Απομάκρυνση.png Τμήμα $AB$ , μήκους $4$ , είναι μεσοκάθετο σε τμήμα $CD$ , μήκους επίσης $4$ . Οι $AD,CB$ τέμνονται στο σημείο $S$ . Βρείτε τύπο , ο οποίος να υπολογίζει την απόσταση του $S$ από το μέσο $M$ του $CD$ και εντοπίστε τη θέση του $A$ , για την οποία είναι : $SM=5$ .

Εφαπτόμενες.png $\bigstar$ Με την ημιευθεία $O\zeta$ , χωρίσαμε την ορθή γωνία $\widehat{xOy}$ σε δύο γωνίες $\theta$ και $\phi$ . α) Βρείτε τη μικρότερη δυνατή τιμή του αθροίσματος : $\tan\theta+\tan\phi$ β) Για ποια τιμή της $\theta$ είναι : $\tan\theta+\tan\phi=4$ ; γ) Προαιρετικό : Είναι γνωστό...

Στην πλευρά , γωνίας , βρίσκεται σημείο . Επιλέξτε σημείο της πλευράς ,

ώστε αν το τμήμα τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας στο , να είναι : .

Τριπλοκίνητη σταθερότητα.png Στην ακτίνα $OB$ , ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , θεωρώ τυχαίο σημείο $T$ . Πάνω στην κάθετη προς τη διάμετρο στο $T$ και εκτός του ημικυκλίου , θεωρώ τυχαίο σημείο $S$ . Ονομάζω $P$ την τομή του τόξου με την $BS$ και στη μεσοκάθετη του $SP$ και μέσα στο ημικύκλιο , θεωρώ ...

_Έλλειψη_.png Ας θεωρήσουμε ως άκρα τα σημεία $A(-1,0) , B(1,0)$ και το σταθερό γινόμενο $8$ . Τότε : $\sqrt{(x+1)^2+y^2}\sqrt{(x-1)^2+y^2}=8$ ή : $((x+1)^2+y^2)((x-1)^2+y^2)=64$ . Το λογισμικό δίνει ως λύση , ένα σχήμα σε στυλ έλλειψης , με εξίσωση : $x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2=63$ . "Μαντεύοντας" ...

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης :

Αν είναι δυνατόν , χωρίς χρήση παραγώγων παρακαλώ

Πειραματική Γεωμετρία.png Η χορδή $AB$ , κύκλου $(O)$ προεκτείνεται κατά τμήματα $AP=BQ$ . Στο αντιδιαμετρικό $A'$ του $A$ , φέρω την εφαπτομένη επί της οποίας αναζητώ σημείο $T$ , ώστε το μέσο$M$ του $PT$ να είναι σημείο του κύκλου . Μπορείτε να βρείτε το $ST$ ; Δεκτή κάθε προσέγγιση ... Αν η κάθε...

Γιώργο Ρίζο : Δυο λόγια δεν σημαίνει δυο λέξεις

Από την άλλη η λύση του Γιώργου Βισβίκη , χρησιμοποιεί παραπανίσια λόγια

Αν σας ζητηθεί να δείξετε ότι : , θα απαντήσετε : "Προφανές" !

Για να δείξετε ότι : , θα απαιτηθεί να γράψετε δυό λόγια

Το τέταρτο τμήμα.png Το ύψος $AD$ χωρίζει τη βάση $BC$ τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σε τμήματα με λόγο : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}$ . Στην προέκταση της $CB$ , θεωρούμε σημείο $E$ , ώστε $BE=BC$ και γράφουμε τον κύκλο $(A , D , E )$ , τον οποίο η προέκταση της $AB$ τέμνει στο σημείο $S$ . α) Δ...

Κατά πάσαν πιθανότητα τραπέζιο.png Από το μέσο $M$ της υποτείνουσας $BC$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω κάθετες προς τις $AC,AB$ , επί των οποίων εξωτερικά του τριγώνου θεωρώ σημεία $D,E$ , ώστε τα $D,A,E$ να είναι συνευθειακά . α) Να δειχθεί ότι : $CD \parallel BE$ . β) Αν επιπλέ...

"Μαντεύω" ότι πρόκειται για τη συνάρτηση :

Μέγιστο ύψος.png $\bigstar$Στην πλευρά $AB=a$ του τετραγώνου $ABCD$ , κινείται σημείο $E$ και έστω : $AE=x$ . Θεωρώ σημείο $Z$ της $BC$ , ώστε : $ZE \perp DE$ . α) Βρείτε συνάρτηση $f(x)$ , η οποία να υπολογίζει το μήκος του $BZ$ συναρτήσει του $x$ και υπολογίστε το μέγιστο μήκος του $BZ$ . β) Δείξ...

Φέροντας είναι : ...

Διχοτόμος και πρόοδος.png Στην προέκταση της ακτίνας $OA$ , κύκλου $( O,r) $ , θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε : $AS=r$ . Από το $S$ διέρχονται δύο τέμνουσες του κύκλου εκατέρωθεν της $OS$ , οι οποίες σχηματίζουν ίσες γωνίες με την $OS$ και οι οποίες τέμνουν τον κύκλο στα σημεία $P,T$ , ώστε : $SP >ST$ ...

Στην προέκταση της κινείται σημείο . Θεωρούμε σημείο στην προέκταση

της , ώστε : . Αν είναι γνωστό το , υπολογίστε τα : .

Από σημείο του νοτίου ημικυκλίου του κύκλου : , φέρω εφαπτόμενες

προς τον κύκλο : , οι οποίες τέμνουν τον αρχικό στα .

Βρείτε τη θέση του , ώστε : α) ... β) ... γ) .

Με βάση τμήμα της ακτίνας , τεταρτοκυκλίου , σχεδιάστε ορθογώνιο

, ώστε αν η τέμνει το τόξο στο , η να διχοτομεί την .

Συγκρίνατε τώρα την με το .

Η ανακάλυψη του διμήνου.png Α) Να βρεθεί η μικρότερη θετική γωνία $\theta$ , για την οποία είναι : $\cos\theta=\tan\theta$ . Β) Από σημείο $M$ της ακτίνας $OB$ , κύκλου διαμέτρου $AB$ , διέρχεται χορδή $CD$ κάθετη στη διάμετρο . Στην προέκταση της διαμέτρου θεωρούμε σημείο $T$ , ώστε : $BT=OM$ . Φέ...

Ισοσκελές σε ισοσκελές.png Έχετε χρόνο για ξόδεμα ; Αν ναι , ορίστε ένας τρόπος : Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι : $AB=AC=5 , BC=6$ . Έστω $O$ σημείο της $AB$ , ώστε : $AO=2$ . Με κέντρο $O$ γράφω κύκλο , ο οποίος τέμνει την $AC$ στο $S$ και την $BC$ στα $P,Q$ , από τα οποία το $P$ βρίσκετ...