Συμφωνώ με την ανακοίνωση και την υπογράφω.
Θοδωρής Καραμεσάλης - Μαθηματικός

ΑΛΛΙΩΣ: Με Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο $BMC$ βρίσκουμε $MC=\dfrac{\alpha \sqrt{5}}{2}$ και στο ίδιο τρίγωνο οι προβολές $SM$, $SC$ των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα είναι αντίστοιχα ίσες με $SM=\dfrac{\alpha \sqrt{5}}{10}$ και $SC=\dfrac{2\alpha \sqrt{5}}{5}$. $\dfrac{(SMD)}{(DSC)}=\dfrac{SD\...

i) $A_{f}=\mathbb{R}-\left \{ c^{2} \right \}$. Αφού η συνεχής ως ρητή $f$ έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία $x=1$, δε θα ορίζεται στο $1$, οπότε $c^{2}=1\Leftrightarrow c=\pm 1$. Αφού η ευθεία $\varepsilon :y=2x-1$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $C_{f}$ στο $+\infty$, θα ισχύουν : $\underset{x\right...

ii) Πρώτα βρίσκουμε τις ρίζες της ${f}'$: Αν $x_{o}$ είναι ρίζα της ${f}'$, τότε η (1) για $x=x_{o}$ δίνει: $1=-x_{o}^{3}+x_{o}^{2}+x_{o}\Leftrightarrow x_{o}=\pm 1$. H $x= 1$ είναι ρίζα της ${f}'$ (από το (α)) και η $x= -1$ είναι επίσης ρίζα, αφού η (1) για $x= -1$ δίνει: $e^{{f}'(-1)}+{f}'(-1)-1=0...

2_22507 Δίνεται η εξίσωση : $x^{2}+y^{2}+10y+16=0$ (1) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο $K(0,-5)$ και ακτίνα $\rho =3$. (Μονάδες 12) β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του παραπάνω κύκλου. (Μονάδες...

Οι νέες ασκήσεις που δεν έχουν λυθεί: 2_22538 2_22537 2_22536 2_22534 2_22533 2_22532 2_22531 2_22530 2_22529 2_22527 2_22525 2_22524 2_22523 2_22522 2_22521 2_22520 2_22519 2_22518 2_22517 2_22516 2_22515 2_22514 2_22512 2_22511 2_22510 2_22509 2_22508 2_22507 2_22506

2_22505 Δίνονται τα διανύσματα $\vec{\alpha }$ , $\vec{\beta }$ και $\vec{u}=\vec{\alpha}+2 \vec{\beta }$ , $\vec{v}=5\vec{\alpha}-4 \vec{\beta}$ για τα οποία ισχύουν: $\vec{u}\perp \vec{v}$ και $|\vec{\alpha} |=|\vec{\beta} |=1$. α) Να αποδείξετε ότι $\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta} =\frac{1}{2}$. (...

4_22587 Σε καρτεσιανό σύστημα $Oxy$, θεωρούμε τα σημεία $M(x,y)$, $A(-25,0)$ και $B(-1,0)$ για τα οποία ισχύει $|\overrightarrow{AM}|=5|\overrightarrow{BM}|$. α) Να αποδείξετε ότι το σημείο $M$ ανήκει στον κύκλο $C:x^{2}+y^{2}=25$ . (Μονάδες 10) β) Θεωρούμε το σημείο $\Sigma (7,1)$. i. Να εξετάσετε...

4_22331 Στα άκρα της χορδής $AB=R\sqrt{2}$ ενός κύκλου $(O,R)$, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $\Sigma A$ και $\Sigma B$. Αν η $\Sigma O$ τέμνει το τόξο $AB$ στο σημείο $M$, τότε: 22331.png α) Να αποδείξτε ότι: i) το τρίγωνο $AOB$ είναι ορθογώνιο, (Μονάδες 10 ) ii) $\Sigma M=R(\sqrt{2}-1)$. (Μονάδες...

4_20339 Μια ρόδα ποδηλάτου περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της. Σημειώνουμε ένα σημείο $P$ της ρόδας (όπως φαίνεται στο σχήμα), το οποίο τη χρονική στιγμή $t = 0$, είναι το σημείο επαφής της ρόδας με μια επιφάνεια. Η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση $h$ (σε m) του σημείου $P$ από την επιφάνεια,...

4_22560 Σε καρτεσιανό επίπεδο $Oxy$ θεωρούμε κύκλο $C$ που διέρχεται από τα σημεία $A(0,2)$ , $B(−2,4)$ και $\Gamma (0,6)$. α) Να αποδείξετε ότι $C:x^{2}+(y-4)^{2}=4$. (Μονάδες 10) β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του κύκλου $C$ . (Μο...

4_22335 Ιδιοκτήτης μεγάλης ακίνητης περιουσίας διαθέτει προς πώληση μια ιδιοκτησία του, η οποία περιλαμβάνει τρία διαδοχικά οικόπεδα με συνολική πρόσοψη 195 m σε ακτή θάλασσας, τα οποία αποτυπώνονται στο σχέδιο που ακολουθεί. Οι επιφάνειες της ιδιοκτησίας και των οικοπέδων είναι σχήματος ορθογωνίου...

Να συμπληρώσω ότι για να υπάρχει τρίγωνο με πλευρές πρέπει να ισχύει η τριγωνική ανισότητα απ' όπου προκύπτει τελικά και .
Για του λόγου το αληθές επισυνάπτω αρχείο Geogebra.

GI_V_ALG_2_19913 Έστω η συνάρτηση $f(x)=\left (\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x \right )^{2}$, $x\epsilon \mathbb{R}$ α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=1+\eta \mu 2x$, για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$ Μονάδες 12 β) Να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f. Μονάδες 13 ΛΥΣΗ α) Για κ...

GI_V_GEO_2_19023 Στο παρακάτω σχήμα, τα πολύγωνα ΑΒΓΔΕ και ΚΛΜΝΡ είναι όμοια και έχουν $\widehat{\Delta }=\widehat{N}$ και $\widehat{B}=\widehat{\Lambda }$ . α) Να προσδιορίσετε το λόγο ομοιότητάς τους. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) β) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΕ. (Μονάδ...

GI_V_GEO_2_19019 Στο σχήμα που ακολουθεί ισχύουν ΑΒ//ΔΓ, ΑΕ=6, ΑΒ=8, ΓΕ=15 και ΔΕ=10. 19019.png α) Να βρείτε δυο ζεύγη ίσων γωνιών των τριγώνων ΑΕΒ και ΔΕΓ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΔΕΓ είναι όμοια και να γράψετε την ισότητα των λόγων τω...

GI_V_ALG_2_17699 Δίνεται $\eta \mu \phi =\frac{3}{5}$, όπου φ η οξεία γωνία που σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε) του παρακάτω σχήματος. http://s2.postimg.org/z12d02kll/17699.jpg α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γων...

GI_V_ALG_2_17663 Αν $0<x<\frac{\pi }{2}$ και $(2 \sigma\upsilon \nu x+1)\cdot (5 \sigma\upsilon \nu x-4)=0$, τότε: α) Να αποδείξετε ότι $\sigma\upsilon \nu x=\frac{4}{5}$. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α) Αφού $0<x<\frac{\pi }{2}$ (1...

GI_V_GEO_4_19034 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Μ, Λ και Ζ πάνω στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα τέτοια, ώστε $AM=\frac{1}{2}AB$, $A\Lambda =\frac{2}{3}A\Gamma$ και $BZ=\frac{1}{3}B\Gamma$. α) Να αποδείξετε ότι $(AM\Lambda )=\frac{1}{3}(AB\Gamma )$. (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι $\frac{(MZ\...

GI_V_ALG_2_17732 Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f: ℝ→ℝ, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία Α(2, 3) και Β(4, 5) . α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f. (Μονάδες 13) β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, να δείξετε ότι f(0)>0. (Μονάδες 12) ΛΥΣΗ...