Η άλλη κάθετη.png Σε ορθογώνιο $ABCD$ , διαστάσεων $m \times n$ , έστω $E$ τυχόν σημείο της $AB$ . Εντοπίστε σημείο $Z$ της $AD$ , τέτοιο ώστε να είναι : $(ZDC)=(AZE)+(CEB)$ , δηλαδή βρείτε το $AZ$ συναρτήσει του $AE=x$ . Η άσκηση είναι προφανώς εμπνευσμένη από το αναπάντητο ακόμα θέμα του Ανδρέα Β...

Εξέχον τμήμα 3.png Το $AD$ είναι το προς την υποτείνουσα ύψος του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ . Ο κύκλος διαμέτρου $AD$ τέμνει τις $AB , AC$ στα σημεία $P ,T$ , ενώ οι προεκτάσεις των $PT , BC$ , τέμνονται στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το τμήμα $CS=x$ , συναρτήσει των $BD=y$ και $DC = z$ . Εφαρμογή : $...

Η λύση Φραγκάκη , έχει μοναδικό αλλά σημαντικό μειονέκτημα : Τα σημεία του σχήματος έχουν διαστάσεις

Το είναι σταθερό σημείο του , ενώ το κινείται στον . Σε ημιευθεία η οποία

σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα θετική γωνία ίση μα την , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου .

Ισότητα ασχέτων.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , η κάθετη πλευρά $AC$ έχει μήκος $4$ , ενώ η $AB$ έχει μεταβλητό μήκος . Στην προέκταση της $AB$ θεωρούμε σημείο $K$ , τέτοιο ώστε : $BK=2$ και γράφω τον κύκλο $(K , KB)$ , προς τον οποίο φέρω το εφαπτόμενο τμήμα $CS=m$ . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τε...

Με κέντρο το σημείο να γραφεί κύκλος , ο οποίος να τέμνει τις πλευρές

του τριγώνου , σε σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : .

Εντοπίστε το σημείο της ευθείας , για το οποίο είναι : .

Με το σημείο χωρίσαμε το τμήμα σε μέρη : και . Με διαμέτρους τις

γράψαμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο ημικύκλια , επί των οποίων κινούνται σημεία . Μπορούμε άραγε

να υπολογίσουμε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου ;

Στον ημιάξονα είναι σταθερά τα σημεία . Μεταβλητή ημιευθεία του πρώτου τεταρτημορίου

τέμνει τα τεταρτοκύκλια με κέντρο και ακτίνες και στα σημεία αντίστοιχα .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των τμημάτων .

Πρόσθετο ερώτημα : Ποια ιδιότητα πρέπει να έχει το τρίγωνο , ώστε το να είναι ισοσκελές ;

Η είναι διχοτόμος στο τρίγωνο και το σημείο της , τέτοιο ώστε : .

Αν το έχει περίμετρο και το περίμετρο , υπολογίστε μια πλευρά του .

Από το άρι ορθογώνιο έχουμε : . Αλλά : .

Αλλιώς : Το δίνει άρα το δίνει , συνεπώς : .

Τριγωνομετρική Γεωμετρία.png Η ημιευθεία $Oz$ είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{xOy}$ , ενώ η $Ot$ είναι η διχοτόμος της $\widehat{xOz}$ . Θεωρούμε σημεία $K$ της $Oz$ και $L$ της $Ot$ , τέτοια ώστε : $OL=2OK$ και γράφουμε τους κύκλους $(K) , (L)$ οι οποίοι εφάπτονται των πλευρών των γωνιών $\...

Με αρχή το σημείο ενός κύκλου σχεδιάζουμε δύο χορδές του και .

Η κάθετη από το προς την , τέμνει τον κύκλο στο , ενώ η κάθετη

από το προς την , τέμνει την στο . Δείξτε ότι : ,

Ενάρετος ημίκυκλος.png Στο ημικύκλιο διαμέτρου $AOB=2r$ , το $N$ είναι το μέσο του τόξου , ενώ το $M$ είναι το μέσο της $ON$. Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BAC}$ διέρχεται από το $M$ και τέμνει την $BC$ στο $L$ και το τόξο στο $S$ . Επίσης η $CB$ τέμνει την $ON$ στο $P$ ... α) Δείξτε ότι : $\dfr...

Μια άλλη λύση στο συνημμένο σχήμα :

Θα μπορούσαμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε την πρόταση : " Το συμμετρικό του ορθοκέντρου ως προς

την βάση είναι σημείο του περικύκλου " . Το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .

Παράκυκλος.png Αφού ευχαριστήσω τους τρεις δεινούς λύτες ( κυρίως για το κουράγιο τους λόγω των αρκετών πράξεων ) , παραθέτω και την δική μου επίσης επίπονη ( τριγωνομετρική ) λύση , χωρίς τις ανιαρές πράξεις : Είναι : $r=\dfrac{AD}{2\sin\theta} = \dfrac{5\sin B}{2\sin(B-C)}$ . Αλλά είναι : $\dfrac...

Νέο εμβαδόν.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με κάθετες πλευρές $AC=b $ και $AB=c$ , σημείο $S$ κινείται στην $AB$ . Η κάθετη της $CS$ στο $S$ και η κάθετη της $CB$ στο $B$ , τέμνονται στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $TSB$ , συναρτήσει του $x$ . Εφαρμογή : $b=5 , c=8 , x=3$ .

Ισότητα αγνώστων.png $\bigstar$ Από το σημείο $S(-3,6)$ διέρχεται ευθεία η οποία τέμνει τους ημιάξονες $Oy , Ox$ στα σημεία $B,A$ αντίστοιχα . α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου $M$ του τμήματος $AB$ . β) Η εφαπτομένη της καμπύλης ( που είναι ο παραπάνω τόπος ) , στο σημείο $M$ , τέμνει τον $O...