Σημείο κινείται επί του τμήματος . Σχεδιάζω στο ίδιο ημιεπίπεδο το τετράγωνο

και το ισόπλευρο τρίγωνο . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου

Στον χαρταετό το είναι σημείο του τόξου του τομέα .

Αν και , υπολογίστε την απόσταση .

Η είναι φανερά γνησίως φθίνουσα , συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα .

Απίστευτος αριθμητικός μέσος.png Ο κύκλος $(K)$ διέρχεται από το κέντρο κύκλου $(O)$ , τον οποίον τέμνει στα σημεία $A,B$ , ενώ η διάκεντρος τέμνει τον $(O)$ στο $C$ . Έστω σημείο $S$ του $(K)$ , εσωτερικό του $(O)$ . Δείξτε ότι για την απόσταση $CT$ του $C$ από την ευθεία $SO$ , ισχύει : $CT=\dfra...

Οι κύκλοι και τέμνονται ορθογωνίως στο και τέμνουν την διάκεντρο

ο στο και ο στο . Ονομάζουμε τις προβολές των

στις ακτίνες αντίστοιχα . Δείξτε ότι : .

Τομέας εκπλήξεων !.png Α) Στον κυκλικό τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ εγγράψτε κύκλο $(K)$ , εφαπτόμενο στο μέσο του τόξου του και σε σημεία των πλευρών του , τα οποία ας ονομάσουμε $S$ και $T$ . Β) Η χορδή $AB$ τέμνει τον κύκλο στα σημεία $P,Q$ . Για ποιο μέτρο της γωνίας του τομέα , προκύπτει $PQ=...

Είναι η άσκηση 6 (αποδεικτικές) , σελίδα 116 , του εν χρήσει σχολικού βιβλίου .

Τόπος και σταθερότητα.png Το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και $S$ είναι το αντιδιαμετρικό του $A$ . Σημείο $P$ κινείται επί της πλευράς $AB$ . Σχεδιάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $QPS$ , με το $Q$ πλησιέστερα προς το $C$ απ' ότι στο $B$ . α) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο ...

Τριπλή και διπλή ισότητα.png Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ τα $M,N$ είναι τα μέσα των $AB,AC$ , ενώ τα $P, Q$ σημεία της $BC$ ώστε : $BP=QC$ . α) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(MNS)}{(ABC)}$ , αν $BP=PQ=QC$ . β) Πώς πρέπει να επιλέξουμε τα σημεία $P,Q$ , ώστε να είναι : $(MNS)=(ABC)$ και ποιος είν...

Καλή διχοτόμηση.png Ο μικρός κύκλος $(K)$ εφάπτεται εσωτερικά του μεγαλύτερου $(O)$ στο σημείο $T$ . Από το $O$ φέρω μια εφαπτομένη $OP$ προς τον $(K)$ και η $KP$ τέμνει τον $(O)$ στο σημείο $Q$ . Ονομάζω $S$ την τομή της εφαπτομένης του $(O)$ στο $Q$ με την $OP$ . Δείξτε ότι η κοινή εφαπτομένη των...

Πάνω στην τέμνουσα.png Από σημείο $S$ εκτός κύκλου $(O)$ , φέρουμε τις εφαπτόμενες και τυχούσα τέμνουσα $SPQ$ και ονομάζουμε $M$ το μέσο του $PQ$ . Εκατέρωθεν της τέμνουσας και με κοινή πλευρά την $MQ$ κατασκευάζουμε ίσες (οξείες) γωνίες των οποίων οι νέες πλευρές τέμνουν τις δύο εφαπτόμενες στα $A...

Παράξενο μέγιστο 14.png Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει σταθερή βάση $BC=8$ , ενώ η κορυφή $A$ κινείται σε παράλληλη προς την $BC$ ευθεία . Ευθεία διερχόμενη από το $B$ και το μέσο $N$ της διαμέσου $AM$ τέμνει την πλευρά $AC$ στο $S$ . Για ποια θέση του $A$ μεγιστοποιείται η απόσταση του $N$ απ...

Διχοτόμος και τμήμα.png Πάνω στην ακτίνα $AE=3$ ενός κύκλου $(A)$ παίρνουμε σημείο $S$ , έτσι ώστε $AS=2$ . Η κάθετη της ακτίνας στο $S$ τέμνει τον κύκλο στο $T$ . Προεκτείνω το $AT$ κατά $TD=2$ . Η κάθετη της $AD$ στο $D$ τέμνει την $AE$ στο $B$ και την $ET$ στο $C$ . α) Δείξτε ότι : $CA \perp AB$...

Μπορούμε άραγε να εντοπίσουμε σημείο στη βάση , τριγώνου ,

του οποίου η απόσταση από την να είναι διπλάσια εκείνης από την ;

Στην πλευρά του τετραπλεύρου του σχήματος κινείται σημείο . Τα τμήματα

και τέμνουν τις διαγωνίους στα σημεία αντίστοιχα .

Για ποια θέση του προκύπτει : ;

Τις αποδείξεις δύο βασικών θεωρημάτων της Ευκλείδειας , δες εδώ .

Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου . Μπορείτε και με ύλη εκτός φακέλου .

Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου είναι ίσες και τέμνονται στο .

Οι μεσοκάθετοι των πλευρών τέμνονται στο .

Δείξτε ότι η διχοτομεί τη γωνία . Για σχολική χρήση .

Στο ημικύκλιο του σχήματος αξιοποιήστε τα δεδομένα για να υπολογίσετε τη γωνία .

Τμήμα , ολισθαίνει επί της διαμέτρου ενός ημικυκλίου . Υψώνω τα κάθετα

προς τη διάμετρο τμήματα και φέρω το τμήμα , το οποίο τέμνει το στο .

Βρείτε το μέγιστο του λόγου : . Εφαρμογή για .