η γεωμετρία των μικρών πρέπει να βγαίνει πολύ πιο εύκολα

K.alexander7 έγραψε:Έχει κανείς κάποια λύση για το 4ο της Α' λυκείου;

λογικά,έπρεπε να κάνεις διαδοχικές συγκρίσεις τριγώνων και να καταλήξεις ότι τα σημεία Α,Σ και Τ ανήκουν στη μεσοκάθετο της ΒΓ

ΑΣΚΗΣΗ 133 : Αποδείξτε ότι αν $r \geq s\geq t$ τότε $\displaystyle r^2-s^2+t^2 \geq(r-s+t)^2$ Ισοδύναμα έχουμε ότι: $\left( r-s \right)\left( r+s \right)+{{t}^{2}}\ge {{\left( r-s \right)}^{2}}+2t\left( r-s \right)+{{t}^{2}}\Leftrightarrow$ $\left( r-s \right)\left( r+s \right)-{{\left( r-s \right)...

$x,y,z\ge 1$ άρα $x-1\ge 0,y-1\ge 0,z-1\ge 0$ με πολλαπλασιασμό κατά μέλη παίρνουμε ότι: $xy\ge x+y-1,yz\ge y+z-1,zx\ge z+x-1$. Επομένως $\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+yx}+\frac{z}{1+x+yz}\le \frac{x}{1+y+x+z-1}+\frac{y}{1+z+y+x-1}+\frac{z}{1+x+y+z-1}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1$

Έστω το σημείο τομής της ΒΔ με τη ΑΓ .Στο τρίγωνο ΑΒΕ η διχοτόμος είναι και ύψος οπότε είναι ισοσκελές και το σημείο Δ είναι το μέσο της της ΕΒ.Στο τρίγωνο ΓΒΕ η ΔΟ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΓΒ και ΕΒ οπότε ΔΟ=(ΑΕ+ΑΓ)=(ΑΒ+ΑΓ)

ΆΣΚΗΣΉ 105 Εάν x, y πραγματικοί μη μηδενικοί να δείξετε την $\displaystyle{\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} - xy}} \le \frac{{2 \cdot \sqrt 2 }}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}}$ Aπό την ανισότητα $2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{\left( x+y \right)}^{2}}$ έχουμε ότι $x+y\le \sqrt{2\left( {{x}^{2}}+...

Μια ακόμα λύση : έχουμε ότι πολλαπλασιάζουμε τα δυο μέλη της εξίσωσης με 4 και έπειτα από πράξεις έχουμε ότι άρα

Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ΜΕΔΝ διχοτομούνται γιατί ΜΘ=ΘΔ=$\frac{1}{3}$ΑΔ και ΕΘ=ΘΝ=$\frac{1}{3}$ΕΒ οπότε είναι παραλληλόγραμμο.Ξέρουμε ότι:(ΕΜΘ)=(ΕΔΘ) καθώς η ΕΘ είναι διάμεσος στο τρίγωνο ΕΔΜ και ότι (ΕΜΘ)=$\frac{1}{2}$(ΕΑΘ).Ακόμη γνωρίζουμε ότι (ΕΑΘ)=(ΕΘΓ)=$\frac{1}{2}$(ΑΘΓ) και ότι (ΑΘΓ)=$\fr...

ΑΣΚΗΣΗ 95: $\left( {a,b,c,d > 0} \right)\;\kappa \alpha \iota \;\left( {a + b + c + d = 1} \right) \Rightarrow \frac{1} {{a + b}} + \frac{1} {{b + c}} + \frac{1} {{c + d}} + \frac{1} {{d + a}} \geqslant 8.$ $\left[ \left( a+b \right)+(b+c)+(c+d)+(d+a) \right]\left[ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac...

\angle ASV

Για την άσκηση 82: το άθροισμα των αριθμών 1,2,3,...49 είναι 1225 δηλαδή περιττός αριθμός .ξέρουμε ότι Α+Β=1225 Όμως το άθροισμα των άρτιων αριθμών είναι άρτιος αριθμός οπότε ο αριθμός Β είναι άρτιος.Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός Α είναι περιττός (αφού 2x+A=1225) άρα δεν μπορεί να ισχύει ότι Α=Β Kons...

αν x η απόσταση που έχει διανύσει ο Β μέχρι το σημείο συνάντησης με τον Α ,ο Α έχει διανύσει x+2700 μέχρι το σημείο συνάντησης με τον Β.Άρα 2x+2700=54900, x=26100 χρησιμοποιώντας την μέθοδο των τριών βρίσκουμε οτι οι δύο βαδιστές μέχρι το σημείο συνάντησης βάδιζαν για 108 λεπτά .χρησιμοποιώντας ξανά...

σιγουρα βγαινει ακεραιος αριθμος?

μια ακομη λυση: το τριγωνο ΒΓΕ ειναι ισοσκελες οποτε η γωνια ΒΕΓ ειναι 15 μοιρες .Εστω Ο το σημειο τομης της ΑΒ με την ΕΓ.η γωνια ΑΟΕ ειναι 75 μοιρες.η γωνια ΑΕΟ ειναι 45 μοιρες .το τριγωνο ΖΒΑ ειναι ισοσκελες οποτε η ΒΑΖ ειναι 15 μοιρες.το τετραπλευρο ΕΑΗΒ ειναι εγγραψιμο οποτε ΗΒΑ=ΑΕΟ=45 μοιρες.οπ...

πολλα συγχαρητηρια σε ολα τα παιδια που συμμετειχαν και διακριθηκαν στον αρχιμηδη και ακομα περισσοτερα στον παναγιωτη λωλα για το χρυσο απο την α λυκειου!!

περιπου ποσο υπολογιζετε την βαση των μικρων?

μπορει να λυσει καποιος το δευτερο θεμα των μικρων?

γεια σε όλα τα μέλη του mathematica και από εμένα.μια ερώτηση έχω.στο δεύτερο θέμα της γ γυμνασίου έχω καταλήξει στις ίδιες τιμές με την επίσημη λύση αλλά παίρνοντας περιπτώσεις .δηλαδή αν 2(α-12)(20-β)=0 τότε αναγκαστικά 20-β=0 γιατί α-12<0.άρα β=20 και η ελάχιστη τιμή του Α είναι όταν α=0 δηλαδή η...