Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές.png Άσκηση του τύπου : "Όποιος δεν έχει βάσανα ..." . Παλιά ρωτάγαμε : Έχετε αρκετό χαρτί ; Τώρα : Είστε διατεθειμένοι να ταλαιπωρήσετε το λογισμικό σας ; Λοιπόν , σχεδιάστε ορθογώνιο $ABCD$ , στο οποίο η διαδρομή $A-S-T$ , να είναι ίση με την $N-P-Q$ , ( $T,S,N$ συνευθ...

Ένα παράδειγμα σε σχήμα :

, επομένως :

Μπορούμε να συντομεύσουμε κατά τι τη λύση , παρατηρώντας ότι για να έχει δυο ρίζες αντίθετες

η εξίσωση : , πρέπει : .

Σωτήρη έπιασες την "ραχοκοκαλιά" της άσκησης , αλλά ας μην υποτιμούμε και τις "σάρκες " .

Υποθέτω ότι θα επανέλθεις με τα "υπολογιστικά "

Άψογη η λύση του Μιχάλη . Όπως , όμως , θα έλεγε και Γιώργος Ρίζος , παλιότερα αυτά τα λύναμε και χωρίς παράγωγο .

Μπορούμε να το κάνουμε και σ' αυτήν την άσκηση ( για να είναι και η λύση συμβατή με τον παρόντα φάκελο ) ...

Η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα και ολοκληρώσιμη στο $[0,+\infty)$ , με : $f(0)=0$ . Για τους πραγματικούς $a,b$ ισχύει : $0<a<b$ . Κάποιος ισχυρίζεται το : $\displaystyle\int_{0}^{b} af(x)dx$ , είναι πάντα μεγαλύτερο από το : $\displaystyle\int_{0}^{a}bf(x)dx$ . Συμφωνείτε ; Αν όχι δώστε ένα ...

Βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης : , αν γνωρίζετε ότι είναι το αντίθετο του ελαχίστου της .

Η απάντηση είναι απολύτως σωστή . Για να γίνει αντιληπτό για ποιες διαφορές μιλάμε , το πρώτο εμβαδό

είναι περίπου : , ενώ το δεύτερο : . Τουλάχιστον εντυπωσιακό

Στριφνή ισότητα.png Περιληπτικά η λύση που είχα σχεδιάσει (σχεδόν ίδια με αυτή του Μιχάλη ) : Κλίση μας δίνει : $\dfrac{144-9t-39s}{13(t-s)}=\dfrac{1}{3}$ , ενώ η ισότητα των τμημάτων : $(3-s)^2+(9-3s)^2=(t-16)^2+\dfrac{9}{169}(t-16)^2$ . Η λύση του συστήματος ( δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται ...

Παιγνιώδης ισότητα.png Πάνω στην μεσοκάθετη ακτίνα $ON$ , της διαμέτρου $AOB=2r$ ενός ημικυκλίου , να εντοπίσετε σημείο $T$ τέτοιο ώστε , αν η $AT$ τέμνει το τόξο στο σημείο $S$ , να προκύπτει : $TS=TO$ . Η άσκηση μπορεί να λυθεί με πολλούς τρόπους . Γράψτε μόνο έναν στο επόμενο εικοσιτετράωρο :mrg...

Η λύση του προτείναντος : Η διχοτόμος της , τέμνει την παράλληλη της από το , στο σημείο .

Η μεσοκάθετος του τέμνει την στο . Φέρω : . Το είναι παραλληλόγραμμο .

στριφνή γενίκευση.png Μιχάλη ίσως δεν έγινε κατανοητό το γενικό ερώτημα : Έχουμε ένα τρίγωνο $ABC$ και μια ευθεία $\varepsilon$ . Να αχθεί τμήμα : $ST \parallel \varepsilon$ , τέτοιο ώστε : $AS=TC$ . Η προσπάθεια επίλυσης με χρήση συντεταγμένων δεν αντέχεται . Μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί στο παρά...

Εξ ίσου ενδιαφέρουσα ίσως , είναι η εξής παραλλαγή : Για :

και : , δείξτε ότι : . Στη συνέχεια , για το αρχικό

παράδειγμα , βρείτε την διαφορά : , αν : .

Μια παρατήρηση τουλάχιστον σπουδαιοφανής . Αν : , τότε : ,

με το να είναι ένας πολύ μικρός θετικός αριθμός , π.χ. για : , προκύπτει : .

Στο τρίγωνο του σχήματος , καλείστε να βρείτε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,
τέτοια ώστε : και : .
Προσπαθήστε τώρα να κάνετε το ίδιο , σε τυχόν τρίγωνο και τμήμα οποιασδήποτε διεύθυνσης .

ρητά όλα.png Μετά τον υπολογισμό των ίσων τμημάτων ( γίνεται και με νόμο συνημιτόνων ) , για τον υπολογισμό των εμβαδών , με χρήση του τύπου : $\dfrac{1}{2}\vdot x\cdot x\cdot \sin\phi$ , βρίσκουμε : $X=\dfrac{360}{121} , Y=\dfrac{480}{169}$ . με τον λόγο : $\dfrac{X}{Y}=\dfrac{507}{484}\simeq 1.04...

4=7.png Το μικρότερο από τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια , κοινού κέντρου $O$ , έχει ακτίνα $4$ και το μεγαλύτερο $7$ . Από σημείο $S$ της προέκτασης της κοινής τους διαμέτρου , φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα $ST , SP$ . Αν $T' , P'$ οι προβολές των $T , P$ στην διάμετρο , βρείτε τη θέση του $S$ , ώστε : $(...

Η κάθετη πλευρά , η διάμεσος και η υποτείνουσα , του ορθογωνίου τριγώνου ,

είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου . Βρείτε τον λόγο , αυτής της προόδου .

Όχι , πες τε μου και σεις , δεν είναι αξιοθαύμαστος :?: Όσο για την επιλογή του φακέλου : Που θα έπρεπε να τοποθετήσει κανείς ένα τέτοιο θέμα , από την στιγμή που δεν υφίσταται πλέον ο φάκελος : "Βασανιστικά Μαθηματικά " ; Υπάρχει βέβαια και η επιλογή :"μην το ανεβάζεις" αλλά όλο και κάποιος θα βρει...