Κινητή χορδή παραμένει παράλληλη με την διάμετρο ενός ημικυκλίου . Τμήμα είναι κάθετο

και ίσο προς το . Βρείτε το μέγιστο ύψος του σημείου . Μην αναζητήσετε τον γεωμετρικό τόπο του .

Κατασκευάστε τρίγωνο , με : , τέτοιο ώστε αν η μεσοκάθετος της τέμνει την

στο σημείο , να είναι : . Λόγω ευκολίας , αναζητούμε ποικιλία λύσεων

Η διαπραγμάτευση του Μιχάλη είναι η ουσιαστική λύση του προβλήματος . Επειδή όμως η εκφώνηση περιέχει

αριθμητικά δεδομένα , παρουσιάζει κάποιο ενδιαφέρον ο υπολογισμός του ελαχίστου του τμήματος .

Πιο κάτω δεν πάει.png Στην διάμετρο $AB$ ενός ημικυκλίου βρίσκονται σημεία $P , T$ , τέτοια ώστε : $AP=2 , PT=7 ,TB=1$ . Σημείο $S$ κινείται στο ημικύκλιο . Το κέντρο $K$ του περικύκλου του τριγώνου $SPT$ , κινείται φυσικά πάνω στην μεσοκάθετο του τμήματος $PT$ . Βρείτε την "χαμηλότερη" θέση του $K...

Οι δύο τελευταίες αναρτήσεις του Μιχάλη και του Γιώργου , θα έλεγε κανείς ότι είναι

" λόγοι για να αγαπήσει κανείς τα Μαθηματικά " !

Στην προέκταση της διαμέτρου του κύκλου , θεωρούμε σημείο , γράφουμε τον κύκλο

και ονομάζουμε το ένα από τα δύο σημεία τομής των δύο κύκλων . Η ξανατέμνει τον στο σημείο .

Για ποια θέση του μεγιστοποιείται το τμήμα ;

george visvikis έγραψε: ↑

Τρί Απρ 28, 2026 8:55 am

Γιατί όχι :

Μπορούμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : ;

Εφόσον το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου , ο κύκλος με κέντρο το μέσο της και ακτίνα

μας δίνει το σημείο ...

Δείξτε ότι για κάθε , ισχύει :

Ο κύκλος διέρχεται από το κέντρο του και τον τέμνει στα σημεία . Εντοπίστε σημείο

του , τέτοιο ώστε το μέσο του , να βρίσκεται πάνω στην και υπολογίστε το τμήμα .

Οι συντεταγμένες των κορυφών , του τριγώνου φαίνονται στο σχήμα . Η κάθετη από το

προς την διάμεσο , τέμνει την στο . Αν : , βρείτε την τετμημένη του .

Δίνεται η συνάρτηση : . Δείξτε ότι

η γραφική της παράσταση διέρχεται για κάθε από δύο σταθερά σημεία .

Στο σχήμα φαίνεται η κατασκευή της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης , των κύκλων

και . Είναι : , δηλαδή : .

Από σημείο τεταρτοκυκλίου , ακτίνας , φέρουμε : . Η διχοτόμος της

, τέμνει την στο σημείο . Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

Σταθερή μέσα στην κίνηση.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , τα $M , N$ είναι τα μέσα των κάθετων πλευρών $AB , AC$ αντίστοιχα , ενώ το $AD$ είναι ύψος . Ονομάζουμε $B' , C' $ τις προβολές των $B , C$ , αντίστοιχα σε μεταβλητή ευθεία διερχόμενη από την κορυφή $A$ . Οι $B'M , C'D$ τέμνονται στο $S$ , ...

Σε σημείο ημικυκλίου διαμέτρου φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο

και την κάθετη της στο , στο σημείο . Για ποια θέση του τα τρίγωνα και είναι ισεμβαδικά ;

Διπλή συνευθειακότητα.png Η μεσοκάθετος της υποτείνουσας $BC$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά $AB$ στο σημείο $P$ . Γράφουμε τον κύκλο $(P , PA)$ , προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $BS$ και $BT$ . Δείξτε ότι τα σημεία : $A , M , S$ , καθώς και τα : $C...

Βρείτε όλες τις ευθείες , οι οποίες δεν έχουν κοινά σημεία με την γραφική

παράσταση της συνάρτησης : .

... με κατάλληλους χειρισμούς προκύπτει $c = b\sqrt{\varphi}$ από όπου έπεται το ζητούμενο. Η σχέση γίνεται : $c=\dfrac{ab(a+b+2c)}{(a+c)(b+c)}$ , δηλαδή : $c^2(a+b+c)=ab(a+b+c)$ , η οποία καταλήγει στην : $c^2=ab$ . Αλλά τότε : $c^4=(b^2+c^2)b^2 $ , ή : $\dfrac{c^4}{b^4}-\dfrac{c^2}{b^2}-1=0$ , άρ...

Εξαιρετική συνευθειακότητα.png Σε τρίγωνο $ABC$ , η κάθετος της $AB$ στο $A$ , τέμνει την μεσοκάθετο της $BC$ στο $K$ . Γράφουμε τον κύκλο $(K , KA)$ , προς τον οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $CS$ . Δείξτε ότι τα σημεία $A , S , M $ είναι συνευθειακά . ( $M$ είναι φυσικά το μέσο της $BC$ ) .