Το ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος έχει εμβαδόν και ύψος .

Επίσης είναι : . Υπολογίστε την περίμετρό του .

Μεσοκάθετη χορδή.png Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο $ABCD$ , προεκτείνουμε την βάση $AB$ κατά τμήματα : $AP=BQ=x$ . Η μεσοκάθετη της $AD$ ( και της $BC$ ) , τέμνει τον κύκλο που διέρχεται από τα $P , D , C , Q$ , στα σημεία $S , T$ . Υπολογίστε το μήκος $m$ της χορδής $ST$ . Εφαρμογή : Στο π...

Στο επίπεδο του τεταρτοκυκλίου , μεταβλητής ακτίνας , κινείται σημείο , με : .

Βρείτε την μέγιστη τιμή του , την ακτίνα καθώς και την , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

Εντυπωσιακή διχοτόμος.png Στο τετράγωνο $ABCD$ , το τεταρτοκύκλιο $(D , \overset{\frown}{AC})$ τέμνει τη διαγώνιο $BD$ στο σημείο $T$ . Η παράλληλη από το $T$ προς την $AB$ , τέμνει το τεταρτοκύκλιο $(A , \overset{\frown}{BD})$ στο σημείο $S$ . Από σημείο $P$ της προέκτασης της $AB$ , φέρω την εφαπ...

Το τρίγωνο του σχήματος , είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο .

Α) Βρείτε το , ώστε το εμβαδόν ( και η περίμετρος ! ) να είναι .

Β) Βρείτε το , ώστε το εμβαδόν του να είναι το ελάχιστο δυνατό .

Το είναι τετράγωνο . Βρείτε την εξίσωση της έλλειψης του σχήματος . Υπόδειξη : Μην ασχολείστε !

Δύο κλάδοι των Μαθηματικών.png Σε κύκλο $(O,r)$ σχεδιάζουμε τις ακτίνες $OA , OB$ και ονομάζουμε $M$ το μέσο της $OB$ . Η ημιευθεία $AM$ , τέμνει τον κύκλο στο σημείο $S$ . Θέλουμε να είναι : $MS=2AM$ . Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ύλη από διάφορους κλάδους των σχολικών Μαθηματικών .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με υποτείνουσα , φέραμε το ύψος , την διχοτόμο

και την διάμεσο . Αν είναι : , υπολογίστε τον λόγο : .

Να λυθεί η εξίσωση :

ιδιόμορφη.png Από όμοια $DSC , ASE$ , έχουμε : $\dfrac{z}{13}=\dfrac{a}{a+x}$ Από όμοια $DTC , BTE$ , έχουμε : $\dfrac{a}{x}=\dfrac{z+4}{9}=\dfrac{b-y}{y}$ . Ο Μενέλαος δίνει : $\dfrac{a}{a+x}\cdot\dfrac{a+x}{x}\cdot\dfrac{9}{z+4}=1$ Το σύστημα δίνει : $z=2\sqrt{13}$ και : $x=\dfrac{\sqrt{13}-2}{2}...

Όσο το δυνατόν ψηλότερα.png Πάνω στην εφαπτομένη του κύκλου $(O,r)$ στον βόρειο πόλο του $N$, θεωρούμε σημείο $P$ , το οποίο συνδέουμε με τη "Δύση" $W$ του κύκλου . Θεωρούμε τώρα σημείο $S$ , νότια του $W$ και τέτοιο ώστε : $\widehat{WPS}=\widehat{NPW}$ . Βρείτε την "ψηλότερη" δυνατή θέση του $S$ κ...

Στο τρίγωνο με γνωστές πλευρές και γωνίες , η εφαπτομένη του περικύκλου

στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το εφαπτόμενο τμήμα .

Δίπλα στον κύκλο να σχεδιαστεί άλλος κύκλος εφαπτόμενος στο πρώτο , με την ιδιότητα :

Αν το εφαπτόμενο προς τον , τμήμα , τέμνει τον στο σημείο , να είναι : .

Είναι η συνεχής στο ;

Γινόμενο διαγωνίων.png Η πλευρά $AB=6$ του παραλληλογράμμου $ABCD$ , είναι η διάμετρος του ημικυκλίου ενώ η κορυφή $D$ κινείται στο τόξο . Βρείτε το μέγιστο του γινομένου $AC \cdot BD$ των διαγωνίων του παραλληλογράμμου . Υπενθυμίζεται ότι σε κάθε θέμα ακροτάτου , απαιτείται και η εύρεση του πότε α...

Λόγος κατά την μεγιστοποίηση.png Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει μεταβλητές πλευρές αλλά σταθερό εμβαδόν $E$ . Με κάθετη πλευρά την υποτείνουσα $BC$ κατασκευάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο $CDB$ , ίσου εμβαδού . Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{DS}{AC}$ , κατά την στιγμή που το $D$ βρίσκεται στην ψηλότερη δυν...

Ορθογώνιο σε ισόπλευρο.png Στο πλευράς $9$ ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ , θεωρούμε σημεία $S , P , T$ των πλευρών $AB , BC , CT$ αντίστοιχα ώστε : $AS=4 , BP=1 , CT=3$ . Είναι απλό να δούμε ότι το τρίγωνο $SPT$ είναι ορθογώνιο . Μπορούμε να θεωρήσουμε άλλα , αλλά ακέραια τμήματα $AS , BP , CT$ , ώστε να...

Σε κύκλο ακτίνας , θεωρούμε τρεις διαδοχικές χορδές :

. Υπολογίστε την χορδή .

Στο τρίγωνο με πλευρές , υπολογίστε την απόσταση του εγκέντρου από το βαρύκεντρο .

Στο ορθογώνιο υπάρχει σημείο της , ώστε αν η τέμνει την

στο να είναι : , ( το κέντρο του ορθογωνίου ) . Υπολογίστε το τμήμα .