ΛΗΜΜΑ. Δίνονται δύο κύκλοι $(K),\ (L),$ τεμνόμενοι στα σημεία $A,\ B.$ Η εφαπτομένη του κύκλου $(K)$ στο σημείο $A$ τέμνει τον κύκλο $(L)$ στο σημείο $C$ και η εφαπτομένη του κύκλου $(L)$ στο σημείο $B$ τέμνει τον κύκλο $(K)$ στο σημείο $D.$ Αποδείξτε ότι $AD\parallel BC.$
t=79776 (b).PNG ...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\omega$ και έστω $\ell$ η εφαπτομένη του κύκλου $\omega$ στο $A$. Έστω $P$, $Q$ σημεία της $\ell$ τέτοια, ώστε $AP=AQ$. Από τα σημεία $P$ και $Q$ θεωρούμε τις τέμνουσες $\overline{PTB}$ και $\overline{QSC}$ του κύκλου $\omega$. Από το σημείο $A$ φέρουμε ...

Δίνεται τετράπλευρο $ABCD$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ και έστω τα σημεία $P\equiv AB\cap CD$ και $Q\equiv BC\cap AD$ και $R\equiv AC\cap BD$ και ας είναι $M,$ τυχόν σημείο επί της ευθείας $PQ.$ Η ευθεία $RM$ τέμνει τον κύκλο $(O)$ στα σημεία ${\color{black}L,\ J}$ και ας είναι το $L$ μεταξύ των $A ...

Επιπρόσθετο ερώτημα για κύριο Κώστα
W \equiv DM \cap AC
Y \equiv MC \cap (O)(Y\neq C)
X \equiv BM \cap (O)(X \neq B)
Δείξτε ότι οι ευθείες RY,SW,BM συντρέχουν.
Το επιπρόσθετο ερώτημα ισχύει για τυχόν σημείο $M$ επι της ευθείας $PQ$ και όχι απαραίτητα για το μέσον του τμήματος $PQ$ και ...

Έστω ABCD εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο \Gamma με P\equiv AB \cap CD και Q \equiv AD \cap BC κι ας είναι R \equiv AC \cap BD , M το μέσο του τμήματος PQ και J η τομή του τμήματος RM με τον κύκλο \Gamma. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι (JPQ) και \Gamma εφάπτονται.
$\bullet$ Έστω το σημείο $S\equiv ...

Αν $S$ είναι το ζητούμενο σημείο της παραπάνω άσκησης και $O$ το περίκεντρο του τριγώνου, να αποδείξετε ότι $SO\bot CE.$
Επαναφορά γι' αυτό το ερώτημα, επειδή μάλλον... παράπεσε.
Καλό!

$\bullet$ Έστω $I$ το έγκεντρο του δοσμένου ισοασκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC$ και έστω το σημείο $K ...

Δεν είναι απαραίτητο να ισχύει

Το ημικύκλιο με διάμετρο τέμνει το ημικύκλιο με διάμετρο στο σημείο έστω

Η ευθεία τώρα, τέμνει την ευθεία στο ζητούμενο σημείο

Με τους χαιρετισμούς μου σε όλη την κοινότητα του .

Κώστας Βήττας

Η τρίτη καθετότητα.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ οι κάθετες στα άκρα $A , C$ των $BA , BC$ , αντίστοιχα τέμνονται στο $D$ .
Σημείο $S$ κινείται στην $AC$ . Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο $BPSQ$ . Δείξτε ότι : $DS \perp PQ$.
$\bullet$ Δια του σημείου $S$ φέρνουμε τις κάθετες ευθείες επί των $SQ, SP ...

Δεν είμαι καλά εξοικειωμένος με την Αντιστροφή, αλλά το σχήμα προσφέρεται για τέτοια προσέγγιση.

Πράγματι, από τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle DAB, \vartriangle DAC,$ με $DP\perp AB$ και $DQ\perp AC$ έχουμε

$(AP)(AB) = (AD)^{2} = (AQ)(AC) \ \ ,(1)$

Από $(1)$ προκύπτει ότι η ευθεία $BC$ είναι η ...

Σταθερό σημείο.pngΜεταβλητός κύκλος, διερχόμενος από τα σημεία $A , S$ τέμνει την κάθετη της $AS$ στο $D$ , στα σημεία $B , C$. Ονομάζουμε $P , Q$ τις προβολές του $D$ στις $AB , AC$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι το σημείο τομής των $AD , PQ$ , είναι σταθερό .
Θεωρούμε τον σταθερό κύκλο έστω $(K)$ με ...

Καλημέρα σε όλους. Κάτι μου θυμίζει αυτή η πρόταση...

Βάζω το σχήμα με αντιγραφή επικόλληση από την σελίδα του Σωτήρη Γκουντουβά "Γεωμετρικές Διαδρομές". Κώστας Βήττας.

Από σημείο $X$ του επιπέδου ενός τριγώνου $ABC$ φέρουμε παράλληλη προς την $AB$ που τέμνει τις $AC$ και $BC$ στα σημεία $D$ και $P$ αντίστοιχα, και στη συνέχεια παράλληλη προς την $AC$ που τέμνει τις $AB$ και $BC$ στα σημεία $E$ και $Q$ αντίστοιχα. Έστω $KL$ η διάκεντρος των περιγεγραμμένων κύκλων ...

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:... άρα συνεπώς ...

Πάντα υπάρχει μία συνθετική λύση από το "Βιβλίο", αρκεί να είσαι ο Μιχάλης Τσουρακάκης να την δεις.

Κώστας Βήττας.

Τριγωνική ισοδυναμία.pngΣε σημείο $S$ ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της $AB$ στο σημείο $P$ και την κάθετη της $AB$ στο $A$ , στο σημείο $T$ . Για ποια θέση του $S$ τα τρίγωνα $AST$ και $BSP$ είναι ισεμβαδικά ;
Έστω ότι έχει βρεθεί το σημείο $S\in (O ...

Το τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ , τα ύψη του $AD , BE$ τέμνονται στο $H$ και το $M$ είναι το μέσο της $BC$ . Η κάθετη του $HM$ στο $M$ , τέμνει την $BC$ στο $S$ . Δείξτε ότι : $\phi=\theta$
Έστω τα σημεία $F\equiv AB\cap CH$ και $T\equiv BC\cap MO$ και ας είναι $N,$ το μέσον ...

ΛΗΜΜΑ 2. Δινεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $D, E, F,$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του $(I),$ στις πλευρές $BC, AC, AB,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι $\angle BKD=\angle CKD,$ όπου $K$ είναι η προβολή του σημείου $D,$ επί της ευθεία $EF.$
f=185 t=79114 (b).PNG
$\bullet$ Είναι ...

ΛΗΜΜΑ 1. Δινεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $D, E, F,$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του $(I),$ στις πλευρές $BC, AC, AB,$ αντιστοίχως. Έστω $K,$ η προβολή του σημείου $D$ επί της ευθείας $EF$ και έστω τα σημεία $L\equiv AB\cap KI$ και $P\equiv AC\cap KI,$ με $I$ το κέντρο του ...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με έγκυκλο $(I)$ που εφάπτεται στις πλευρές του $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$ αντίστοιχα και $K$ η προβολή του $D$ στην $EF.$ Η συμμετρική της $KI$ ως προς $EF$ τέμνει την $AC$ στο $M,$ οι ευθείες $MK,AB$ τέμνονται στο $N,$ και οι εκ των $M,N$ κάθετες στις ...

ΛΗΜΜΑ. Δίνεται τετράπλευρο $AXZY$ με την διαγώνιά του $AZ$ να είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle XAY.$ Οι δια του σημείου $A$ κάθετες ευθείες επί των $AY, AX,$ τέμνουν τις $XZ, YZ$ στα σημεία $B, D,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι το σημείο έστω $O\equiv BY\cap DX$ ανήκει στην ευθεία $AZ$ και ότι ...

To τετράπλευρο $ABCD$ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O.$ Οι κάθετες από το $A$ στις $AD, AB$ τέμνουν τις $DO, BO$ στα $M, N$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle AC \bot MN.$
Τυχαία έπεσα σ' αυτό το ενδιαφέρον θέμα πρόσφατα και δίνω μία άλλη προσέγγιση για τον ενδιαφερόμενο αναγνώστη ...