Τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και ισοσκελή .

Υπολογίστε το τμήμα . ( Επίπεδο διαγωνισμού "Θαλή" ) .

Ελαχιστοποίηση τμήματος.png Στα άκρα τμήματος $AB =d $ , φέρω κάθετες προς αυτό και ομόρροπες ημιευθείες $Ax$ και $By$ . Επί της $Ax$ κινείται σημείο $S$ . Η μεσοκάθετη του $BS$ τέμνει το $AB$ στο σημείο $P$ και την $By$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος $PT$ .

Ανατολικός κύκλος.png Στο επίπεδο τετραγώνου $ABCD$ , σχεδιάζουμε κύκλο $(O)$ , διερχόμενο από τα $B , C$ και εφαπτόμενο της διαγωνίου $DB$ στο $B$ . Φέρω και το άλλο εφαπτόμενο τμήμα $DS$ . Αν η ημιευθεία $DC$ τέμνει την ακτίνα $OS$ στο σημείο $T$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{ST}{TO}$ .

Σε κύκλο εγγράψαμε ισοσκελές τρίγωνο και παραλληλόγραμμο ,

μη αλληλοκαλυπτόμενα . Αν , υπολογίστε την .

Αξιοπρόσεκτη καθετότητα.png Από το ίχνος του ύψους $AD$ τριγώνου $APQ$ , φέρω : $DT\perp AB , DS\perp AC$ . Αν η $TS$ τέμνει τον περίκυκλο $(O) $ , του τριγώνου στα σημεία $B,C$ , δείξτε ότι : α ) $AB=AC=AD$ και ... β) $AO \perp BC$ . Αυτήν την πλούσια άσκηση αξιοποιώντας , δημιούργησα την φτωχική ...

Α) Συγκρίνατε τις ποσότητες : .... και

Β) Υπολογίστε την με προσέγγιση δεκάκις χιλιοστού . Εξυπνακίστικες λύσεις επιτρέπονται (!)

Εκνευριστική μεγιστοποίηση.png Ας περιγράψω την δική μου προσέγγιση : Θέτοντας για ευκολία $a=1 , AD=b<1$ , έχω : $AC : y=bx , SB : y=-x+1 , DP : y=-x+b$ . Βρίσκουμε την εξίσωση της $AQ$ : Σημείο $(x,y)$ ανήκει σ'αυτήν αν : $\dfrac{|bx-y|}{\sqrt{b^2+1}}=y$ , που δίνει την ( δεκτή ) λύση : $y=\dfrac...

Στην προέκταση του ύψους του ισοσκελούς τριγώνου ,

θεωρούμε σημείο . Ονομάζουμε την προβολή του στην ημιευθεία

και τα μέσα των αντίστοιχα . Δείξτε ότι : .

Αξιοθρήνητη καθετότητα.png Ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Εντός του κύκλου θεωρούμε σημείο $D$ , ώστε : $AD=AB=AC$ και φέρω κάθετη προς το τμήμα αυτό , στο άκρο του $D$ , η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο $Q$ ( προς το μέρος του $C$ ) . Αν $AQ,BC$ τέμνονται στ...

Από ομοιότητα : . Από θεώρημα διχοτόμου και Π.Θ στο μεγάλο

, άρα :

Νομίζω ότι δεν είναι πιθανό να απέδειξες ότι τα είναι ομοκυκλικά στο στο παραπάνω σχήμα .

Υπάρχει βέβαια περίπτωση αυτό να συμβεί . Να λοιπόν το ερώτημα : Να βρεθούν οι κατάλληλες συνθήκες ,

έτσι ώστε τα : ,να είναι ομοκυκλικά .

Για χορδές - πλευρές εγγεγραμμένου τριγώνου - $a,b,c$ , ισχύει : $c=\dfrac{a\sqrt{4r^2-b^2}+b\sqrt{4r^2-a^2}}{2r}$ . Αν $a=b=x,c=\dfrac{3x}{2}$ , ο τύπος γίνεται : $\dfrac{\sqrt{4r^2-x^2}}{r}=\dfrac{3}{2}$ , ο οποίος δίνει : $x=r\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ . Παρατήρηση : Το σχήμα του εντιμότατου( δεν παραπ...

Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος υπολογίστε την . Προϋπόθεση για να αναρτήσετε

κάτι : Στην δημοσίευσή σας πρέπει να περιέχονται τουλάχιστον δύο διαφορετικές λύσεις .

Νίκο , η άσκηση είναι εμπνευσμένη από το χθεσινό θέμα της Γεωμετρίας της Γ' .

Η λύση της μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως λήμμα για μια λύσης εκείνης . Βλέπε εκεί

Χρησιμοποιώντας ως βήμα την λύση του Νίκου στην άσκηση αυτή : Γεωμετρία Γ'.png Προεκτείνω την $AB$ κατά τμήμα $BH=AD=EZ$ . Τα τμήματα $AH , DB$ , έχουν κοινή μεσοκάθετο , οπότε $OA=OH$ . Αλλά : $DOH=DOZ$ , άρα $OH=OZ$ . Τα τρίγωνα , λοιπόν , $ADO , ZEO$ , είναι ίσα ( Π-Π-Π) κι έτσι οι $\theta$ είναι...

Το τραπέζιο έχει : . Φέρουμε , η οποία τέμνει την στο .

Δείξτε ότι το περίκεντρο του τριγώνου , ισαπέχει από τις κορυφές και του τραπεζίου .

Προς ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή του τριγώνου φέρουμε κάθετα

τμήματα . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του αθροίσματος : .

, μέσο της ...

Σε κύκλο ακτίνας εγγράψτε ισοσκελές τρίγωνο με λόγο βάσης/σκέλους .

Μπορείς να παραλείψεις το πρώτο διάστημα και να λύσεις την :

Επίσης η διαδρομή είναι μάλλον Υλίκη - Αθήνα