Η αναζήτηση βρήκε 1982 εγγραφές

από vittasko
Τετ Φεβ 05, 2020 1:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Θεώρημα - Τύπος του Euler
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 2300

Re: Θεώρημα - Τύπος του Euler

Δεν υπάρχει συνημμένο ή εγώ δεν το βλέπω στον υπολογιστή μου;

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Κυρ Φεβ 02, 2020 11:45 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ο στριμωγμένος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 282

Re: Ο στριμωγμένος

Δείτε Εδώ μία παλιότερη συζήτηση για το ίδιο πρόβλημα ( υπολογισμός της ακτίνας r και κατασκευή του του κύκλου (L) ).

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Πέμ Ιαν 30, 2020 1:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 323

Re: Καθετότητα

$\bullet$ Προσδιορίζουμε το σημείο $M$ της εκφώνησης, ως την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $EBLM$, όπου $L$ είναι το μέσον της πλευράς $BC$ του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$. Tα $E,\ F$, προσδιορίζονται ως τα σημεία τομής των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, από την δια του σημείου $G$ κάθετη ευθ...
από vittasko
Σάβ Ιαν 25, 2020 2:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ισογώνιες ευθείες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 203

Re: Ισογώνιες ευθείες

...Το παραπάνω πρόβλημα αποτελεί Λήμμα στο άρθρο " Asupra Problemei M.2482 din revista Kvant" , Ion Patrascu. Η λύση που υπάρχει στο άρθρο στην ως άνω παραπομπή, είναι ίδια με αυτήν που έδωσα πιο πάνω. Όπως έχω πει με άλλη ευκαιρία, δεν μειώνεται η ικανοποίηση του λύτη όταν σκαρφίζεται γνωστή (τελι...
από vittasko
Σάβ Ιαν 25, 2020 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ισογώνιες ευθείες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 203

Re: Ισογώνιες ευθείες

Χρησιμοποιώ το σχήμα του Πρόδρομου πιο πάνω. $\bullet$ Έστω το σημείο $Z\equiv (O)\cap EL'$, όπου $(O)$ είναι ο περίκυκλος του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$. Με $E'\equiv (O)\cap AL$, από $EE'\parallel BC$ ( λόγω $\angle BAE = \angle CAE'$ ) και $ML = ML'\Rightarrow$ $AZ\parallel BC\ \ \ (1)$...
από vittasko
Σάβ Ιαν 25, 2020 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 455

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.

ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AD$ το ύψος του και ας είναι $E,\ F$, τυχόντα σημεία επί των πλευρών του $AC,\ AB$ αντιστοίχως, ώστε να είναι $\angle EDF = 90^{o}$. Ο περίκυκλος έστω $(K)$ του τριγώνου $\vartriangle DE F$, τέμνει την $BC$ στο σημείο $Z$ και ας είναι $S$, η προβολή...
από vittasko
Παρ Ιαν 24, 2020 10:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 455

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.

ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AD,\ BE,\ CF$ τα ύψη του και ας είναι $P$, η προβολή του $A$ επί της $EF$. Έστω τα τυχόντα σημεία $X\in AF$ και $Y\in AE$ ώστε να είναι $\angle XPY = 90^{o}$ και έστω $Q$, το σημείο τομής της $EF$ από τον περίκυκλο $(K)$ του τριγώνου $\vartriangle P...
από vittasko
Παρ Ιαν 24, 2020 7:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 455

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.

$\bullet$ Οι δια των σημείων $B,\ C$ κάθετες ευθείες επί των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, τέμνονται στο σημείο έστω $H$ και έστω τα σημεία $L\equiv AB\cap CH$ και $N\equiv AC\cap BH$. Το σημείο $H$ ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ALN$ ( προφανές ) και έστω τα σημεία $M\equiv LN\cap ...
από vittasko
Πέμ Ιαν 23, 2020 2:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 503

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).

Ευκαιρία με αυτήν την ξεχασμένη, να μειώσω κατά μία έστω τις παλιές οφειλές μου στο :logo: . $\bullet$ Έστω τα σημεία $P,\ Q$, τα σημεία επί της ευθείας $BC$ ώστε να είναι $AP\parallel DF$ και $AQ\parallel DE$ και ας είναι $Z$, το σημείο ώστε το $APZQ$ να είναι παραλληλόγραμμο. Έστω τα σημεία $K\equ...
από vittasko
Τετ Ιαν 22, 2020 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανορθόδοξη ορθότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 232

Re: Ανορθόδοξη ορθότητα

Στην πραγματικότητα έχουμε το σχήμα ενός τριγώνου με τον εγγεγραμμένο κύκλο του. $\bullet$ Έστω $E$, το σημείο επαφής του κύκλου $(K)$ στην ευθεία $A'B'$ και ας είναι $Z$, η προβολή του $E$ επί της ευθείας $KS$. Η ευθεία $EZ$ ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου $S$ ως προς τον κύκλο $(K)$ κα...
από vittasko
Σάβ Ιαν 18, 2020 2:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 6735

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

min## έγραψε:
Σάβ Ιαν 18, 2020 12:55 pm
Βρε άνθρωποι,χαλαρά :lol: .
Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα) :)
Καλό! :coolspeak:

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Τετ Ιαν 15, 2020 12:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Απρόσμενη καθετότητα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 687

Re: Απρόσμενη καθετότητα

Ας δούμε μία άλλη απόδειξη της γενίκευσης, βασισμένη στο αποτέλεσμα της καθετότητας για την περίπτωση του ορθόκεντρου $H$ του $\vartriangle ABC$ ( αρχικό πρόβλημα ). $\bullet$ Έστω $K\in AH$ τυχόν σημείο και $L\in AO$ το ισογώνιο σημείο του $K$ ως προς το $\vartriangle ABC$ και έστω τα σημεία $M\equ...
από vittasko
Σάβ Ιαν 11, 2020 1:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διχοτόμηση από παραλληλία.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 291

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

Αλλιώς, στο σχήμα του Στάθη. Ορίζουμε το σημείο $F$, ως το συμμετρικό του $E$ ως προς το $N$ και ας είναι $K$ το κοινό μέσον των $DC,\ BE$. Τότε, από $DZ\parallel KN\parallel BF$, στα ομοιόθετα τρίγωνα $\vartiangle BEF,\ \vartriangle DEZ$, η ευθεία $DM$ είναι διάμεσος στο $\vartriangle DEZ$, ως ομόλ...
από vittasko
Σάβ Ιαν 11, 2020 1:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά από παραλληλίες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 234

Re: Συνευθειακά από παραλληλίες

Είναι και άμεση εφαρμογή ενός χρήσιμου Λήμματος που έχουμε δει αρκετές φορές στο :logo: . Πράγματι, εάν θεωρήσουμε το τραπέζιο $ACFE$ με $AE\parallel CF$ και το σημείο $B\in AC$, τότε το σημείο $D$, τομής των δια των σημείων $A,\ C$ παραλλήλων ευθειών προς τις $BF,\ BE$ αντιστοίχως, ανήκει στην $EF$...
από vittasko
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:09 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 455

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.

Δίδω μόνο την απάντηση. Αν $O$ το περίκεντρο του τριγώνου $ABC$ και $B'$ το συμμετρικό του $B$ ως προς την ευθεία $AO$ τότε το σταθερό σημείο , έστω $G$, είναι η τομή των ευθειών : $AO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B'C$. Με άλλα λόγια, το σταθερό σημείο από το οποίο περνάει η μεταβλητή ευθεία $ST$ ( τ...
από vittasko
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διχοτόμηση από παραλληλία.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 291

Διχοτόμηση από παραλληλία.

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $N$ το μέσον της πλευράς του $AC$ και $D$, τυχόν σημείο επί της $BC$. Στην προέκταση της $BC$ προς το μέρος του $C$ λαμβάνουμε σημείο $E$ ώστε να είναι $CE = BD$ και ας είναι $M$, το σημείο επί της $EN$ ώστε να είναι $DM\parallel BN$. Αποδείξτε ότι $EM = ...
από vittasko
Πέμ Ιαν 09, 2020 4:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 455

Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AD$ το ύψος του και ας είναι $E,\ F$, τυχόντα σημεία επί των πλευρών του $AC,\ AB$ αντιστοίχως, ώστε να είναι $\angle EDF = 90^{o}$. Ο περίκυκλος έστω $(K)$ του τριγώνου $\vartriangle D EF$ τέμνει την $BC$ στο σημείο $Z$ και έστω $P,\ Q$, οι προβολές του σημεί...
από vittasko
Κυρ Δεκ 29, 2019 1:17 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Χριστουγεννιάτικη Ισογωνιότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 380

Re: Χριστουγεννιάτικη Ισογωνιότητα

ΛΗΜΜΑ. Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ και έστω $D$, το μέσον του τόξου $\overset\frown {BC}$ που περιέχει το σημείο $A$. Η ευθεία $DH$ με $H$ το ορθόκεντρο του τριγώνου, τέμνει την διχοτόμο $AZ$ της γωνίας $\angle A$, με $Z\in (O)$, στο σημείο έστω $P$ και ας είναι $...
από vittasko
Κυρ Δεκ 29, 2019 10:06 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Χριστουγεννιάτικη Ισογωνιότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 380

Re: Χριστουγεννιάτικη Ισογωνιότητα

Χαρούμενες γιορτές και καλή χρονιά σε όλους. $\bullet$ Το σημείο $D$ ταυτίζεται με το μέσον του τόξου $\overset\frown{BC}$ που περιέχει το σημείο $A$ και ας είναι $Z$, το μέσον του τόξου, που δεν περιέχει το $A$. Η ευθεία $DH$ τέμνει την διχοτόμο $AZ$ της γωνίας $\angle A$, στο σημείο έστω $P$ και έ...
από vittasko
Τρί Δεκ 24, 2019 11:18 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 11 χρόνια mathematica.gr
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 758

Re: 11 χρόνια mathematica.gr

Χρόνια πολλά σε όλους και κάθε χαρά στις οικογένειές σας για την νέα χρονιά. Για το αγαπημένο μας :logo:, εύχομαι να συνεχίσει για πολλά χρόνια ακόμα, να είναι πηγή γνώσης και έμπνευσης για τους νέους που το εμπλουτίζουν με το ταλέντο τους, αλλά και τους μεγαλύτερους που το απολαμβάνουν καθημερινά. ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση