Ελάχιστη διαδρομή.png Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές : $AB=4$ και $AC=3$ . Μεταβαίνουμε από την κορυφή $C$ σε σημείο $S$ της πλευράς $AB$ και στην συνέχεια ( μεταβαίνουμε ) κάθετα προς την $BC$ σε σημείο της , $T$ . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος : $CS+ST$ .

Η είναι διχοτόμος του τριγώνου με : . Θεωρούμε σημείο της ,

τέτοιο ώστε : και φέρουμε , ( ). Δείξτε ότι : .

Οι πλευρές , του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : .

Η διάμεσος , το ύψος και η διχοτόμος συντρέχουν . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .

Προβολική ... Γεωμετρία.png $\bigstar$ Σε τυχόν σημείο $S$ , ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , φέρουμε εφαπτομένη και ονομάζουμε $A' , S'$ τις προβολές του μεν $A $ στην εφαπτομένη , του δε $S$ στην $AB$ . Εξετάστε αν : $AA' = AS'$ . Υπενθυμίζεται ότι η άσκηση είναι για $24$ ώρες μόνο για μαθητές . Οι με...

Σημείο κινείται στην διάμετρο , ενός ημικυκλίου . Ευθεία , η οποία εφάπτεται στο ημικύκλιο

διαμέτρου ( του ίδιου ημιεπιπέδου ) στο μέσο του , τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στα σημεία .

Βρείτε το μέγιστο του γινομένου :

Το είναι εσωτερικό σημείο του τετραγώνου και το σημείο της , ώστε στο τρίγωνο

να είναι : . Αν τα είναι συνευθειακά , υπολογίστε το : .

Φωτεινή ακτίνα παράλληλη με τον άξονα προσπίπτει στο μέσο του "καθρέπτη"

και ανακλάται , συναντώντας τον άξονα στο σημείο . Ποιο είναι το σημείο ;

Κύκλος διέρχεται από τα σημεία , και της παραβολής :

. Για ποια θέση του , ο κύκλος γίνεται ο μικρότερος δυνατός ;

Στο ορθογώνιο τρίγωνο , φέραμε το ύψος προς την υποτείνουσα και ονομάσαμε

την προβολή του στην . Αν , βρείτε την , συναρτήσει της .

Δεν είναι εικασία Θανάση Στάθη , εικασία είναι μία πρόταση , κατά πάσαν πιθανότητα αληθής , για την οποία αυτός που την διατυπώνει δεν έχει ( πλήρη ) απόδειξη , αν και είναι σχεδόν βέβαιος για την ισχύ της :lol: Εσωτερική εικασία.png Μία ακόμη εκδοχή της εκφώνησης : Ευθεία διερχόμενη από σημείο $S$...

Στο ισοσκελές τρίγωνο τα είναι σημεία του , ενώ το σημείο του .

Από σημείο του , φέρουμε τέμνουσα ημιευθεία των ημιευθειών .

Δείξτε ότι : . ( Άλλη διατύπωση εδώ )

Ελάχιστο γινομένου.png Ας υποθέσουμε ότι το ελάχιστο επιτυγχάνεται , όταν : $CT=CP$ . Τότε η $SPT$ θα είναι κάθετη προς την διχοτόμο της γωνίας $\hat{C}$ και έτσι πετυχαίνουμε ευκλείδεια λύση , άσχετα με τα δεδομένα μεγέθη . Υπολογισμοί : με : $SP=x , PT=y$ και δύο φορές το θ. Μενελάου , παίρνουμε ...

Ελάχιστο γινομένου.png Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , έχει κάθετες πλευρές : $AB=3 , AC=4$ . Στην προέκταση της $AB$ θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε : $BS=6$ . Ευθεία διερχόμενη από το $S$ , τέμνει τις ημιευθείες $CA , CB$ στα σημεία $T , P$ αντίστοιχα . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του γινομένου : $SP\cd...

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος : α) Υπολογίστε την περίμετρο ... β) Υπολογίστε το εμβαδόν .

γ) Κάντε μια παρατήρηση και δώστε εξήγηση . Τι θα συμβεί αν αλλάξουμε την ακτίνα του εγκύκλου ;

Ο έγκυκλος , του τριγώνου , εφάπτεται της σε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Υπολογίστε τις πλευρές και , καθώς και το εμβαδόν του .

Εμβαδοσυνάρτηση.png Σημείο $S$ κινείται στην μικρότερη πλευρά $BC$ , ορθογωνίου $ABCD$ . Η προέκταση της $AS$ τέμνει την προέκταση της $DC$ , στο σημείο $T$ . α) Δημιουργήστε συνάρτηση $f$ , μιας μεταβλητής , η οποία να δίνει το $(TSB)$ . β) Δείξτε ότι : $(TSB)=(DCS)$ . γ) Αν : $AB=6 , BC=4$ , για ...

* Άσκηση υψηλής δυσκολίας

Δίνεται η συνάρτηση :

α) Λύστε την εξίσωση :

β) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης .

γ) Παίρνει η συνάρτηση την τιμή ;

Πάνω στο ακτίνας τεταρτοκύκλιο , εντοπίστε σημείο , ώστε ο κύκλος

, να εφάπτεται της . Πόση είναι η ακτίνα αυτού του κύκλου ;

Το κέντρο του κύκλου , κινείται επί της ευθείας . Ο κύκλος τέμνει τον άξονα

στα σημεία . α) Λύστε - ως προς - την εξίσωση :

β) Βρείτε το όριο του γινομένου : , καθώς το αυξάνει συνεχώς .

Είναι φανερό ότι η εκφώνηση ήταν άστοχη . Ζητούμενο ήταν ο υπολογισμός των . Εντυπωσιακό

είναι το γεγονός , ότι το πρώτο αποτέλεσμα είναι ρητό , αντίθετα με το δεύτερο , εξ' ου και ο Mr. Green