Την ανέφερα χτες στην συνάντηση των εποπτών. Το ανέβασμα του σχήματος μου έκανε κάτι νερά...

Η $f''(x)=\dfrac{e^{ln^2{x}}(ln^2{x}-2lnx+2)}{x^2}>0$ στο $[1,e]$ άρα η εφαπτόμενη ''από κάτω''.

Η εφαπτόμενη στο $B(e,e)$ είναι $y=2x-e$ και τέμνει την $y=1$, εφαπτόμενη στο $A(1,1)$ στο $D(\frac{e+1}{2},1)$. Η $y=1$ τέμνει την $x=e$ στο $F(e,1)$

Το ορθογώνιο με διαστάσεις e-1, 1 και το τρίγωνο ...

Δημοσίευσα αυτή τη λύση γιατί θεώρησα ότι κάποιοι μαθητές θα έπαιρναν αυτή την οδό, όπως και ήδη είδα. Για να δείξω ότι δεν ήταν αδιέξοδη αλλά πολύ κοπιαστική. Είδα και παρατημένη στη μέση αυτή την λύση και σβησμένη.

είχα ξεχάσει ένα 2 στον εκθέτη του έξω e

Μία λύση μου για το Δ4 συνοπτικά γραμμένη

$g(x)=\frac{x+e^x}{e^x}.\frac{1-x}{e^x}=(x+e^x)(1-x)e^{-2x}=$...$=(x-x^2)e^{-2x}+(1-x)e^{-x}$

Αρα... $\int g(x)dx=\frac{1}{2}e^{-2x}x(x+2e^x)$ με παραγοντική ολοκλήρωση

Και....$E=-\int_{-ln2}^{\rho}g(x)dx+\int_{\rho}^{0}g(x)dx=$ ... $=-e^{-2\rho}\rho(\rho ...

Μια χαρά Παναγιώτη. Η άσκηση έπρεπε να λέει

Αν η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο και η δεν είναι παραγωγίσιμη στο τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Σ Λ

γ) διαρώντας με κατά περίπτωση την δοσμένη

Δίνεται η $g(x)=x^2-2lnx-1,x>0$ και η $f:R \to R$ δυο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε $x>0$ $(x-1)f'(x) \geq g(x)$

α) μονοτονία και σύνολο τιμών της $g$

β) μονοτονία $f$ και ν.δ.ο. $f'(1)=0$

γ) ν.δ.ο. $f''(1)=2$ και να εξετάσετε αν παρουσιάζει καμπή στο $x_0=1$

δ) ν.δ.ο. $\lim_{x \to +\infty}f(x ...

Αν και τότε και είναι παραγωγίσιμες στο ενώ η δεν είναι παραγωγίσιμη στο . Αντιβαίνει αυτό στον κανόνα αλυσίδας;

2. Αν η $f$ κοίλη και γνήσια φθίνουσα στο $R$ τότε το όριο της στο $-\infty$ ισούται με $-\infty$. Σ. Λ


Εδώ προφανώς υπάρχει τυπογραφικό.
Φαντάζομαι θέλατε να γράψετε,
"Το όριό της στο $+\infty$ ισούται με $-\infty$".


Ο διάλογος πάντα δημιουργικός.Ας το προσθέσουμε σαν Σ Λ 4.
Ευχαριστώ

1. Αν $f$ ορισμένη και στρέφει τα κοίλα πάνω στο $R$ με όρια όταν $x \to +\infty$ και στο $-\infty$ να ισούνται με $+\infty$ τότε η $f$ έχει έλαχιστη τιμή. Σ Λ
2. Αν η $f$ κοίλη και γνήσια φθίνουσα στο $R$ τότε το όριο της στο $-\infty$ ισούται με $-\infty$. Σ. Λ
3.Αν $f$ δυο φορές παραγωγίσιμη στο ...

Να αναφέρω ακόμη ένα παράδειγμα παρότι δεν είναι Γ' Λυκείου αλλά έχει προκαλέσει και ακόμη προκαλεί συζήτηση.

Αν $a^2 \neq a$ τότε $a \neq 1$ Σ Λ

Έχω ακούσει την εκδοχή Σωστό αφού όταν το τετράγωνο ενός αριθμού διαφέρει από τον αριθμό τότε ο αριθμός δεν είναι 1

αλλά και την εκδοχή Λάθος αφού ...

Το Σ Λ είναι από το study4exams. Την ανέβασα για να συζητηθεί, επειδή κάποιοι συνάδερφοι την θεωρούν σωστή με το επιχείρημα ότι το συμπέρασμα δεν είναι ότι λύση της δ.ε. είναι η $f(x)=e^x+c$ αλλά ότι υπάρχει c ώστε αυτή να είναι λύση της διαφορικής. Την ανέβασα γιατί δημιουργεί σε κάποιους λογικά ...

Αν για κάθε , τότε υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε

Σωστό ή λάθος;

Πηγή: study4exams

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ;

Αν , και γνήσια φθίνουσα τότε και

Αν για κάθε τότε η αντίστροφη είναι προφανής; Ενας συνάδελφος θεωρεί ότι πρέπει να αποδεικνύεται ότι για κάθε . Άλλοι διαφωνούν.

Αν γνήσια αύξουσα τότε γνήσια μονότονη Σ Λ

f παραγωγίσιμη με και για την οποία ισχύει , για κάθε . Ν.δ.ο.

Αν γνήσια αύξουσα ας δείξουμε ότι και δεν τέμνονται εκτός της

και άρα

άρα

και για



Ατοπο