Προσθέτουμε τις δύο σχέσεις κατά μέλη και παίρνουμε

$\displaystyle & x^4+\frac{1}{4}-x+2 x^3+y^4+\frac{1}{4}-y+2y^3=0 \Rightarrow$

$\displaystyle &\left( x^4+x^2+\frac{1}{4}-x^2-x+2 x^3\right)+\left(y^4+y^2+\frac{1}{4}-y^2-y+2y^3\right)=0 \Rightarrow$

$\displaystyle &\left( x^2+x- \frac{1}{2 ...

Άσκηση 83

Δέκα μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε τρία κύπελλα. Να βρεθεί η πιθανότητα τρεις μπάλες να τοποθετηθούν στο ίδιο κύπελλο.
Κάθε τοποθέτηση των μπαλών στα τρία κύπελλα αντιστοιχεί σε έναν επαναληπτικό συνδυασμό των $3$ κυπέλλων ανά $10$. Έτσι οι συνολικές περιπτώσεις είναι
$\begin{bmatrix ...

Αποστόλη αν και δεν το ξεκαθαρίζει ο κατασκευαστής, απ' ότι είδα στα σχόλια το score σου είναι τα golden medals. Σε κάθε επίπεδο υπάρχουν δύο golden medals. Το ένα σου δίνεται αν τελειώσεις το επίπεδο με τον ελάχιστο αριθμό κινήσεων χρησιμοποιώντας μόνο primitive tools και το άλλο αν τελειώσεις το ...

Για κάποιον άσχετο με geogebra όπως εγώ, το βρήκα πολύ ευχάριστο. Tερματίζει στο 25ο επίπεδο νομίζω όπου ζητείται η κατασκευή κανονικού πενταγώνου. Το ρεκόρ στο επίπεδο αυτό είναι 10 κινήσεις ( χρειάστηκα 20 )

Δείτε κι εδώ το μήνυμα του Νίκου Μαυρογιάννη.

Demetres έγραψε: Δεν νομίζω να υπάρχει κλειστός τύπος.

Το περίμενα και μάλλον ανέβασα πολύ τον πήχη για τον συγκεκριμένο φάκελο. Ευχαριστώ πάρα πολύ για την ενασχόληση εσένα και τον Ευθύμη.

ΑΣΚΗΣΗ 32
Ένας καθηγητής χωρίζει αρχικά τα $12$ άτομα της τάξης του σε $3$ τετράδες, στα πλαίσια μίας εργασίας ( ο αρχικός αυτός χωρισμός ας θεωρηθεί δεδομένος και σταθερός ). Επειδή τα αποτελέσματα δεν είναι τα αναμενόμενα, ο καθηγητής αποφασίζει στην επόμενη εργασία να αλλάξει εντελώς τον ...

Η σχέση γίνεται

$\left(f(x)- \sin x \right)^2=\left( \sin ^2 x +1 \right)^2 \Rightarrow \left|f(x)- \sin x \right| = \sin ^2 x +1, \,\,(1)$

Επίσης

$- \left|f(x)- \sin x \right| \leq f(x)- \sin x \leq \left|f(x)- \sin x \right|$

και λόγω της σχέσης (1):

$-\sin ^2 x -1 \leq f(x)- \sin x \leq ...

Σωστά, με παραπλάνησε το πεδίο ορισμού. Άλλη μία προσπάθεια. Είναι

$\displaystyle \sqrt{f(x)}=\frac{1}{2}x+c \Rightarrow \left(\sqrt{f(x)}\right)^3=\left(\frac{1}{2}x+c \right)^3$

οπότε

$\displaystyle \left(\sqrt{f(1)}\right)^3- \left(\sqrt{f(0)}\right)^3=\frac{1}{32} \Rightarrow \left(\frac{1 ...

Συγγνώμη που ξεθάβω αυτό το θέμα, απλά αναρωτιέμαι αν το τελείωμα θα μπορούσε να είναι κάπως έτσι:

$\displaystyle f'(x)=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \left(\sqrt{f(x)}\right)'=\left(\frac{1}{2}x\right)'$

οπότε υπάρχει $c \in \mathbb{R}$ ώστε ...

Από την αρχική σχέση για $x>0$ και κοντά στο $0$ είναι

$f(x)\left(f^2(x)+x\right)=1 \Rightarrow f(x)>0.$

Επομένως

$f^3(x)=1-xf(x) \leq 1 \Rightarrow f(x) \leq 1, \,\,(1).$

Λόγω της (1) έχουμε

$1=f^3(x)+xf(x) \leq f(x)+x \Rightarrow 1-x \leq f(x), \,\,(2).$

Από τις σχέσεις (1),(2) και το ...

Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο . Αφού λοιπόν η δεν είναι ορισμένη σε σύνολο της μορφής , ή της μορφής , ή της μορφής , δεν έχει νόημα το όριο της συνάρτησης στο

Δες κι εδώ αν θες απόδειξη με σχολικά μέσα.

Από την στιγμή που έχουμε δείξει ότι ορίζεται η $f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ θα ήταν λάθος να πούμε ότι

$f \left ( x^3+e^{x+2}+1 \right) = x+2 \Leftrightarrow f^{-1}\left(f \left ( x^3+e^{x+2}+1 \right)\right)= f^{-1}(x+2) \Leftrightarrow$

$x^3+e^{x+2}+1=f^{-1}(x+2)$

και θέτοντας όπου $x ...

Μία προσπάθεια με τριγωνομετρική μορφή. ΄

Έστω $\theta$ ένα όρισμα του $z.$ Είναι $|z|=|z+1|=1$ οπότε $z= \cos \theta + \sin \theta i$ και τότε

$\displaystyle z+1=\cos \theta +1+ \sin \theta i = 2 \cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)+2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta ...

Αν $a,b,c>0$ με

$\displaystyle{\dfrac{a+b}{bc}=\dfrac{b+c}{ca}=\dfrac{c+a}{ab}}$

να δείξετε ότι $a=b=c.$

Ισχύει το ίδιο αν $a,b,c\in \Bbb{R};$
Έστω

$\displaystyle{\dfrac{a+b}{bc}=\dfrac{b+c}{ca}=\dfrac{c+a}{ab}}= \lambda>0$

τότε

$a+b=\lambda b c \,\,(1)$

$b+c=\lambda a c \,\, (2)$

$c+a ...

Είναι
$\displaystyle \frac{\tan (a-b)}{ \tan a}=\frac{\tan a - \tan b}{\tan a (1+\tan a \tan b) }= \frac{\tan a -\frac{\tan c^2}{ \tan a}}{\tan a ( 1+ \tan^2c)}=\frac{\tan^2a-\tan ^2 c}{\tan^2 a ( 1+ \tan ^2 c )}=\frac{1}{ 1+ \tan ^2 c}-\frac{1}{\tan ^2 a} \frac{\tan ^2 c}{1+ \tan ^2 c}.$

Όμως ...

Ακολουθώντας τον τρόπο της εφαρμογής 1 του σχολικού στο κεφάλαιο 3.1: αν $(x_0,y_0)$ το σημείο επαφής, τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι

$(\varepsilon): \,\, xx_0+yy_0=4.$

Επειδή αυτή διέρχεται από το $\Gamma$:

$x_0+2y_0=2\,\,(1)$

και αφού το $(x_0,y_0)$ είναι σημείο του κύκλου έχουμε ...

Υ.Γ. Ο Χρήστος Τσιφάκης με παρέπεμψε σε κάποιες εφαρμογές Java αρχείων Geogebra ΕΔΩ , τις οποίες δεν μπορώ να ανοίξω ούτες σε περιβάλλον XP (Mozzila), ούτε σε Windows 7. Υπάρχει κάποια λύση;
Δεν ξέρω αν είναι η πλέον ενδεδειγμένη ή ασφαλέστερη λύση αλλά δούλεψε για μένα...
Για win 7:
1 ...

Μια χαρά. Σας ευχαριστώ.