Δείξτε ότι σε κάθε κυρτό πολύγωνο το άθροισμα των διαγωνίων του είναι μεγαλύτερο από την περίμετρό του αλλά μικρότερο από το διπλάσιο της περιμέτρου του. . Για τυπογραφική ευκολία το κάνω για πεντάγωνα, αλλά προσαρμόζεται για όλα τα πολύγωνα. α) $AB+BC>AC$ $BC+CD>BD$ ... $EB+AB>BE$ Προσθέτοντας κατ...

Δείξτε ότι σε κάθε κυρτό πολύγωνο το άθροισμα των διαγωνίων του είναι μεγαλύτερο από την περίμετρό του αλλά μικρότερο από το διπλάσιο της περιμέτρου του. (Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει και για μικρότερες τάξεις). Μιχάλη, μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό; Π.χ στο κυρτό τετράπλε...

Δίνεται ο αριθμός: $\displaystyle{A= \frac{6762\sqrt{432} + 13524\sqrt{72}}{4\sqrt{108}+3\sqrt{128}}}$ (α) Να δείξετε ότι ο $\displaystyle{A}$ είναι φυσικός αριθμός. (β) Να εξετάσετε αν είναι πρώτος. (Το θέμα το αφήνουμε για λίγες μέρες μόνο για παιδιά μέχρι Α Λυκείου, μιας και είναι πολύ απλό. Ο στ...

$\displaystyle 2x^2-3x+p-4=0\wedge \left(0\leq (4x-3)^2 = 41-8p\equiv p\leq 5\frac{1}{8} \overset{ \displaystyle{p\in\mathbb P} } \equiv p\in \left\{ 2,3,5 \right\}\right)$ $\displaystyle \equiv 2x^2-3x-2=0\wedge p=2\vee 2x^2-3x-1=0 \wedge p=3\vee 2x^2-3x+1=0 \wedge p=5$ $\displaystyle {\displaysty...

Αν ο $\displaystyle{x}$ είναι πραγματικός αριθμός και ο $\displaystyle{p}$ πρώτος, να βρεθούν όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(x,p)}$ ώστε να αληθεύει η ισότητα: $\displaystyle{2x^2 -3x +p-4 =0}$ (Ας την αφήσουμε για μαθητές, για δύο ημέρες. Θα τους φανεί αρχικά δύσκολη, αλλά θα διαπιστώσουν ότι είναι π...

Ανοικτή σε όλους. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μία γωνία $\displaystyle{w}$ ενός κυρτού n-γώνου, ($\displaystyle{n\geq 4}$), έτσι ώστε αυτή να είναι μεγαλύτερη ή ίση από το άθροισμα των υπολοίπων γωνιών. Δηλαδή, ότι ισχύει: $\displaystyle{w\geq 180(n-2)-w \Rightarrow 2w\geq 180(n-2)\Rightarrow w\geq 9...

Όταν προτρέπω σε χρήση ΑΙ, έχω δοκιμάσει τα καλύτερα μοντέλα και έχουν αποτύχει. Πρέπει να τα απομυθοποιήσουν και οι μαθητές. Θα επανέλθω σε άλλη Δ. Συζήτηση. Πάντως έχει ενδιαφέρον το ότι μπορούμε πάντα να βρίσκουμε προβλήματα που ένας μαθητής Α γυμνασίου ή και μικρότερος μπορεί να λύσει , αλλά τα...

ΑΣΚΗΣΗ 2699 Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ είναι θετικοί ακέραιοι και αν ισχύει: $\displaystyle{3x^2 + 4y^2 -10xy = 2y-x}$, να αποδείξετε ότι ο αριθμός: $\displaystyle{|3x-4y+1|}$ είναι τέλειο τετράγωνο. Για να λύσουμε το θέμα αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε την εξής πρόταση: Αν $\displaystyle{a , ...

Να βρεθούν όλες οι τιμές του φυσικού αριθμού , ώστε ο αριθμός :



να είναι τετράγωνος ρητού.

ΑΣΚΗΣΗ 2699 Αν οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι και αν ισχύει:

,

να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

είναι τέλειο τετράγωνο.

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει περιττός αριθμός , έτσι ώστε ο αριθμός:



να είναι τέλειο τετράγωνο.

ΑΣΚΗΣΗ: Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι θετικοί ακέραιοι και ο αριθμός $\displaystyle{\frac{x^2 +y^2}{xy+1}}$ είναι ακέραιος, τότε ο ακέραιος αυτός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΔΕΝ ΕΧΩ μπορέσει να το αποδείξω. ... (αφιέρωσα πολλές ώρες να δώσω λύση, αλλά τίποτα...) Δημήτρη, Το πρόβλημα...

Πολύ ωραία. (Σημείωση: Επειδή σε κάποια βιβλία το μηδέν δεν συμπεριλαμβάνεται στους φυσικούς αριθμούς, στο πιο πάνω θέμα που προέκυψε από την προσπάθεια να λύσω ένα θέμα Ολυμπιάδας ξένου Κράτους, οι αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ είναι θετικοί ακέραιοι.) Γράφω τώρα το θέμα, όπως το είδα από έναν συν...

Να εξετάσατε αν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί με , έτσι ώστε ο αριθμός:



να είναι ακέραιος.

(ΣΗΜ: Η ιδέα της άσκησης βασίζεται σε θέμα που είχε τεθεί νομίζω σε Μαθηματική Ολυμπιάδα . Δεν έχω μπορέσει να δώσω λύση)

ΑΣΚΗΣΗ 2698 Έστω $N\ge 1$ φυσικός αριθμός. α) Δείξτε ότι ο αριθμός $(2N+1)^3-(2N-1)^3$ γράφεται ως άθροισμα τριών τελείων τετραγώνων. β) Δείξτε ότι ο αριθμός $(2N+1)^3-2$ γράφεται ως άθροισμα $3N-1$ τελείων τετραγώνων μεγαλύτερων του $1$. (α) Εύκολα βρίσκουμε ότι $\displaystyle{(2N+1)^3 - (2N-1)^3 ...

ΑΣΚΗΣΗ 2697 Δίνεται ο αριθμός : $\displaystyle{A=1^2 +2^2 +3^2 + . . . +100^2 }$ (α) Χρησιμοποιώντας την γνωστή ταυτότητα του κύβου αθροίσματος να υπολογίσετε τον αριθμό αυτό αυτό και να εξετάσετε αν διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ (β) Να εξετάσετε αν υπάρχει τετράγωνος αριθμός, ο οποίος αν προ...

Να δικαιολογήσετε με όσο το δυνατόν πιο σύντομο τρόπο, γιατί ένας μόνο από όλους τους τριψήφιους αριθμούς που είναι τέλεια τετράγωνα, περιέχει τα ψηφία $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{3}$. Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά; Οι αριθμοί που ζητάμε , πρέπει να έχουν μία από τις παρακάτω μορφές: $...

Γράφουμε τους φυσικούς αριθμούς από το $\displaystyle{1}$ μέχρι το $\displaystyle{10000}$, τον έναν κάτω από τον άλλο. Να γράψετε με όσο το δυνατόν σύντομο τρόπο, έναν συλλογισμό που θα απαντήσει στο παρακάτω ερώτημα: "Πόσες φορές θα εμφανιστεί το διψήφιο τμήμα που παριστάνει τον αριθμό 21;" Λίγο δ...

Να δικαιολογήσετε με όσο το δυνατόν πιο σύντομο τρόπο, γιατί ένας μόνο από όλους τους τριψήφιους αριθμούς που είναι τέλεια
τετράγωνα, περιέχει τα ψηφία και .

Γράφουμε τους φυσικούς αριθμούς από το μέχρι το , τον έναν κάτω από τον άλλο.
Να γράψετε με όσο το δυνατόν σύντομο τρόπο, έναν συλλογισμό που θα απαντήσει στο παρακάτω ερώτημα:
"Πόσες φορές θα εμφανιστεί το διψήφιο τμήμα που παριστάνει τον αριθμό 21;"