Η αναζήτηση βρήκε 7758 εγγραφές

από Demetres
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO 2020
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 155

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO 2020

Αναρτώ εδώ τα χθεσινά θέματα Πρόβλημα 1: Αν $x \in \mathbb{R}$ ορίζουμε $[x]$ ως τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που είναι μικρότερος ή ίσος με τον $x$. Για παράδειγμα: $[\pi]=3$, και $[-1,5]=-2$. Να βρείτε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης. $[x^2 ]+[x]=2020$ Πρόβλημα 2: Δίνεται τρίγωνο $\triangle \ma...
από Demetres
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 123

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Χθες είχαμε τον πρώτο Παγκύπριο διαγωνισμό επιλογής. Αναρτώ εδώ τα θέματα των μικρών και θα αναρτήσω σε λίγο και των μεγάλων. Πρόβλημα 1: (α) Αν $n$ φυσικός αριθμός ο οποίος δεν είναι πολλαπλάσιο του $3$, να αποδείξετε ότι ο $n^2+2$ είναι πολλαπλάσιο του 3. (β) Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς ...
από Demetres
Τετ Ιαν 15, 2020 3:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Βάσεις Διανυσματικών Χώρων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 107

Re: Βάσεις Διανυσματικών Χώρων

Το (1,0,1) πρέπει να ανήκει στο \langle (1,2,a), (2,1,-1)\rangle . Πρέπει δηλαδή να υπάρχουν \lambda,\mu \in \mathbb{R} ώστε \lambda (1,2,a) + \mu(2,1,-1). Λύσε το σύστημα ώστε να βρεις τις τιμές των \lambda,\mu και ακολούθως την τιμή του a. Κάνε κάτι παρόμοιο για το b.
από Demetres
Τετ Ιαν 15, 2020 3:18 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Κλιμακωτές συναρτήσεις
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 180

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

Αν η f είναι ολοκληρώσιμη τότε υπάρχει μια διαμέριση P ώστε U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon και ότι L(f,P) \leqslant \int_a^b f \leqslant U(f,P). Άρα είναι \int_a^b f - L(f,P) < \varepsilon.

Μπορείς τώρα να βρεις κλιμακωτή s_1 ώστε s_1 \leqslant f και L(f,P) = \int_a^b s_1;
από Demetres
Τετ Ιαν 08, 2020 10:56 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 313

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 3. Ο Ανδρέας, ο Γιώργος, ο Βασίλης και ο Γρηγόρης παίζουν σε ένα πίνακα $100 \times 2019$ ($100$ γραμμές, $2019$ στήλες). Παίζουν με την σειρά, πρώτα ο Ανδρέας, ύστερα ο Γιώργος, μετά ο Βα...
από Demetres
Τετ Ιαν 08, 2020 10:10 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 313

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 4. Ο φυσικός αριθμός $n$ έχει ακριβώς $1000$ φυσικούς διαιρέτες (συμπεριλαμβανομένου του $1$ και του ίδιου του $n$). Αυτοί οι $1000$ διαιρέτες γράφονται κατά αύξουσα σειρά. Προέκυψε ότι, ο...
από Demetres
Δευ Δεκ 30, 2019 5:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο ακολουθίας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 135

Re: Όριο ακολουθίας

Εύκολο γι' αυτό δίνω μόνο υπόδειξη:

Δείξε ότι υπάρχει N \in \mathbb{N} ώστε |u_{n+1}| \leqslant \left( \tfrac{1+p}{2}\right)|u_n| για κάθε n > N.
από Demetres
Δευ Δεκ 30, 2019 5:22 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Συμβολισμός Ο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 184

Re: Συμβολισμός Ο

Θα πρόσθετα πως όταν χρησιμοποιούμε αυτόν τον συμβολισμό πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι κάνουμε κατάχρηση του συμβόλου της ισότητας (abuse of notation). Aκριβολογώντας, με το $O(f(\varepsilon))$ (όταν $\varepsilon \to 0$) εννοούμε το σύνολο των συναρτήσεων $g$ για τις οποίες υπάρχουν $C,\delta > 0$ ...
από Demetres
Σάβ Δεκ 28, 2019 4:07 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ο Άγιος Βασίλης με τα δώρα!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 144

Re: Ο Άγιος Βασίλης με τα δώρα!

Ας γράψουμε $T$ για το αναμενόμενο πλήθος τραγουδιών που θα ακούσουμε μέχρι να φτάσουμε στο τραγούδι μας ακολουθώντας τη βέλτιστη στρατηγική. Επίσης ας γράψουμε $T_i$ για το αναμενόμενο πλήθος όταν ακούσουμε το τραγούδι $i$. Είναι $T = 1 + \frac{T_1 + \cdots + T_{100}}{100}$. Όταν ακούσουμε το τραγο...
από Demetres
Σάβ Δεκ 28, 2019 3:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Γκουγκλομετάφραση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 155

Re: Γκουγκλομετάφραση

Γιώργο, πολύ το χάρηκα ιδίως τα ασυνάρτητα της παραγράφου $7$ του λογισμού (που παραπέμπεις). Λίγο παρακάτω έμαθα και τι είναι λογάριθμος. Εαν δεν ήξερες είναι «Πόσο πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό Χ, για να έχουμε τον αριθμό Υ;» $\dfrac {Y}{X}$, λέω εγώ, αλλά ποιος ακούει. Αυτό θα μπορούσα ν...
από Demetres
Παρ Δεκ 27, 2019 4:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα και αρμονικός αριθμός
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 203

Re: Ολοκλήρωμα και αρμονικός αριθμός

Έχουμε $\displaystyle I_n =n\int_{0}^{\infty} xe^{-x} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\binom{n-1}{k}e^{-kx}\,\mathrm{d}x = n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \binom{n-1}{k}\int_{0}^{\infty} xe^{-(k+1)x}\,\mathrm{d}x$ Όμως $\displaystyle \int_{0}^{\infty} xe^{-(k+1)x} \,\mathrm{d}x = \left[-\frac{xe^{-(k+1)x}}{k+1} \rig...
από Demetres
Δευ Δεκ 23, 2019 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Διάστημα σύγκλισης τριγωνομετρικής σειράς
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 178

Re: Διάστημα σύγκλισης τριγωνομετρικής σειράς

Υπόδειξη: Τι μπορούμε να πούμε για το διάστημα σύγκλισης της \displaystyle  \sum_{n=1}^{\infty} nx^n και πως σχετίζεται με την άσκησή σου;
από Demetres
Δευ Δεκ 23, 2019 12:24 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 11 χρόνια mathematica.gr
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 727

Re: 11 χρόνια mathematica.gr

Χρόνια μας πολλά! :mathexmastree: :santalogo:
από Demetres
Δευ Δεκ 23, 2019 12:20 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 332

Re: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς

Έστω $x \in [0,1]$. Ορίζουμε $\displaystyle f(a_2,\ldots,a_n) = (1-x)(1-a_2)\cdots (1-a_n) + x - \frac{1}{(1+a_2) \cdots (1+a_n)}$ για $a_2,\ldots,a_n \in [0,x]$. (Δεν θέτω περιορισμό διάταξης στα $a_2,\ldots,a_n$) Η $f$ είναι κοίλη σε κάθε μεταβλητή $a_k$ ($k \geqslant 2$) οπότε η $f$ παίρνει ελάχι...
από Demetres
Κυρ Δεκ 15, 2019 5:20 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ομοιομορφη συνεχεια
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 263

Re: Ομοιομορφη συνεχεια

Venegrom καλωσόρισες στο :logo: Ο κανονισμός μας ορίζει τα μαθηματικά να γράφονται στο LaTeX (για πρώτη φορά το διόρθωσα) και να γράφουμε τονισμένα ελληνικά (διόρθωσέ το). Για την άσκηση τώρα (φαντάζομαι εννοείς το διάστημα $[0,a]$) η απάντηση είναι ότι δεν μπορείς να το δείξεις διότι δεν ισχύει. Πρ...
από Demetres
Παρ Δεκ 13, 2019 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Άρρητος τριγωνομετρικός αριθμός
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 404

Re: Άρρητος τριγωνομετρικός αριθμός

Υπάρχει ένας ακόμα . Είναι : $\sin\dfrac{96989\pi}{10^6}=\dfrac{3}{10}$ :lol: Καλό. Πάρα πολύ καλή προσέγγιση. Όχι και ιδιαίτερα εντυπωσιακή. Έχουμε: $\displaystyle \left|\sin\left( \tfrac{(m+1)\pi}{10^6}\right) - \sin\left( \tfrac{m\pi}{10^6}\right)\right| = 2\left|\cos\left( \tfrac{(2m+1)\pi}{2 \...
από Demetres
Παρ Δεκ 13, 2019 1:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τριγωνομετρική σειρά 1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 415

Re: Τριγωνομετρική σειρά 1

Έστω ακολουθία $(a_n)$ όπου κάθε όρος είναι ίσος με $0$ ή $1$ με την επιπλέον συνθήκη ότι $a_n=0$ αν $n$ σύνθετος. [Οι πρώτοι αριθμοί δεν παίζουν κανένα ρόλο. Επιλέξτε το αγαπημένο σας άπειρο υποσύνολο φυσικών $S$ για το οποίο $\sum_{s \in S} \frac{1}{s} $ αποκλίνει και θέστε $a_n=0$ για $n \notin S...
από Demetres
Πέμ Δεκ 12, 2019 7:25 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κάθε 8-αδα μεταξὺ τῶν 1,2,...,30 περιέχει δύο 4-δες μὲ τὸ ἴδιο ἄθροισμα.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 194

Re: Κάθε 8-αδα μεταξὺ τῶν 1,2,...,30 περιέχει δύο 4-δες μὲ τὸ ἴδιο ἄθροισμα.

Καλησπέρα σας! Αν δεν κάνω λάθος,οποιαδήποτε οκτάδα με 7 περιττούς και 1 άρτιο αριθμό ,δεν έχει τετράδες με ίδιο άθροισμα. Οπότε,μήπως έχει παρερμηνευθεί κάτι; Φιλικά, Βέτσικας Αλέξανδρος Όπως το καταλαβαίνω επιτρέπεται οι τετράδες να έχουν κάποια στοιχεία τα ίδια. Αυτό που απαγορεύεται είναι να εί...
από Demetres
Τρί Δεκ 10, 2019 2:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 331

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

Βάζω μια λύση χωρίς ανάλυση. Παρατηρούμε αρχικά ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα αφού αν $a > b > 0$ τότε (με $x = a-b,y=b$) έχουμε $\displaystyle f(a) \geqslant f(b) + bf(f(a-b)) > f(b)$ Ισχυρίζομαι επίσης ότι $f(x) < x+1$ για κάθε $x > 0$. Σε διαφορετική περίπτωση υπάρχει $x > 0$ και $y \geqslant 1...
από Demetres
Παρ Δεκ 06, 2019 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Ανάπτυξη με παραγοντικά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 369

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

Ύπαρξη: Ορίζουμε $a_1 = [x]$. Έχοντας ορίσει τα $a_1,\ldots,a_n$ τότε ορίζουμε $a_{n+1}$ ως τον μέγιστο φυσικό με $a_{n+1} \in \{0,1,\ldots,n\}$ και $\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} \frac{a_k}{k!} \leqslant x $ Έστω $\displaystyle x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k!}.$ Ισχυρίζομαι ότι $0 \leqslant x-...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση