 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 721

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 4 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}$, ώστε $\displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}$ Λόγω κυρτότητας τ...
από matha
Σάβ Ιαν 12, 2019 9:09 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μέγιστη απόσταση σημείων καμπύλης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 583

Re: Μέγιστη απόσταση σημείων καμπύλης

Το πιάνω από κει που το άφησε ο Νίκος: Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την παράσταση $\displaystyle{d^2=4(x^2+y^2),}$ υπό το δεσμό $\displaystyle{\frac{x^4}{a^4}+\frac{y^4}{b^4}=1.}$ Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι $\displaystyle{1=\frac{x^4}{a^4}+\frac{y^4}{b^4}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{a^4+b^4}\i...
από matha
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 721

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 4 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}$, ώστε $\displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}$ Λόγω κυρτότητας τ...
από matha
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 889

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Πρόβλημα 2 Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών $\displaystyle{(a, b, c)}$, για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες: i. $\displaystyle{abc=1}$ ii. $\displaystyle{ab+bc+ca=a+b+c}$ iii. $\displaystyle{b-a=1}$ Λίγο συντομότερα: Από την ταυτότητα $\displaystyle{(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(a...
από matha
Τρί Ιαν 08, 2019 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 283

Re: Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

Ουσιαστικά προκύπτει επαγωγικά από την ανισότητα που αποδεικνύεται εδώ . Για τρεις αριθμούς είναι η ακόλουθη: Πρόταση: Αν $\displaystyle{f}$ κυρτή συνάρτηση στο διάστημα $\displaystyle{D}$ και $\displaystyle{a,b,c\in D}$ με $\displaystyle{a\leq b\leq c,}$ τότε ισχύει $\displaystyle{f(a-b+c)+f(b)\leq...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση