Η αναζήτηση βρήκε 7775 εγγραφές

από Demetres
Πέμ Φεβ 20, 2020 4:38 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μονοχρωματικό k-πλευρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 113

Re: Μονοχρωματικό k-πλευρο

Όπως με ενημέρωσε ο Μίνος σε π.μ. δεν διάβασα σωστά το ζητούμενο. Ουσιαστικά ζητείται το $R(C_k,\ldots,C_k)$ όπου το γράφημα $C_k$ (κύκλος μήκους $k$) εμφανίζεται $k$ φορές. Οι αριθμοί αυτοί είναι όντως απλούστεροι από αυτούς για τα πλήρη γραφήματα. Πάλι όμως μάλλον δεν έχουμε πλήρεις απαντήσεις. Εδ...
από Demetres
Πέμ Φεβ 20, 2020 4:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (6η τάξη)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 167

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (6η τάξη)

LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας XXXI Μαθηματική Γιορτή, θέματα 6ης τάξης. Πρόβλημα 5. Στο δάσος ζουν $40$ άγρια ζώα. Αλεπούδες, λύκοι, λαγοί και κάστορες. Κάθε χρόνο οργανώνουν πάρτι μασκέ: το καθένα φοράει μάσκα ζώου διαφορετικού είδους, εξάλλου δυο συνεχόμενα χρόνια δεν φοράνε την ίδια μάσκα....
από Demetres
Πέμ Φεβ 20, 2020 4:10 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μονοχρωματικό k-πλευρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 113

Re: Μονοχρωματικό k-πλευρο

Ουσιαστικά ζητάς το $R(k,k,\ldots,k)$ όπου το $k$ εμφανίζεται $k$ φορές. (Χρησιμοποίησα τον συμβολισμό της τρίτης παραγράφου εδώ .) Για $k=3$ προκύπτει $R(3,3,3) = 17$. Υπάρχει απόδειξη στην παραπομπή. Δεν νομίζω να είναι γνωστοί οι αριθμοί για $k \geqslant 4$. Π.χ. στο άρθρο εδώ (σελίδα 39) λέει ότ...
από Demetres
Πέμ Φεβ 20, 2020 3:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άλγεβρα ή Ημιδακτύλιος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 63

Re: Άλγεβρα ή Ημιδακτύλιος

Για να δείξεις ότι είναι άλγεβρα/ημιδακτύλιος θες απόδειξη. Για να δείξεις ότι δεν είναι θες αντιπαράδειγμα.

Εδώ έχουμε και στα δύο αντιπαράδειγμα αν πάρουμε \alpha = \{\Omega\}. Είναι αντιπαράδειγμα επειδή ικανοποιεί τα δεδομένα αλλά \emptyset \notin A.
από Demetres
Πέμ Φεβ 20, 2020 3:29 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πανίσχυρο σύστημα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 220

Re: Πανίσχυρο σύστημα

Ως λύση καταλαβαίνω το ζεύγος $(x,y)$ που ικανοποιεί το σύστημα. Ας παρατηρήσουμε ότι αν η $(x,y)$ είναι λύση, τότε και η $(y,x)$ είναι λύση. Για να έχω λοιπόν τρεις ακριβώς λύσεις, πρέπει να έχω και μια λύση της μορφής $(t,t)$ για κάποιο $t \in \mathbb{R}$ αφού σε διαφορετική περίπτωση θα έχω άρτιο...
από Demetres
Τετ Φεβ 19, 2020 11:12 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Συναρτήσεις
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 484

Re: Συναρτήσεις

Να το πάρω ένα βήμα πιο κάτω για να δούμε και άλλες που μπορούν να εμφανιστούν. Έστω $A$ ένα σύνολο ακεραίων το οποίο δεν περιέχει δυο διαδοχικούς ακέραιους. $\bullet$ Για $x \neq \pm 2^{2^n},3^{4^n},\pi^{4^n}$ με $n \in \mathbb{Z}$ ορίζω $f(x) = x^2$. $\bullet$ Για $x = 2^{2^n}$ με $n \in \mathbb{Z...
από Demetres
Τρί Φεβ 18, 2020 1:41 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Συναρτήσεις
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 484

Re: Συναρτήσεις

Παναγιώτη, όταν χρειαζόμαστε το αξίωμα της επιλογής, σημαίνει ότι ξεφεύγει αρκετά από τα σχολικά όρια. Οι λύσεις που παίρνουμε δύσκολα μπορούν να περιγραφούν. Στο σύνδεσμο εδώ βρίσκω όλες τις λύσεις τις συναρτησιακής εξίσωσης Cauchy και μετά μιας παρόμοιας συναρτησιακής. Έχω βάλει και εδώ μια λύση σ...
από Demetres
Τρί Φεβ 18, 2020 10:45 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Συναρτήσεις
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 484

Re: Συναρτήσεις

Σίγουρα όχι στα «Διασκεδαστικά Μαθηματικά»

Χωρίς καμία άλλη συνθήκη, αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος, χρειάζεται το αξίωμα της επιλογής για να τις βρούμε.
από Demetres
Δευ Φεβ 17, 2020 5:45 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Αριθμητική πρόοδος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 228

Re: Αριθμητική πρόοδος

Για κάθε δύο φυσικούς $n,N$ ισχύουν τα $\displaystyle |a_{N+1} - a_N - a_1| \leqslant \frac{1}{N+1} < \frac{1}{N}$ $\displaystyle |a_{N+2} - a_{N+1} - a_1| \leqslant \frac{1}{N+2} < \frac{1}{N}$ ... $\displaystyle |a_{N+n} - a_{N+n-1} - a_1| \leqslant \frac{1}{N+n-1} < \frac{1}{N}$ Προσθέτοντας και ...
από Demetres
Σάβ Φεβ 15, 2020 11:08 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Υπολογισμός σειράς
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 126

Re: Υπολογισμός σειράς

Αν θέσουμε $f(x) = \cos(x - 1/2)$ τότε είναι απλό να ελεγχθεί ότι $f^{(n)}(0) = \cos((\pi n-1)/2)$. Άρα $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\cos\left( \frac{\pi n -1}{2}\right)$ και η ζητούμενη σειρά ισούται με $f(1/2) = \cos(0) = 1$. (Η σειρά συγκλίνει στην $f(x)$ για κάθε $x \i...
από Demetres
Τρί Φεβ 04, 2020 6:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ύπαρξη πολλαπλασίων συγκεκριμένης μορφής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 313

Re: Ύπαρξη πολλαπλασίων συγκεκριμένης μορφής

Πάνω στη σκέψη του Μίλτου. Για $a=1$ μπορούμε να πάρουμε $b=3$. Από δω και πέρα λοιπόν υποθέτουμε ότι $a \geqslant 2$. Έστω $1 + 2^a + 3^a = 2^m \cdot 3^n \cdot r$ με $(r,6)=1$. Αν $a$ άρτιος τότε $m=1 < a$, ενώ αν $a$ περιττός τότε $m=2 < a$. Αν $a$ άρτιος τότε $n=0 < a$ ενώ αν $a$ περιττός τότε $v...
από Demetres
Πέμ Ιαν 30, 2020 9:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο με ακέραιες τιμές ή όχι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 236

Re: Πολυώνυμο με ακέραιες τιμές ή όχι

Αλλιώς. Έστω $\Delta$ ο τελεστής που στέλνει ένα πολυώνυμο $f$ στο πολυώνυμο $(\Delta f)(x) = f(x+1) - f(x)$. Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι $\displaystyle (\Delta^nf)(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} f(x+k)$ Επειδή ο τελεστής μειώνει τον βαθμό ενός μη σταθερού πολυωνύμου, αν το $P$ έχει βαθμό...
από Demetres
Πέμ Ιαν 30, 2020 6:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα τετραγώνων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 276

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Ενδιαφέρον. Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση Pell $x^2 - 2y^2 = 1$ έχει άπειρες λύσεις. Πρέπει επίσης $x$ περιττός, οπότε $x^2 \equiv 1 \bmod 4$, άρα $2y^2 \equiv 0 \bmod 4$ επομένως $y = 2z$ άρτιος. Θέτω τώρα $n = 24z^2-1$ όπου $(x,2z)$ μια λύση της πιο πάνω εξίσωσης και παρατηρώ ότι $\begin{aligned} P &= ...
από Demetres
Πέμ Ιαν 30, 2020 8:41 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Minimum
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 155

Re: Minimum

Τα σημεία O,B,A,C είναι ομοκυκλικά σε κύκλο με διάμετρο BC. Επομένως έχουμε (BC) \geqslant (OA) = \sqrt{20} με την ισότητα να συμβαίνει όταν η OA είναι επίσης διάμετρος. Δηλαδή όταν οι AB και AC είναι κάθετες στις OB και OC αντίστοιχα.
από Demetres
Κυρ Ιαν 26, 2020 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 397

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

5)Αν $(a,m)=1$ (μέγιστος κοίνος διαιρέτης ) δείξτε οτι $\sum_{x=0 }^{ m-1}=\lfloor \frac{ax+b}{m}\rfloor=\frac{(a-1)(m-1)}{2}+b $ Ασφαλώς ο $b$ πρέπει να είναι ακέραιος αλλιώς το ζητούμενο δεν ισχύει. Η περίπτωση $b=0$ είναι γνωστή και την έχουμε σίγουρα δει στο :logo: . Θα ψάξω να την βρω αλλιώς θ...
από Demetres
Τρί Ιαν 21, 2020 9:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 392

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Νικόλα, σωστό είναι, αλλά θα μπορούσε να εξηγηθεί και καλύτερα.
από Demetres
Τρί Ιαν 21, 2020 9:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 358

Re: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος

Θέτω $\displaystyle a_m = \frac{1}{2^{m+1}}\left[(1+\sqrt{3})^{2m+1} + (1-\sqrt{3})^{2m+1}\right]$ και παρατηρώ ότι $\displaystyle a_m = \frac{1}{2^{m+1}}\sum_{r=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{r}\left[ \sqrt{3}^r + (-\sqrt{3})^r\right] = \frac{1}{2^m}\sum_{k=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{2k}3^k$ Ισχύει επίσης ότι ...
από Demetres
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO 2020
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 351

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO 2020

Αναρτώ εδώ τα χθεσινά θέματα Πρόβλημα 1: Αν $x \in \mathbb{R}$ ορίζουμε $[x]$ ως τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που είναι μικρότερος ή ίσος με τον $x$. Για παράδειγμα: $[\pi]=3$, και $[-1,5]=-2$. Να βρείτε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης. $[x^2 ]+[x]=2020$ Πρόβλημα 2: Δίνεται τρίγωνο $\triangle \ma...
από Demetres
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 392

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Χθες είχαμε τον πρώτο Παγκύπριο διαγωνισμό επιλογής. Αναρτώ εδώ τα θέματα των μικρών και θα αναρτήσω σε λίγο και των μεγάλων. Πρόβλημα 1: (α) Αν $n$ φυσικός αριθμός ο οποίος δεν είναι πολλαπλάσιο του $3$, να αποδείξετε ότι ο $n^2+2$ είναι πολλαπλάσιο του 3. (β) Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς ...
από Demetres
Τετ Ιαν 15, 2020 3:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Βάσεις Διανυσματικών Χώρων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 122

Re: Βάσεις Διανυσματικών Χώρων

Το (1,0,1) πρέπει να ανήκει στο \langle (1,2,a), (2,1,-1)\rangle . Πρέπει δηλαδή να υπάρχουν \lambda,\mu \in \mathbb{R} ώστε \lambda (1,2,a) + \mu(2,1,-1). Λύσε το σύστημα ώστε να βρεις τις τιμές των \lambda,\mu και ακολούθως την τιμή του a. Κάνε κάτι παρόμοιο για το b.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση