Στο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι : . Στο εξωτερικό ημικύκλιο ,

διαμέτρου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε : .

Η κάτω κορυφή.png Κύκλος διερχόμενος από τα σημεία $B(0,5)$ και $S(1,2)$ , τέμνει τις πλευρές $OB$ και $BA$ του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $OAB$ , στα σημεία $P$ και $T$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι η τέταρτη κορυφή $Q$ , του παραλληλογράμμου $BPQT$ , είναι σημείο της ευθείας $OA$ .

Το ορθογώνιο τρίγωνο , έχει κάθετες πλευρές και .

Σχεδιάστε το ορθογώνιο και το ισεμβαδικό του τετράγωνο .

Το σημείο κινείται στην κάθετη στο άκρο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου .

Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα και το . Βρείτε - αν υπάρχει - κάποια σχέση

μεταξύ των γωνιών : .

Η άσκηση βρίσκεται στον φάκελο της Άλγεβρας Α' Λυκείου . Η καθετότητα λοιπόν προτιμότερο να δειχθεί

με το Πυθαγόρειο Θεώρημα . Όμως η εύρεση των σημείων , απαιτεί λύση εξίσωσης 4ου βαθμού

η οποία είναι εκτός ύλης για την συγκεκριμένη τάξη...

Ορθώς σκεπτόμενοι.png Η $AB$ είναι διάμετρος ενός κύκλου και τα $C , D$ τυχαία σημεία , ένα στο βόρειο και ένα στο νότιο ημικύκλιο αντίστοιχα . Έστω $S$ η προβολή του $A$ στην χορδή $CD$ και : $M , N$ τα μέσα των τμημάτων $SD , CB$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $\widehat{AMN}=90^\circ$ .

Παραβολή και κύκλος.png Κύκλος με κέντρο $O$ και ακτίνα $r$ , τέμνει την παραβολή με εξίσωση : $f(x)=x^2-\dfrac{7}{2}x-2$ στα σημεία $A, B , C , D$ , με το $A$ στο $1o$ τεταρτημόριο , το $B$ στο $2o$ και τα $C , D$ , στο $4o$ . Αν τα $B , C$ είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου , δείξτε ότι η γων...

Να λυθεί η εξίσωση :

Τύπος παραβολής.png 1) $f(a)=0 $ ,άρα : $k=ma^2$ ... 2) $f(6)=8 $ , άρα : $36m-k=8$ 3) $(6-a , 8)(c-a , mc^2-k)=0$ και ... 4) $c^2+(mc^2-k)^2=25$ . Με επιδέξιους αλγεβρικούς χειρισμούς βρίσκουμε ( λόγω και των περιορισμών ) ως μοναδική δεκτή λύση , την τετράδα : $(a , c , k , m )= (2 , -4 , 1 , \df...

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού , βρείτε ( προσεκτικά ! ) ,

το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης : .

Τμήμα και εφαπτομένη.png Προεκτείνω την χορδή $BA$ , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα : $AS=BA$ και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα $SP$ , το οποίο τέμνει την προέκταση της $OA$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $AT$ ( συναρτήσει της ακτίνας $OA=r$ ) και την $\tan\theta$ .

Βρείτε την εξίσωση της παραβολής αξιοποιώντας στοιχεία του παρατιθέμενου σχήματος .

, , με : , για :

Λύση με χρήση παραγώγου . Υπάρχουν κι άλλοι τρόποι ...

Στο σχήμα του Γιώργου το ορθογώνιο , έχει εμβαδόν . Αλλά και :

. Επομένως : .

Βέβαια , με την λύση του Γιώργου έχουμε και την τιμή του εμβαδού ...

Ένα από τα σημεία τομής των κύκλων και , είναι το . Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων

στο σημείο , τους ξανατέμνουν στα σημεία . Ονομάζω το συμμετρικό του , ως προς

το μέσο της διακέντρου . Δείξτε ότι : .

Να συγκριθούν τα εμβαδά και των μικτόγραμμων τριγώνων του σχήματος .

( Οι διακεκομμένες γραμμές είναι παράλληλες προς τους άξονες )

Οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο και ισχύουν :

και : . Δείξτε ότι : .

Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το παραπάνω λήμμα χωρίς απόδειξη ;

Το : , είναι στα δεδομένα της άσκησης , όχι στα συνεπαγόμενα

Σωστά ! Όμως επιπλέον πρέπει :

Αναγνωρίστε το ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Αν χρειαστείτε βοήθεια , τα λέμε ...

Οι είναι φυσικά όλοι τους θετικοί ακέραιοι και ισχύει : .