Η είναι διχοτόμος του τριγώνου και η κάθετη σ' αυτή τη διχοτόμο .

Δείξτε ότι : . Μέχρι τη δύση του ήλιου του Πρ. Ηλία , μόνο για μαθητές .

Έλλειψη vs Παραβολή.png Υπάρχει και έλλειψη και παραβολή αλλά έχουν κοινά σημεία τα Α, Β και το μέσο της ακτίνας που είναι κάθετη στην ΑΒ. S στην θέση που υπαινίσσεται το σχήμα δεν ... Ακριβώς ! Αν ήταν $SP=SQ$ , το $S$ θα ήταν σημείο της μπλε έλλειψης ( η τριπλή ισότητα μόνο στις θέσεις $A,M,B$ μπ...

Υπερμενέλαος.png Στην προέκταση της διαμέτρου $AOB=2r$ ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο $T$ , ώστε : $BT=3r$ . Πάνω στη μεσοκάθετο της διαμέτρου θεωρούμε τυχόν σημείο $P$ . Ονομάζουμε $D$ την τομή του τόξου με την $PB$ , $C$ την τομή του τόξου με την $TD$ και $S$ την τομή των $AC,PB$ . Δείξτε ότι ...

Μέγιστη γωνία.png Το σημείο $S$ κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου $AOB$ , ενώ το $T$ είναι ένα σταθερό σημείο του ίδιου ημιεπιπέδου ,έξω από το ημικύκλιο . Ευθεία διερχόμενη από το $T$ και από το μέσο $M$ της ακτίνας $OS$ , τέμνει το τόξο στα σημεία $Q$ και $P$ . Υπολογίστε το μέγιστο μέτρο της γωνία...

Το τμήμα είναι κάθετο τη διάμετρο του ημικυκλίου και είναι η

απόσταση του μέσου του από το τόξο . Δώστε μιαν εξήγηση του τίτλου της άσκησης .

Δείτε το θέμα χαλαρά και μην εγκαλέσετε το θεματοδότη για ασάφεια στη διατύπωση

Σημείο κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου και η είναι διχοτόμος

στο τρίγωνο . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του .

Στο ορθογώνιο τραπέζιο , όλες του οι πλευρές έχουν ακέραια μήκη .

Οι άνισοι κύκλοι και εφάπτονται μεταξύ τους και του τμήματος .

Δώστε τη δική σας λύση . Όσο μικρότερα τα νούμερα τόσο καλύτερα !

Υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου του σχήματος .

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης :

Οι κορυφές και του ορθογωνίου τριγώνου είναι σταθερές , ενώ η κορυφή

κινείται επί της ευθείας . Η διάμεσος και το ύψος τέμνονται στο .

Βρείτε την καρτεσιανή έκφραση του γεωμετρικού τόπου του σημείου . Διερεύνηση !

Στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , εντοπίστε σημείο ,

ώστε αν φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την χορδή ,

το σημείο τομής του τόξου με το τμήμα , να είναι το μέσο του .

Το είναι το κέντρο του ημικυκλίου . Εξηγήστε γιατί είναι : .

Υπολογίστε τα μήκη αυτών των ίσων τμημάτων συναρτήσει της ακτίνας .

Μέσο επί της μεσοκαθέτου.png Οι κύκλοι $(O,R)$ και $(O,r),r<R$ είναι ομόκεντροι , το $S$ τυχόν σημείο του μεγάλου κύκλου και η $AB$ διάμετρος του μικρού . Οι $SA,SB$ τέμνουν τον μεγάλο κύκλο στα $C,D$ αντίστοιχα . Οι εφαπτόμενες του μεγάλου κύκλου στα $C,D$ τέμνονται στο σημείο $T$ . α) Δείξτε ότι ...

Συμμετρικό και μέγιστο ύψος.png Η $AB$ είναι διάμετρος κύκλου $(O,r)$ , το σημείο $P$ κινείται στο "βόρειο" ημικύκλιο και τα $M,N$ είναι τα μέσα των $AP,OP$ αντίστοιχα . Ονομάζουμε $T$ την τομή της $BN$ με το κύκλο και $S$ την τομή της $TM$ μ' αυτόν . α) Δείξτε ότι το $S$ είναι το συμμετρικό του $P...

Σε ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε σημείο επί της εφαπτομένης του στο άκρο και

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Πως θα επιλέξουμε το , ώστε : ;

Στον κύκλο το σημείο είναι η "Ανατολή" και το ο "Βορράς" .

Το σημείο κινείται στο μεγάλο τόξο και η είναι η διχοτόμος

της . Αναζητούμε το μέγιστο του . Δεν έχω λύση ...

Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με και , σχεδιάσαμε η διχοτόμο .

Σχεδιάστε κύκλο , ο οποίος να διέρχεται από τα και να τέμνει τις σε σημεία

αντίστοιχα , ώστε : . Υπολογίστε τώρα το άθροισμα : .

Ποιο ήταν τελικά το "κόλπο" ; Το μεγάλο τέτοιο ήταν να μπούμε στη διαδικασία εύρεσης ποικιλίας λύσεων , άρα πέτυχε . Η άσκηση προέκυψε όταν ο φιλότιμος κος KARKAR πειραματιζόταν πάνω σε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων , οπότε βλέποντας τις συντεταγμένες των $K,N$ αμέσως "χτύπησε καμπανάκι" . Ε...

Μη πρόοδος.png Σε σημείο $P$ της ακτίνας $OA$ , τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , υψώνουμε το κάθετο τμήμα $PT$ . Η εφαπτομένη του τόξου στο $T$ , τέμνει την προέκταση της $OA$ στο σημείο $S$ . Υπάρχει θέση του $P$ , τέτοια ώστε τα τμήματα : $OP,PA,AS$ να αποτελούν διαδοχικούς όρους είτε αρι...

Στο ορθογώνιο τρίγωνο , οι κορυφές είναι σταθερές , ενώ η μετακινείται .

Η διάμεσος τέμνει το ύψος στο σημείο . Υπολογίστε την , τη στιγμή

που ο λόγος ελαχιστοποιείται .