$4!!=2^{22}*3^{10}*5^4*7^3*11^2*13*17*19*23$

$2^{14}<3^{10}<2^{16}$ , ( προκύπτει απο την $2^7<3^5<2^8$ )
$2^9<5^4<2^{10}$
$2^8<7^3<2^9$
$2^6<11^2<2^7$
$2^{16}<13*17*19*23<2^{17}$

Από τις παραπάνω ανισότητες και ύστερα απο πολλαπλασιασμό θα εχω την παρακάτω σχέση

$2^{75}<4!!<2^{81}$

$2^{32*2,34 ...

Συμπλήρωση τετραγώνου







(μόνο θετική λύση )

Προσπαθώντας να βρώ κάποια γενίκευση της άσκησης δεν κατάφερα κάτι με την μορφή που ζητήθηκε οπότε ας μου επιτραπεί να μοιραστώ την παρακάτω ταυτότητα που βρήκα κατά την ενασχόληση μου με τα αθροίσματα δυνάμεων του $9$ για να μην πάει χαμένη.

Αν $a+b+c=0$ τότε

$\boxed{a^9+b^9+c^9-3(abc)^3=9abc(a ...

Παραθέτω την παρακάτω ταυτότητα που ίσως φανεί χρήσιμη σε κάποιον μαθητή η οποία επαληθεύει φυσικά και την άσκηση καθώς και την γνωστή ταυτότητα βαθμού $3$ για να δούμε τις ομοιότητες που υπάρχουν.

$\boxed{(a+b+c)^5=a^5+b^5+c^5+5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}$


$\boxed{(a+b+c)^3=a^3+b^3+c ...

Καλησπέρα Τόλη !

$2a^5=2a^3a^2=2a^3(b+c)^2=2a^3b^2+2a^3c^2+4a^3bc$
Κάνοντας το ίδιο κυκλικά και προσθέτοντας τις 3 ισότητες τελικα θα έχουμε

$2(a^5+b^5+c^5)=4abc(a^2+b^2+c^2)+2a^3b^2+2a^3c^2+2b^3a^2+2b^3c^2+2c^3a^2+2c^3b^2$

Επίσης

$2a^3b^2+2a^3c^2+2b^3a^2+2b^3c^2+2c^3a^2+2c^3b^2=2a^2b^2(a+b ...

Για να παίξω στον $Z[\sqrt{-6}]$ και αφού $(x,y+1)=1$


Ωραία προσέγγιση! Εγώ απλώς θα ήθελα να ρωτήσω πώς δείχνουμε ότι $3\nmid (x, y+2)$; Χρειάζεται για να μπορούμε να δείξουμε ότι $x+(y+1)\sqrt{-6}$ είναι τέλειος κύβος.



Καλησπέρα! Αυτό προκύπτει εύκολα αρκεί να λύσεις την αρχική εξίσωση ...

Καλησπέρα!


Θα την μετασχηματισω σε

Για να παίξω στον και αφού





,

Υ Γ
Είμαι από κινητό .

Το ότι αρνήθηκε το βραβείο fields και το ποσό που το συνοδεύει δείχνει ότι ο επιστήμονας αυτός απέχει παρασάγγας από τις εκάστοτε κοινωνικές νόρμες και ταυτίζεται με την ανθρωπότητα . Η επιλογή του αυτή αποδεικνύει περίτεχνα την ανιδιοτέλεια που τον διακατέχει καθώς στις μέρες μας ή αγνή έρευνα έχει ...

Η παρακάτω τριάδα θα διαψεύσει τον ισχυρισμό σου .

Το ίδιο και αν (χωρίς δηλαδή συνθήκη πρώτων).
Ενδιαφέρον παρουσιάζει στους ακέραιους.

Τη παρακάτω άσκηση τη πέτυχα σε βιβλίο. Δεν έχω λύση.

Να εξεταστεί αν υπάρχει σταθερά $Q \neq 1$ τέτοια ώστε η τιμή της $\displaystyle{\left \lfloor Q^{2^n} \right \rfloor}$ να 'ναι πρώτος για κάθε $n \geq 0$.

Αν είχαμε αποδείξει το παρακάτω ισχυρότερο αποτέλεσμα τότε ίσως να είχαμε απάντηση ...

Οι αριθμοί , θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι και καθώς και




Να αποδειχθεί ότι το παραπάνω σύστημα θα έχει πεπερασμένες θετικές ακέραιες λύσεις

Υ.Γ

Στο παραπάνω post έδειξα την συγγένεια της εξίσωσης (*) με την (**) με την ταυτότητα 3) .

Πράγματι στην επίλυση της (**) εδώ viewtopic.php?f=63&t=42080 εμφανίζεται κάπου στην μέση της λύσης μου η εξίσωση (*)

Πολύ ωραία.

Να πάμε λίγο πίσω στην εξίσωση.

Όπως είπα η εξίσωση $54x^3=y^3+1$ (1) είναι ισοδύναμα η $2(3x)^3=y^3+1$ άρα είναι ειδική περίπτωση της $2a^3=b^3+1$ (2) για $a=3x$

Η εξίσωση $2a^3=b^3+1$ με λίγο παραπάνω προσοχή είναι ειδική περίπτωση της $k^3+1=l^2$ (3)

Πράγματι από την (2) θα ...

Καλή προσπάθεια Δημήτρη αλλά δεν θα μας ξεφύγει η εξίσωση...

Θα δώσω την λύση μου με διοφαντική ανάλυση.Στο τελευταίο βήμα μου θα θεωρήσω γνωστώ τις λύσεις της κυβικής εξίσωσης του Fermat.(από κινητό).

$54x^3=y^3+1$

Ουσιαστικά είναι η μια περίπτωση της $2a^3=b^3+1$ δηλαδή για $b=2mod3$

Θα ...

Βάλε την λύση σου αν θες.Θα δώσω και την δική μου.

Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού ...

Δεν με καλύπτει η λύση του Patrick (σπάνιο αυτό) οπότε ας βρούμε όλες τις λύσεις παραμετρικά.

$x^2+y=y^2+z=z^2+x$ (1)

Θέτω

$x+y=a$
$x-y=b$
$z+y=c$
$z-y=d$ άρα αρκεί να λύσω το παρακάτω σύστημα

$ab=d$
$cd=\dfrac{c+d-a-b}{2}$
$a-b=c-d$

Άρα αρκεί να λύσω το παρακάτω σύστημα

$2abc=c+ab-a-b$ άρα ...

Καλημέρα.
Είναι δυνατή άρα να την σπάσουμε σε 2 εξισώσεις...

$x^2+y^2+z^2=3xyz$
$z(3xy-z)=x^2+y^2$

Άρα ισοδύναμα έχω το παρακάτω σύστημα

$3xy=z+w$
$x^2+y^2=zw$

Βλέπω υπάρχει συμμετρία στα $z,w$ .
Συνεπώς μια λύση $(x,y,z)$ θα μου δώσει την $(x,y,3xy-z)$ και τις μεταθέσεις τους άρα για κάθε κάτω ...

Al.Koutsouridis έγραψε: Γενικά πάντως θα προτιμούσα ως φυσικοί να ορίζονται οι αριθμοί 1,2,3,.. στα σχολικά βιβλία αλλά και γενικότερα.

Αν το δεν είναι φυσικός τότε τι νόημα έχει η φράση ''θετικοί ακέραιοι'' (positive integers) ;
Θέλω να πω ότι ίσως είναι πιο βολικό αν δεχτούμε ως φυσικό και το .