$f(f(x)+xf(y))=3f(x)+4xy$ $(*)$

Έστω $f(a)=f(b) \Rightarrow f(1)+f(a)=f(1)+f(b) \Rightarrow$
$f(f(1)+f(a))=f(f(1)+f(b)) \Rightarrow 3f(1)+4a=3f(1)+4b \Rightarrow a=b$
$\Rightarrow f:1\rightarrow 1$

Aπό $(*)$ για $x=y=-1 \Rightarrow f(0)=3f(-1)+4$ $(1)$

Aπό $(*)$ για $x=0 \Rightarrow f(f(0))=3f(0 ...

Να βρεθούν οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση:



**Αντρέα ευχαριστώ για την έγκαιρη διόρθωση

1.
Η ακολουθία $x_1,x_2,...x_n,...$ ακεραίων αριθμών δίνεται με

$x_1=1$ και $x_{n+1}=x_n+x_{\lceil\frac{n}{2}\rceil}$

NΔΟ 4$\nmid$ $x_i \forall i=1,2,...,n,...$

2.
Να λύσετε στους πρώτους αριθμούς την εξίσωση
$xyz+1=2^{y^2+1}$

3.
Έστω {${a_n}$} η ακολουθία με $a_1=0$ και $a_{n+1}=a_n+2$ για ...

ΝΔΟ

χαχαχα!!τον είχα πάρει τηλέφωνο πάντως να δω που την βρήκε και λέει έπεσε σε διαγωνισμό της Σιγκαπούρης για τα δημοτικά!!γι' αυτό έψαχνα εύκολη λύση εκτός τριγωνομετρίας!τα υπόλοιπα θέματα πάντως ήταν νορμάλ!!

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας!Την άσκηση αυτή όμως πρέπει να την εξηγήσω σ' ένα μικρό 6 δημοτικού και δεν ξέρω ποια λύση σκεφτήκανε εκείνοι που του την θέσανε!

Έστω σημείο στο εσωτερικο ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, με την γωνία ορθή, τέτοιο ώστε
Να βρείτε τη γωνία .

Όμοια
Έστω ότι δεν υπάρχει τέτοιο α
άτοπο!

$a=x+y, b=y+w, c=x+w$
$\displaystyle{\sum {\frac{a}{{\sqrt {a + 2b + 2c} }}} = \sum {\frac{{x + y}}{{\sqrt {4w + 3x + 3y} }}} \le \sum {\frac{{x + y}}{{\sqrt {3(w + x + y)} }}} = \frac{{2(x + y + w)}}{{\sqrt {3(x + y + w)} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt {x + y + w} = \sqrt {\frac{{4(x + y + w)}}{3 ...

άτοπο!

δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις.

$(x+y)f(y)+yf(f(x))=(2x+y)f(f(y))$ $(1)$

Έστω $f(a)=f(b)$

$\displaystyle{ \Rightarrow }f(f(a))=f(f(b))$

$\displaystyle{ \Rightarrow }yf(f(a))=yf(f(b))$

$(1)$$\displaystyle{ \Rightarrow }$ $(2a+y)f(f(y))-(a+y)f(y)=(2b+y)f(f(y))-(b+y)f(y)$

$\displaystyle{ \Rightarrow }$$(a-b)(2f(f(y))-f(y))=0 ...

Από το Θ.Μενελάου στο τρίγωνο $ABC$ με διατέμνουσες τις $\displaystyle{{A_2}{A_1}A'}$, $\displaystyle{{B_2}{B_1}B'}$ και $\displaystyle{{C_2}{C_1}C'}$ παίρνουμε αντίστοιχα:

$\displaystyle{\left( {\frac{{BA'}}{{A'C}}} \right)\left( {\frac{{C{A_2}}}{{{A_2}A}}} \right)\left( {\frac{{A{A_1}}}{{{A_1}B ...

Δίνεται $ABCD$ τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $O$ και έστω $\displaystyle{P \equiv AC \cap BD}$. Οι ημιευθείες $AB$ και $DC$ τέμνονται στο $E$, $AD \nparallel BC$. Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $EBC$ με κέντρο $I$ εφάπτεται της $BC$ στο σημείο $M$, ενώ ο παρεγγεγραμμένος κύκλος ...

$ABCD$ κυρτό τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο $O$ με $AB \nparallel CD, BC \nparallel DA$. $\displaystyle{P \equiv AC \cap BD}$ και $Q$ είναι ένα σημείο μέσα στο $ABCD$ τέτοιο ώστε:
$\displaystyle{\angle QAB + \angle QCB = \angle QBC + \angle QDC = {90^ \circ }}$
ΝΔΟ: $O,P,Q,$ είναι ...

κυρτό τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο . , και
ΝΔΟ: και όπου το σημείο Μiquel.

Ναι κ.Κωστα έχεται δίκαιο, η αλήθεια δεν το πρόσεξα επείδη με παραξένεψε πολύ το δεύτερο μέρος...θα το κοιτάξω τότε καλύτερα και αν μπορέσω θα συμπληρώσω..

Ευθύ

Η μεσοκάθετος της χορδης $A_1A_2$ είναι η κάθετη από το κεντρο $H$ του κύκλου στο τμήμα αυτό. Όμως αφού $BC\parallel ZE$, η μεσοκάθετος του τμήματος $A_1A_2$ είναι κάθετη και στη $BC$. H κάθετη από το $H$ στην $BC$ όμως είναι το ύψος από την κορυφή $A$ ... έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως ...

Από το Θ.Μενελάου αρκεί $\displaystyle{\frac{{BQ}}{{QA}} \times \frac{{AF}}{{FD}} \times \frac{{DN}}{{NB}} = 1}$

πάλι απ' το Θ.Μενελάου με διατέμνουσα την:

ΕΜΝ στο τρίγ. BCD έχουμε $\displaystyle{\left( {\frac{{DN}}{{NB}}} \right) \times \frac{{BM}}{{MC}} \times \frac{{CE}}{{ED}} = 1}$ (1)

QPC ...

αν f(x) σταθερή τότε f(x)=0

y=1 τότε xf(1)+f(x)=(x+1)f(x)-xf(x+1) ή x[f(x+1)+f(1)-f(x)]=0

για x0 έχουμε f(x+1)-f(x)=-f(1)

έτσι μπορούμε(??) να συμπεράνουμε πως f(x)=ax+b και με αντικατάσταση στις σχέσεις να βρούμε ότι a=-f(1) και b=2f(1)

Άρα τελικά f(x)=(2-x)f(1)

Δίνεται η ακολουθία $a_n$ με ακέραιους όρους και με αναδρομικό τύπο: $\displaystyle{{a_{n + 2}} = \frac{p}{q}{a_{n + 1}} - {a_n}}$ $\displaystyle{\forall n \ge 1}$ με $\displaystyle{{a_1} = \alpha }$, $\displaystyle{{a_2} = \beta }$ $\displaystyle{\alpha ,\beta \in }$Z και (p,q)=1
Νδο κάθε όρος της ...