Υπολογίστε το ελάχιστο της παράστασης :

Α) Με κατάλληλο τέχνασμα , παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο :

Β) Λύστε - στο - την εξίσωση :

Δεινόσαυρε , σήμερα μείνε στο "Park" σου , είναι το ωρο των μαθητών

Το μεγάλο ημικύκλιο έχει ακτίνα . Υπολογίστε την ακτίνα του τρισεφαπτόμενου κύκλου .

Ισοσκελισμένες διαδρομές.png Τα σκέλη του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι μεγαλύτερα από τη βάση $BC=a$ . Η μεσοκάθετη της $AB$ τέμνει το ύψος $AM$ στο $S$ και την πλευρά $AC$ στο $T$ . Ποια ιδιότητα πρέπει να έχει το τρίγωνο , ώστε : $SB\parallel TM$ ; Συγκρίνατε τις διαδρομές $AS+SB...

Ισεμβαδικότητα.png Σημείο $S$ κινείται επί της διχοτόμου της ορθής γωνίας του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Τα $M,N$ είναι τα μέσα των $SB,SC$ αντίστοιχα και τα $L,K$ τα σημεία τομής της υποτείνουσας $BC$ με τα $AM,AN$ αντίστοιχα . Για ποια θέση του $S$ , προκύπτει : $(AB...

Νίκο , φοβάμαι ότι έλυσες το πρόβλημα με χρήση μόνο κανόνα ( δυσκολότερο ! ) .

Η λύση με γνώμονα : Φέρω και ευθεία κάθετη στην στο .

Αυτή είναι κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων ( γιατί ; )

Το σχήμα ...

Μεγάλες κατασκευές 16.png Στο εσωτερικό της σαρανταπεντάρας γωνίας $\widehat{xOy}$ βρίσκονται τα σημεία $S$ και $P$ . Κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με το $A$ στην $Ox$ και τα $B,C$ στην $Oy$ , έτσι ώστε οι ( ίσες ) $AB,AC$ να διέρχονται , η μία από το $P$ και η άλλη από το $S$ .

Φυσικά ! Ήταν μια από τις πλέον δημοφιλείς δημοσιεύσεις εκείνης της εποχής . Νάτη

Από την κορυφή ορθογωνίου , φέρουμε . Ονομάζουμε

τα μέσα των αντίστοιχα . Δείξτε ότι .

Πάνω από το πλευράς τετράγωνο σχεδιάζουμε ισοσκελές τρίγωνο

, ύψους και τετράγωνο . α) Υπολογίστε το τμήμα .

β) Υπολογίστε το λόγο και την οξεία γωνία των τμημάτων και .

Το είναι ένα οποιοδήποτε ισοσκελές , το τετράγωνο ,

ενώ το ισόπλευρο . Δείξτε ότι το άθροισμα : είναι σταθερό .

Το είναι ισοσκελές , το ισόπλευρο , το τετράγωνο και το μέσο

της . Υπολογίστε τις γωνίες του ισοσκελούς , ώστε τα να είναι συνευθειακά .

Οι είναι οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου .

Αν , υπολογίστε την . Εφαρμογή : Θεωρήστε ότι : .

Υπολογίστε την πλευρά του τετραγώνου . Αν ,

υπολογίστε επιπλέον και το κάθετο προς την , τμήμα .

Ο κύκλος διέρχεται από το κέντρο του . Καλείσθε να σχεδιάσετε μια κοινή

εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων , διαθέτοντας μόνο έναν γνώμονα .

Σημείωση : Τα περί γωνίας είναι περιττά αφού έχουμε δύο σημεία της εφαπτομένης .

Η ασύμπτωτη είναι βέβαια η , αλλά ας εκτιμηθεί η προσπάθεια ( αφού το θέμα "ελαφρύνθηκε" )

Η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου είναι διάμετρος ενός ημικυκλίου .

Η διχοτόμος τέμνει το τόξο στο σημείο . Αν , βρείτε το : .

Το σημείο είναι το μέσο του ημικυκλίου . Υπολογίστε την υπόλοιπη διάμετρο .

Να είσθε βέβαιοι , ότι θα υπάρξει και διαφορετική λύση από αυτήν που θα δώσετε !

Σταθερού μήκους.png Στο σκέλος $AB$ και στην προέκταση του σκέλους $AC$ , ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , παίρνουμε σημεία $S,Q$ , ώστε : $BS=CQ$ . Φέρουμε $SP\perp BC$ . Η $SQ$ τέμνει τη βάση $BC$ στο $T$ . Δείξτε ότι το μήκος του τμήματος $PT$ είναι ανεξάρτητο από την επιλογή της θέσης ...