O μαραθώνιος του Springfield περιλαμβάνει 2 τύπους εδάφους: χώμα και άσφαλτο. Μεταξύ των συμμετεχόντων υπάρχουν 10 μαθηματικοί
που τρέχουν με σταθερή ταχύτητα η οποία όμως εξαρτάται από τον τύπο του εδάφους (υπάρχουν επομένως 20 διαφορετικές ταχύτητες που περιγράφουν την κίνηση των).
Οι μαθηματικοί ...

Στο Δ3 είναι απαραίτητο να βγάλουμε το απόλυτο απο την f? Γράφω τη λύση που έγραψα και στις εξετάσεις.


Εχουμε: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\left( {{e^{\int\limits_0^x {{f^2}\left( t \right)dt} }} - 1} \right) \cdot \ln \left| {f\left( x \right)} \right|} \right] = \mathop {\lim ...

Το επαναφέρω για μία λύση στο δεύτερο πρόβλημα..

Αν με να δείξετε ότι:

α) Δείξτε ότι αν για μια συνάρτηση $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ ισχύουν:
1) η $f$ είναι γνήσια αύξουσα στο $\Bbb{N}$
2) $f(2n)=n+f(n),$ για κάθε $n \in \Bbb{N}$
3) υπάρχει $m \in \Bbb{N} \setminus \{0\}$ ώστε $f(m)=m$
τότε $f(n)=n,$ για κάθε $n \in \Bbb{N}$

Έστω $f(1)\neq 1$ τότε λόγω της μονοτονίας $f ...

ΑΣΚΗΣΗ 728
Αν $a,b,c>0$ ώστε $a^4+b^4+c^4=3$ να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{9}{a^2+b^4+c^6}+\frac{9}{a^4+b^6+c^2}++\frac{9}{a^6+b^2+c^4}\leq\ a^6+b^6+c^6+6.}$



Ισχύει απο Cauchy-Swhartz:

$LHS=\displaystyle\sum{\frac{9}{a^2+b^4+c^6}}\leq \sum{\frac{9}{\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{a^6+b^4+c^2 ...

Και αλλιώς:

Ισχύει:



αφού ισοδυναμεί με την η οποία προκύπτει με πρόσθεση των

(am-gm)



.

Η (1) και οι όμοιες μας δίνουν τη ζητούμενη.

Η δοθείσα γράφεται ως

$2^{n-1}(2^{n+1}-1)=m^3$ και αφού $(2^{n-1},2^{n+1}-1)=1$ έπεται ότι

$2^{n-1}=m_1^3$ και $2^{n+1}-1=m_2^3$

Από την πρώτη έχουμε ότι $n=3k+1$και αντικαθιστώντας στη δεύτερη θα είναι

$2^{3k+2}-1=4 \cdot 8^k-1\equiv \pm 4-1 mod 9$ , άτοπο αφού κανένα απο τα τα 2 δεν είναι ...

Θα δείξουμε ότι κάτι τέτοιο μπορεί να γίνει μονό αν τα $A,B,C,D$ σχηματίζουν ορθογώνιο πλευράς $1$ και $1/2$

Εστω ότι το ζητούμενο γίνεται με δύο διαδοχικές πλευρές ας είναι οι $AB$ και $BC$. Τότε:

$AB+BC>AC\geq 1 \Rightarrow AB+BC \geq 2$ και $AB+BC \leq \sqrt{2}+\sqrt{2}<3$ αρα $AB+BC=2$

αφού ...

11η) (Μικρό θεώρημα Fermat)
Για τους ακέραιους $a, b, c$ δείξτε ότι

$\displaystyle{13 | a + b + c \ \implies 13 | a^{2007}+ b^{2007}+ c^{2007}+ 2 \cdot 2007abc .}$

Έχουμε:

$\displaystyle a^{2007}=a^{13 \cdot 154+5} =(a^{13})^{154}\cdot a^5\equiv a^{154}\cdot a^5=a^{159}=a^{12\cdot 13+3 ...

Θέτουμε $\displaystyle{S=x_1+x_2+\cdots +x_n.}$

Από την ανισότητα $\displaystyle{n(x^2 _1+x^2 _2+\cdots +x^2 _n)\geq (x_1+x_2+\cdots x_n)^2}$ βρίσκουμε $\displaystyle{S\leq \sqrt{n}}$ (1)

Έχουμε:

$\displaystyle{A=\frac{x_1 ^5}{x_2 +x_3 + . . . +x_n}+\frac{x_2 ^5}{x_1 +x_3 + . . . +x_n ...

viewtopic.php?f=109&t=20998&p=106314#p106314

Μόλις μπορέσω θα γράψω τους 2 τρόπους που αναφέρω. (ο ένας είναι τελείως στοιχειώδης μονο με C-S)

Χρήστο σωστά. Ας δούμε κι αυτό:

$\displaystyle{(x+y)^5\geq kxy(x^3+y^3).}$

Στην ουσία θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της ποσότητας:

$\displaystyle \frac{(x+y)^5}{xy(x^3+y^3)}$

Aρκεί να βρούμε το ελάχιστο αυτής όταν $xy=1$, δηλαδή της

$\displaystyle \frac{(x+\frac{1}{x})^5}{(x+\frac{1}{x ...

Εστω Μ ένα υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών με στοιχεία. Αν γνωρίζουμε ότι δεν
υπάρχει στοιχείο του συνόλου Μ το οποίο να ισούται με το άθροισμα 2 διαφορετικών στοιχείων του Μ , να προσδιορίσετε
την ελάχιστη τιμή πού μπορεί να πάρει το μεγαλύτερο απο τα στοιχεία του Μ.

Υπάρχει πρώτος τέτοιος ώστε ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο?

Και λίγο διαφορετικά...



Ομως η ανισότητα Holder δίνει:



απο που έχουμε το ζητούμενο.

10η)
Υπάρχουν πρώτοι $p,q$ ώστε $p^2(p^3-1)=q(q+1);$

Παρατηρούμε ότι $p \neq q$

Πρέπει $\displaystyle p|q+1\Rightarrow q=kp-1~~(1)$

Eπίσης είτε 1. $q|p-1\Rightarrow p=lq+1~~(2)$ είτε 2.$q|p^2+p+1\Rightarrow p^2+p+1=lq~~(2)$

1.

Προσθέτοντας τις (1) κ (2) έχουμε $p+q=kp+lq\Rightarrow k=l=1 ...

Ισως δεν βλέπω κάτι...


Είναι



Αρα απο ΑΜ-ΓΜ:

Αν $\displaystyle{a,b,c>0,}$ να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{8(a^3+b^3+c^3)^2\geq 9(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab).}$

Από ΑΜ-ΓΜ και την προφανή $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ έχουμε:

$\displaystyle RHS=9(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\leq 9\left(\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{3} \right)^3$

$\displaystyle \leq ...