Πιάνεται. Τα τετράγωνα πρέπει να έχουν μια κοινή πλευρά αλλά όχι απαραίτητα ανά δύο.

Σε ένα τετραγωνικό πλέγμα σχεδιάζουμε σχήματα με σταθερό εμβαδό $n .$ Στο πράσινο σχήμα φαίνεται ένα σχήμα με εμβαδό $3$ τετραγωνάκια. Επιτρέπεται να σχηματίζουμε σχήματα που αποτελούνται από ακέραιο αριθμό τετραγώνων (το σχήμα δεν περιέχει μισά, ή τέταρτα κλπ) και δεν επιτρέπεται να εμφανίζεται σχή...

Πολύ ωραία! Υπάρχουν και άλλοι τρόποι. Το σημαντικό ερώτημα είναι για ποιoυς φυσικούς αριθμούς είναι εφικτή η διαδικασία αυτή σε πλέγματα .

ola x.png Έχουμε το παρακάτω 6χ6 πλέγμα και κάθε φορά εφαρμόζουμε την εξής διαδικασία : Επιλέγουμε ένα τετραγωνάκι και του βάζουμε ένα Χ. Στη συνέχεια, επιλέγουμε ένα τετραγωνάκι που βρίσκεται 1 ή 2 τετράγωνα μακρυά του, οριζόντια, κάθετα ή διαγώνια (πχ αν έχω βάλει Χ στο τετράγωνο 1, τότε το επόμε...

Έχουμε 100 μπάλες αριθμημένες από το 1 έως το 100. Μπορούμε να επιλέξουμε αρχικά μια μπάλα με άρτιο αριθμό μικρότερο του 50. Στη συνέχεια, η επόμενη μπάλα θα πρέπει να έχει έναν αριθμό που θα είναι πολλαπλάσιο ή διαιρέτης του αρχικού αριθμού. Στη συνέχεια η επόμενη μπάλα θα πρέπει να περιέχει έναν α...

Δ5. Έστω η μεταβλητή $Χ$ που εκφράζει τον αρχικό χρόνο και $Y$ οι νέες τιμές. Συνεπώς $\displaystyle{Y=X+80%X=X+0,8X=1,8X}$. Από εφαρμογή του σχολικού βιβλίου έχουμε ότι: $\displaystyle{\bar{y}=1,8\bar{x}}$ και $\displaystyle{s_y=|1,8|s =1,8s}$, οπότε ο αντίστοιχος συντελεστής μεταβολής είναι: $\di...

Δ5. Έστω η μεταβλητή $Χ$ που εκφράζει τον αρχικό χρόνο και $Y$ οι νέες τιμές. Συνεπώς $\displaystyle{Y=X+80%X=X+0,8X=1,8X}$. Από εφαρμογή του σχολικού βιβλίου έχουμε ότι: $\displaystyle{\bar{y}=1,8\bar{x}}$ και $\displaystyle{s_y=|1,8|s =1,8s}$, οπότε ο αντίστοιχος συντελεστής μεταβολής είναι: $\di...

Αφού έχει πραγματικές ρίζες είναι $16-4b\geq 0$ , δηλαδή $-4,5\leq b\leq 4$ . Οι ρίζες είναι οι $x=-2-\sqrt{4-b} , x=-2+\sqrt{4-b}$ . Μεγαλύτερη είναι ασφαλώς η $x=-2+\sqrt{4-b}$ . Επομένως παίρνοντας το πενταπλάσιο της μεγαλύτερης βρίσκουμε το μέγιστο $S$ , όμοια το ελάχιστο . Το μέγιστο επιτυγχάν...

Έστω η με Αν οι πραγματικοί αριθμοί είναι ρίζες της , να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος .

Όπου το ευθύγραμμο τμήμα αναπαριστά τη παράγωγο

Σας ευχαριστώ πολύ.
Αυτά είχα βρει και εγώ , αλλά σα να μη μου ταίριαζαν.

Καλησπέρα σε όλους,
Γνωρίζει κάποιος από εσάς ποια είναι η απόδοση στα Ελληνικά του όρου numeral;
Στα Αγγλικά , γίνεται η εξής διαχώριση : the number is an idea , the numeral is how we write it.
Ευχαριστώ.

Έστω τα σημεία . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι τ.μ , του τριγώνου είναι τ.μ ενώ του τριγώνου
, τ.μ . Είναι τα σημεία συνευθειακά ;

Bonus: Το άθροισμα και το γινόμενο δύο ρητών αριθμών $\displaystyle{x,y}$ είναι φυσικοί αριθμοί. Είναι απαραίτητα οι $\displaystyle{x,y}$ φυσικοί; Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν ρητοί μη φυσικοί αριθμοί $x,y$ τέτοιοι ώστε $x+y = p$ και $xy = q$ όπου $p,q$ φυσικοί αριθμοί . Τότε θα ισχύει $y^2 - py + q ...

Μπορείτε να εξηγήσετε, γιατί προκύπτει το $-1$. Προσωπικά, μέσω τετραγωνισμού βγάζω ακριβώς αυτή τη σχέση που έχω δώσει. Ευχαριστώ. Aν θέσεις $z = a + bi$ τότε από την πρώτη σχέση έχεις $a^2 = 2b - 1$ . Η τελευταία σου σχέση δίνει $(b-1)^2 = a^2 + b^2 + 2$ δηλαδή $a^2 = -2b- 1$. Άρα πρέπει να τοποθ...

Μπορείτε να εξηγήσετε, γιατί προκύπτει το $-1$. Προσωπικά, μέσω τετραγωνισμού βγάζω ακριβώς αυτή τη σχέση που έχω δώσει. Ευχαριστώ. Aν θέσεις $z = a + bi$ τότε από την πρώτη σχέση έχεις $a^2 = 2b - 1$ . Η τελευταία σου σχέση δίνει $(b-1)^2 = a^2 + b^2 + 2$ δηλαδή $a^2 = -2b- 1$. Άρα πρέπει να τοποθ...

'Ασκηση 41 Να εξεταστεί αν είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο $[0,2]$ η συνάρτηση $f$ με $f(x) = 1$ αν $x=\frac{1}{k}$ για κάποιον $k\in\mathbb{N}$ και $f(x) = 0$ αλλιώς .Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στην περίπτωση που είναι Riemann ολοκληρώσιμη . Δε βλέπω το λόγο να μην είναι αφού έχει ένα μόνο σημείο...

'Ασκηση 41 Να εξεταστεί αν είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο $[0,2]$ η συνάρτηση $f$ με $f(x) = 1$ αν $x=\frac{1}{k}$ για κάποιον $k\in\mathbb{N}$ και $f(x) = 0$ αλλιώς .Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στην περίπτωση που είναι Riemann ολοκληρώσιμη . Δε βλέπω το λόγο να μην είναι αφού είναι φραγμένη. Το ο...

'Ασκηση 41
Να εξεταστεί αν είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο η συνάρτηση με αν για κάποιον και αλλιώς .Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στην περίπτωση που είναι Riemann ολοκληρώσιμη .

Έστω η οποία είναι γνήσια κυρτή και δεν έχει τοπικό ελάχιστο . Να δειχθεί ότι αν τότε η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση .