Μία μικρή τροποποίηση στην παραπάνω λύση (κρατώντας τον ίδιο συμβολισμό):
Από τύπους Vieta, $h_1+h_2+h_3=6(\Rightarrow{h_1'+h_2'+h_3'=0)}$ και με αλλαγή μεταβλητής ($x=h_i(y)$) στα 3 επιμέρους διαστήματα έχουμε
$\displaystyle{\int_{0}^4f(x(x-3)^2) \mathrm{d} x}-2\int_{1}^{3}f(x(x-3)^2)\mathrm{d}x ...

Για το α): $14=3^2+2^2+1^2$, $18=4^2+1^2+1^2$ και $14*18=252=4*63$, που από το 2) δεν γράφεται ως άθροισμα τριών τετραγώνων.

Για το β): Αν $a^2=4^l(8k+7)$, έχουμε $(4,8k+7)=1$, άρα οι αριθμοί $4^l,8k+7$ είναι τέλεια τετράγωνα, άτοπο, αφού δεν υπάρχει τετράγωνο $7 (mod 8)$.

Η ταυτότητα που ζητάμε ...

Θα ήθελα να γράψω κάποιοες σκέψεις που έκανα με τον κύριο Χρήστο Πατήλα σχετικά με την ύπαρξη των $x_i$ που να ικανοποιούν το Δ θέμα. Μας προβλημάτισε το γεγονός κατά πόσο είναι δυνατό η μέση τιμή να είναι 8, η τυπική απόκλιση 2 και οι αριθμοί να περιορίζονται στο $[5,9]$. Στην προσπάθεια αυτή ...

viewtopic.php?f=112&t=35435&p=163362&hi ... ar#p163362

Δείτε την προτελευταία ασκηση στο συνημμένο.

1)Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα , αν είναι γνωστό ότι για κάθε πρώτο .
2)Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα , αν είναι γνωστό ότι για κάθε πρώτο .

Μία άσκηση που φτιάξαμε με τα παιδιά της Ελληνικής αποστολής στην BMO σήμερα:
Για ποιους ισχύει ;

Είναι όντως δύσκολο. Μία απόδειξη που έκανα βασίζεται σε τεχνικές που είδα σε ένα παρόμοιο θέμα. Εμφανίζει αρκετές ομοιότητες με αυτήν στο λινκ σου. Νομίζω είναι στοιχειώδης.
http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=37765&p=175386#p175386
Θα γίνει χρήση της άσκησης στον παραπάνω σύνδεσμο ως ...

Ωραίες και οι δύο λύσεις. Νομίζω απλά ότι όσο αφορά την ισότητα, είναι .

Αν και για κάποιο , ν.δ.ο. .
Πότε ισχύει η ισότητα;

Βάζω μία σκέψη σε hide.

Μία ερώτηση που μου προέκυψε σήμερα και νομίζω είχε ενδιαφέρον είναι η εξής: Για ποιους θετικούς ακεραίους είναι το πολυώνυμο αναλύσιμο στο ;

Νομίζω πως η f' ειναι συνεχής. Θα επανέλθω αύριο με μια απόδειξη. Το κλειδί ειναι (ξεφεύγοντας απο τις σχολικές γνώσεις) ότι οι γνήσιως αυξουσες συναρτησεις έχουν μόνο απλές ασυνεχειες, ενώ οι παράγωγοι (απο το θεώρημα Darboux) δεν έχουν απλές ασυνέχειες.

Νομίζω βρήκα μία λίγο διαφορετική λύση. Βάζω μία υπόδειξη και θα επανέλθω με τις λεπτομέρειες.
Δείχνουμε πρώτα ότι $\widehat{AO_BX}+\widehat{ACX}=180$, άρα το $ACXO_B$ είναι εγγράψιμο, οπότε η $AX$ είναι διχοτόμος της $O_BAC$ και $\widehat{O_BXC}+\widehat{O_BAC}=180\Rightarrow{\widehat{O_BBC ...

Είναι , άρα το 1-1 της δίνει . Αν π.χ. , τότε , άτοπο. Άρα η είναι σταθερή και έχει τιμή ή . Από εδώ προκύπτει ή .
Η επαλήθευση των λύσεων είναι πολύ εύκολη.

Ένα πρόβλημα που βρήκα στο ενδιαφέρον "λογοτεχνικό" βιβλίο "Η Υπόθεση Riemann" σε μία υποσημείωση και μου άρεσε αρκετά.

Επιλέγουμε στην τύχη θετικούς ακεραίους. Ποια η πιθανότητα να είναι πρώτοι μεταξύ τους;

Το α) δεν βλέπω πώς μπορεί να δώσει άτοπο. Αν θέλεις γράψε λίγο πιο αναλυτικά το τελείωμα γι' αυτό.
Το πρόβλημα λύνεται και με τετραγωνική αντιστροφή, αλλά ας μείνουμε σε πιο στοιχειώδη μέσα.
Αρκεί να θεωρήσουμε την περίπτωση $(a,b,c)=1$.
Είναι $(a+b+c)^2=(3m+2)(ab+bc+ca)$. Ο $3m+2$ έχει έναν πρώτο ...

Έγινε μία διόρθωση στο τελείωμα.

Ν.δ.ο. για κάθε αρκετά μεγάλο πρώτο υπάρχει πρωταρχική ρίζα με .
Δεν έχω λύση γι' αυτήν.

Νομίζω ότι προκύπτει απευθείας από το λήμμα ($X'$ είναι το αντίστροφο του $X$ ως προς αντιστροφή που έχει κέντρο $S$ και τυχαία ακτίνα): Έστω $ABC$ τρίγωνο και $S$ σημείο στο εσωτερικό του. Αν $K,L,M$ σημεία στις μεσοκαθέτους των $BC,CA,AB$ αντίστοιχα, ώστε τα τετράπλευρα $SKCB,SLCA,SMAB$ να είναι ...