Η τρίτη καθετότητα.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ οι κάθετες στα άκρα $A , C$ των $BA , BC$ , αντίστοιχα τέμνονται στο $D$ .
Σημείο $S$ κινείται στην $AC$ . Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο $BPSQ$ . Δείξτε ότι : $DS \perp PQ$.
$\bullet$ Δια του σημείου $S$ φέρνουμε τις κάθετες ευθείες επί των $SQ, SP ...

Δεν είμαι καλά εξοικειωμένος με την Αντιστροφή, αλλά το σχήμα προσφέρεται για τέτοια προσέγγιση.

Πράγματι, από τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle DAB, \vartriangle DAC,$ με $DP\perp AB$ και $DQ\perp AC$ έχουμε

$(AP)(AB) = (AD)^{2} = (AQ)(AC) \ \ ,(1)$

Από $(1)$ προκύπτει ότι η ευθεία $BC$ είναι η ...

Σταθερό σημείο.pngΜεταβλητός κύκλος, διερχόμενος από τα σημεία $A , S$ τέμνει την κάθετη της $AS$ στο $D$ , στα σημεία $B , C$. Ονομάζουμε $P , Q$ τις προβολές του $D$ στις $AB , AC$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι το σημείο τομής των $AD , PQ$ , είναι σταθερό .
Θεωρούμε τον σταθερό κύκλο έστω $(K)$ με ...

Καλημέρα σε όλους. Κάτι μου θυμίζει αυτή η πρόταση...

Βάζω το σχήμα με αντιγραφή επικόλληση από την σελίδα του Σωτήρη Γκουντουβά "Γεωμετρικές Διαδρομές". Κώστας Βήττας.

Από σημείο $X$ του επιπέδου ενός τριγώνου $ABC$ φέρουμε παράλληλη προς την $AB$ που τέμνει τις $AC$ και $BC$ στα σημεία $D$ και $P$ αντίστοιχα, και στη συνέχεια παράλληλη προς την $AC$ που τέμνει τις $AB$ και $BC$ στα σημεία $E$ και $Q$ αντίστοιχα. Έστω $KL$ η διάκεντρος των περιγεγραμμένων κύκλων ...

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:... άρα συνεπώς ...

Πάντα υπάρχει μία συνθετική λύση από το "Βιβλίο", αρκεί να είσαι ο Μιχάλης Τσουρακάκης να την δεις.

Κώστας Βήττας.

Τριγωνική ισοδυναμία.pngΣε σημείο $S$ ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της $AB$ στο σημείο $P$ και την κάθετη της $AB$ στο $A$ , στο σημείο $T$ . Για ποια θέση του $S$ τα τρίγωνα $AST$ και $BSP$ είναι ισεμβαδικά ;
Έστω ότι έχει βρεθεί το σημείο $S\in (O ...

Το τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ , τα ύψη του $AD , BE$ τέμνονται στο $H$ και το $M$ είναι το μέσο της $BC$ . Η κάθετη του $HM$ στο $M$ , τέμνει την $BC$ στο $S$ . Δείξτε ότι : $\phi=\theta$
Έστω τα σημεία $F\equiv AB\cap CH$ και $T\equiv BC\cap MO$ και ας είναι $N,$ το μέσον ...

ΛΗΜΜΑ 2. Δινεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $D, E, F,$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του $(I),$ στις πλευρές $BC, AC, AB,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι $\angle BKD=\angle CKD,$ όπου $K$ είναι η προβολή του σημείου $D,$ επί της ευθεία $EF.$
f=185 t=79114 (b).PNG
$\bullet$ Είναι ...

ΛΗΜΜΑ 1. Δινεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $D, E, F,$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του $(I),$ στις πλευρές $BC, AC, AB,$ αντιστοίχως. Έστω $K,$ η προβολή του σημείου $D$ επί της ευθείας $EF$ και έστω τα σημεία $L\equiv AB\cap KI$ και $P\equiv AC\cap KI,$ με $I$ το κέντρο του ...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με έγκυκλο $(I)$ που εφάπτεται στις πλευρές του $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$ αντίστοιχα και $K$ η προβολή του $D$ στην $EF.$ Η συμμετρική της $KI$ ως προς $EF$ τέμνει την $AC$ στο $M,$ οι ευθείες $MK,AB$ τέμνονται στο $N,$ και οι εκ των $M,N$ κάθετες στις ...

ΛΗΜΜΑ. Δίνεται τετράπλευρο $AXZY$ με την διαγώνιά του $AZ$ να είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle XAY.$ Οι δια του σημείου $A$ κάθετες ευθείες επί των $AY, AX,$ τέμνουν τις $XZ, YZ$ στα σημεία $B, D,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι το σημείο έστω $O\equiv BY\cap DX$ ανήκει στην ευθεία $AZ$ και ότι ...

To τετράπλευρο $ABCD$ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O.$ Οι κάθετες από το $A$ στις $AD, AB$ τέμνουν τις $DO, BO$ στα $M, N$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle AC \bot MN.$
Τυχαία έπεσα σ' αυτό το ενδιαφέρον θέμα πρόσφατα και δίνω μία άλλη προσέγγιση για τον ενδιαφερόμενο αναγνώστη ...

Μετά από προσπάθεια αιώνων λύθηκε το πρόβλημα της κατασκευής της γωνίας των $20$ μοιρών.
$\bullet$ Στην πραγματικότητα μιλάμε για την προσεγγιστική γεωμετρική κατασκευή του κανονικού εννεαγώνου. ( $360^{o}=9\cdot 40^{o}$ )

Δείτε στο συνημμένο αρχείο μία καλύτερη προσέγγιση (δεν είναι ...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και $E,F$ σημεία στις πλευρές του $AC,AB$ αντίστοιχα$,$ τέτοια ώστε η ευθεία $EF$ να διέρχεται από το ορθόκεντρο $H$ του $\vartriangle ABC,$ κι ας είναι $HX \perp EF(X\in BC).$ Η ευθεία $AH$ επανατέμνει τον κύκλο $(ABC)$ στο σημείο $A',$ η ευθεία $A'X ...

ΛΗΜΜΑ. Με κέντρο το μέσον έστω $Y,$ του τόξου $\overset\frown {BC},$ του περίκυκλου $(O)$ δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC,$ που περιέχει το σημείο $A,$ γράφουμε τον κύκλο $(Y)$ με ακτίνα $YA,$ ο οποίος τέμνει τις ευθείες $AC, AB$ στα σημεία $P, Q,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι $CP= AB$ και $BQ ...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC(AB<AC)$ και $P,Q$ σημεία στις $BA,CA$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε $BP=AC$ και $CQ=AB$ και έστω $B_1,C_1$ οι προβολές των $B,C$ στην ευθεία $PQ,$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το ένα εκ των σημείων τομής των κύκλων $(BC_1P),(QB_1C)$ ανήκει στην εξωτερική διχοτόμο ...

Επιτρέψτε μου δύο σχόλια στην αμέσως προηγούμενη όμορφη απόδειξη του Γιάννη (#9).

$\bullet$ Εάν θέλει κάποιος να μην αναφερθεί στην σπειροειδή ομοιότητα ( η οποία βέβαια, είναι μία ωραία άσκηση του νου για τον αναγνώστη, στην διαδικασία επαλήθευσης μιας απόδειξης), μπορεί να τεκμηριώσει την ...

Έστω $S$ τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ και $D$ η προβολή του στη διάμετρο. Οι εφαπτόμενες του ημικυκλίου στα $A, B$ τέμνουν τις $BS, AS$ στα $P, Q.$ Αν $M$ είναι το μέσο του $SD,$ να δείξετε ότι $OM\bot PQ.$
Είναι ωραίο πράγμα όταν συμβεί, το να σου κατεβάσει η κούτρα, απλή απόδειξη ...

Έστω $S$ τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ και $D$ η προβολή του στη διάμετρο. Οι εφαπτόμενες του ημικυκλίου στα $A, B$ τέμνουν τις $BS, AS$ στα $P, Q.$ Αν $M$ είναι το μέσο του $SD,$ να δείξετε ότι $OM\bot PQ.$
$\bullet$ Έστω τα σημεία $K\equiv AP\cap BM$ και $L\equiv BQ\cap AM,$ ως τα ...