Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle A = 90^{o}$, με περίκυκλο $(O)$ και έστω $AD$ το ύψος του. Γράφουμε τυχόντα κύκλο $(K)$ με χορδή το τμήμα $BD$ και ας είναι $E,\ F,$ τα σημεία τομής του από τυχούσα ευθεία δια του σημείου $C.$ Αποείξτε ότι $\angle DAE = \angle FAZ,$ όπου $Z\eq...

Σημείο $T$ κινείται σε ημικύκλιο κέντρου $O$ και διαμέτρου $AB=2a.$ Αν $S$ είναι η προβολή του $T$ στη διάμετρο και $M$ το μέσο του $AT,$ α) να εντοπίσετε τη θέση του $S$ ώστε το τετράπλευρο $OMTS$ να είναι αμφιγράψιμο. β) Αν $(K, R), (L, r)$ είναι οι εγγεγραμμένοι κύκλοι του τετραπλεύρου $OMTS$ κα...

Να κατασκευαστεί τετράπλευρο, ώστε να είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο, του οποίου δίνονται τρεις κορυφές. Μία κατασκευή που έρχεται από το παρελθόν, όχι τόσο γνωστή απ' όσο ξέρω. Έστω $(O)$ ο περίκυκλος του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι $BB'$ η διχοτόμος του με $B'\in (O).$ Γράφ...

Δανεισμένη από το διαδίκτυο μία πρόταση σε διασκευή. Δίνονται δύο κύκλοι $(K),\ (L)$ τεμνόμενοι ορθογωνίως και έστω $BC$ μία κοινή εφαπτομένη τους με $B\in (K).$ Φέρνουμε τις εφαπτόμενες $BD,\ CE$ των κύκλων $(L),\ (K)$ αντιστοίχως και έστω το σημείο $A\equiv BD\cap CE.$ Αποδείξτε ότι $AD + AE = BC....

Άλλος ένας τρόπος κατασκευής του σημείου $M,$ βασισμένος στην ισότητα $(MN)^{2} = ab$ στην λύση του Γιώργου πιο πάνω (#2), είναι η εξής : $\bullet$ Έστω τοε σημείο $E\in AB$ ώστε το $EBCD$ να είναι παραλληλόγραμμο $($ $BE = CD = b$ και $AB = a$ $)$ και ας είναι $(K)$ το ημικύκλιο με διάμετρο την πλε...

Θεωρούμε τραπέζιο $ABCD$ με $AB \parallel CD$ και φέρουμε $MN \parallel AB,CD,$ όπου $M \in AD$ και $N \in BC.$ Να εντοπιστεί (με Γεωμετρική κατασκευή ) η θέση του $M$ ώστε να ισχύει και $AN \parallel MC.$ $\bullet$ Έστω ότι έχουν βρεθεί τα σημεία $M,\ N,$ επί των πλευρών $AD,\ BC$ αντιστοίχως, ώστ...

$\bullet$ Αρκεί, ως ισοδύναμο ζητούμενο, να αποδειχθεί ότι ισχύει $AS\equiv AP\ \ \ (1)$ Για τις ευθείες $AT$ ( που περνάει από το ορθόκεντρο του δοσμένου τριγώνου ) και $AO$ ισχύει ως γνωστό $\displaystyle \angle TAS = \frac{\angle B - \angle C }{2} = \angle OAS\ \ \ (2)$ λόγω $AB < AC\Rightarrow$ ...

Με την ευκαιρία της 2222ης ανάρτησής μου ( δεύτερος για μένα, τετραψήφιος αριθμός με όλα τα ψηφία ίδια ). Δίνεται τραπέζιο $ABCD$ με $AD\parallel BC$ και έστω $P,\ Q,$ τυχόντα σημεία στο εσωτερικό του ώστε να είναι $PA\parallel QC$ και $PB\parallel QD$. Απόδείξτε ότι η ευθεία $RT$, όπου $R\equiv AQ\...

Έστω $ABCD$ ένα σταθερό παραλληλόγραμμο με $AB||DC$ και $AD||BC$. Ένα σημείο $E$, διαφορετικό από τα $A,B$, επιλέγεται στην ευθεία $AB$. Έστω $K$ το κέντρο του κύκλου $\left( A,D,E \right)$ και $L$ το κέντρο του $\left( B,C,E \right)$. Αποδείξτε ότι όπου κι αν επιλεγεί το $E$, το μήκος του $KL$ δεν...

Αν $P$ είναι το αρμονικό συζυγές του $T$ ως προς τα $H, A$, τότε οι ευθείες που ορίζονται από τις διαγώνιες $BD, CE$ των πλήρων τετράπλευρων $BMDK.HA, CLEN.HA$ αντίστοιχα διέρχονται από το $P,$ λόγω του βασικού θεωρήματος «κάθε διαγώνιος πλήρους τετράπλευρου διαιρείται αρμονικά από τις άλλες διαγών...

Δείτε Εδώ απόδειξη του ζητούμενου, ως άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Μενελάου.

Κώστας Βήττας

Το ίδιο πρόβλημα πρότεινε αλλού ο Θανάσης Γακόπουλος και είναι ανεξάρτητο από τις σεβιανές $AA',\ BB',\ CC'$. Αναφέρεται μόνο σε τυχόν σημείο $H$ στο εσωτερικό δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ Ο Θανάσης πρότεινε επίσης και μία άλλη επέκταση του προβλήματος της ΕΜΕ. Θα επανέλθω αργότερα με λεπτο...

Χρόνια πολλά σε όλους. Καλή χρονιά, γεμάτη με αγάπη και χαρές στις οικογένειές σας. Υγεία πάνω απ' όλα. Έστω $ABCD\,\,$ ένα τραπέζιο με $AD||BC\,\,$. Σημείο $M\,\,$ επιλέγεται μέσα στο τραπέζιο και ένα άλλο σημείο $N\,\,$ επιλέγεται μέσα στο τρίγωνο $BMC\,\,$, ώστε $AM||CN\,\,$ και $BM||DN\,\,$. Δεί...

Το παρακάτω στερεό αποτελείται από μια ορθή τετραγωνική πυραμίδα όπου το τετράγωνο της βάσης της έχει πλευρά ίση με 2 κα οι παράπλευρες έδρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Από την πυραμίδα αυτή αφαιρέθηκαν κάποια στοιχεία και απέμειναν από την αρχική πέντε ίσες ορθές τετραγωνικές πυραμίδες με βάση τετρά...

Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Κώστα για τη λύση ! :) Κώστα και λοιποί φίλοι το έχω πει και άλλού, θερμή παράκληση, όταν τουλάχιστον αναφέρεστε σε μένα να χρησιμοποιείτε τον ενικό. Για την ευγένεια που πρέπει να υπάρχει στις σχέσεις μεταξύ των ανθρώπων, δεν αναφέρεται πουθενά ως προαπαιτούμενο ο πληθυντι...

Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο $ABCD$ και $O$ το κέντρο του περίκυκλού του. Οι ευθείες $AB$ και $DC$ τέμνονται στο σημείο $E$ και έστω $F$ το αντιδιαμετρικό του $E$ στον περίκυκλο του τριγώνου $BCE.$ Να δείξετε ότι οι ευθείες $AC$,$BD$ και $OF$ συντρέχουν. Είναι άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος των ανα...

Μιχάλη, ίσως κάποια πληροφορία μπορεί να μας δώσει ο Γιώργος Τσίντσιφας τον οποίο γνωρίζουν προσωπικά και ο Κώστας Δόρτσιος αλλά και ο Ανδρέας Πούλος. Θερμή παράκληση λοιπόν και στους δύο εάν γίνεται, να επικοινωνήσουν μαζί του και εύχομαι να είναι καλά ο άνθρωπος γιατί είναι μεγάλης ηλικίας, ακμαίο...

Δείτε την απάντηση του αγαπητού φίλου Jean-Louis Ayme στο επίμαχο ερώτημα ως προς την ξένη βιβλιογραφία. Ο Jean-Louis είναι εξαιρετικός Γεωμέτρης, υπέρμαχος του συνθετικού τρόπου επίλυσης των γεωμετρικών προβλημάτων και βαθύς γνώστης βιβλιογραφικών αναφορών, τις οποίες συστηματικά περιλαμβάνει στα κ...

Τρείς ίσες σφαίρες κέντρων ${{K}_{1}},\,\,{{K}_{2}},\,\,{{K}_{3}}$ και ακτίνας $x$, βρίσκονται ΕΝΤΟΣ ημισφαιρίου κέντρου $K$ και ακτίνας $R$, εφάπτονται της επιφάνειας του ημισφαιρίου και της βάσης του. Εάν οι παραπάνω ίσες σφαίρες εφάπτονται και μεταξύ τους, να υπολογιστεί η ακτίνα τους. Αλλάζω το...

Μία προσέγγιση χωρίς σχήμα. Γράφουμε τον κύκλο $(K)$ με διάμετρο $AB$ και ας είναι $M,$ ο Νότιος πόλος του. Η ευθεία $CM$ επανατέμνει τον κύκλο $(K)$ στο σημείο έστω $T$. Ο κύκλος έστω $(C),$ με κέντρο το σημείο $C$ και ακτίνα την ίση απόσταση του $C$ από τις ευθείες $AT,\ BT,$ ( γιατί η ευθεία $CTM...