Η αναζήτηση βρήκε 7630 εγγραφές

από Demetres
Σάβ Αύγ 24, 2019 6:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 182

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

Αλλιώς: Έστω $x$ μια ρίζα της εξίσωσης. Έχουμε: $\displaystyle (a^2+b^2)(x^6 + x^2) \geqslant (ax^3 + bx)^2 = (x^2+1)^4$ Θέτοντας $t = x+\frac{1}{x}$ παίρνουμε: $\displaystyle a^2 + b^2 \geqslant \frac{x^4t^4}{x^4(x^2 + \frac{1}{x^2})} = \frac{t^4}{t^2-2} = 8 + \frac{t^4-8t^2+16}{t^2-2} = 8 + \frac{...
από Demetres
Σάβ Αύγ 24, 2019 5:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 239

Re: Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης

Να προσθέσω ότι αν AB \neq BA τότε η ανισότητα δεν ισχύει απαραίτητα.
από Demetres
Σάβ Αύγ 24, 2019 5:24 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Αποδεικτική με ρητούς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 90

Re: Αποδεικτική με ρητούς

Από όλα αυτά που έγραψες, εκείνο που βοηθά είναι το εξής:

Αφού a < c-bτότε υπάρχει ρητός p ώστε a < p < c-b

Σκέψου τώρα τι επιπλέον θέλεις για το q.
από Demetres
Παρ Αύγ 23, 2019 12:24 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Συναρτησιακή με παράγωγο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 376

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Ναι Σταύρο, έχεις δίκιο για το 1. Αυτός είναι άλλωστε ο λόγος που έδειξα τη συνέχεια της f'. Για να μπορώ να πω ότι το \inf(A) ανήκει στο A.
από Demetres
Πέμ Αύγ 22, 2019 7:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Συναρτησιακή με παράγωγο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 376

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Έχουμε: $\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{f(\tfrac{x+h}{3}) - f(\tfrac{x}{3})}{h} + \frac{2}{3}f'(x+h) + \frac{2x}{3} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}$ Παίρνοντας όρια έχουμε: $\displaystyle \lim_{h \to 0} \left[ f'(x+h) + x\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\right] = \frac{3}{2}f'(x) - \frac{1}{2}f'(\t...
από Demetres
Τρί Αύγ 20, 2019 10:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: O e^A είναι κανονικός
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 432

Re: O e^A είναι κανονικός

Τόλη είναι σωστό το e^A = I. Ακόμη και για το A όπως το υπολόγισες εσύ. Υποψιάζομαι ότι δεν χρησιμοποίησες τη σωστή εντολή για τον εκθετικό πίνακα. Πιο συγκεκριμένα υποψιάζομαι ότι η εντολή που χρησιμοποίησες απλά παίρνει την εκθετική συνάρτηση σε κάθε στοιχείο ξεχωριστά.
από Demetres
Κυρ Αύγ 18, 2019 5:49 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Ισόμορφες ομάδες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 187

Re: Ισόμορφες ομάδες

Χρησιμοποιώντας την $x^{-1}yx = y^{-1}$ ή ισοδύναμα την $yx = xy^{-1}$, μπορούμε να γράψουμε κάθε στοιχείο του $Q_{2^n}$ στη μορφή $x^ry^s$ για $r,s \in \mathbb{N}_0$. Χρησιμοποιώντας το $x^2 = y^{2^{n-2}}$ μπορούμε να υποθέσουμε ότι $r\in \{0,1\}$. Χρησιμοποιώντας το $y^{2^{n-1}} = 1$ μπορούμε να υ...
από Demetres
Κυρ Αύγ 18, 2019 5:20 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Αποδεικτική
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 278

Re: Αποδεικτική

Αν $x,y \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0$ , δείξτε ότι $x\leq y.$ Θεώρησα ότι $x>y$, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε $x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0$ που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο. Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος; Δεν κ...
από Demetres
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:23 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πολυώνυμο και βαθμός
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 416

Re: Πολυώνυμο και βαθμός

Σταύρο, όντως υπάρχει ένα θεματάκι. Διορθώνεται και ως εξής (ίσως κάτι παρόμοιο να είχα υπόψη και στην προσπάθεια μου να το συντομεύσω έκανα το λάθος). Πρέπει $\displaystyle |r|^n \leqslant 1 + |r| + \cdots + |r|^{n-1} = \frac{|r|^n - 1}{|r| - 1}$ και αφού $|r| > 1$ πρέπει $|r|^{n+1} - |r|^n \leqsla...
από Demetres
Δευ Αύγ 12, 2019 11:39 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Φρουτεμπορική
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 305

Re: Φρουτεμπορική

Πολύ ωραία απόδειξη. Ευχαριστώ!
από Demetres
Δευ Αύγ 12, 2019 11:31 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Ανισότητα ομάδων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 210

Re: Ανισότητα ομάδων

Γνωρίζουμε ότι τα $[G:H]$ και $[G:K]$ είναι ακέραιοι. (Θεώρημα Lagrange.) Έστω $[G:H] = m$ και $[G:K] = n$. Γνωρίζουμε επίσης ότι $[G:H \cap K] \leqslant [G:H][G:K] = mn$. (Ισοδύναμο του $[H:H \cap K] \leqslant [G:K]$ που είναι απλό.) Τότε: $\displaystyle \frac{|H \cup K|}{|G|} = \frac{|H|}{|G|} + \...
από Demetres
Κυρ Αύγ 11, 2019 2:11 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Φρουτεμπορική
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 305

Re: Φρουτεμπορική

Δίνω μια απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί ένα μη στοιχειώδες θεώρημα. Θα ενδιαφερόμουν αν δω αν υπάρχει κάτι άλλο. Αριθμούμε τις κούτες από το $1$ ως το $100$. Αν δεν ισχύει το ζητούμενο, για κάθε υποσύνολο $A$ του $X = \{1,2,\ldots,100\}$ υπάρχει ένα φρούτο ώστε οι αντίστοιχες κούτες να περιέχουν λιγό...
από Demetres
Δευ Αύγ 05, 2019 5:38 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019/2/2
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 323

Re: IMC 2019/2/2

Σταύρο, στην περίπτωση όπου ο n = 2m+1 είναι περιττός ισχυρίζομαι ότι το 2m+1 διαιρεί το m! (για m μεγάλο και 2m+1 όχι πρώτο) το οποίο αν και απλό νομίζω δεν είναι εντελώς προφανές.
από Demetres
Δευ Αύγ 05, 2019 11:01 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019/2/2
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 323

Re: IMC 2019/2/2

Αρκεί να δείξουμε ότι $a_n \leqslant \frac{n}{2}$ για $n \geqslant 10$ με $n \in C$ αφού τότε η σειρά θα συγκλίνει συγκρίνοντας με το άθροισμα γεωμετρικής προόδου. Έστω λοιπόν $p|n$ και έστω $n = p^k m$ όπου $(m,p)=1$. Αρκεί να δείξουμε ότι η μεγαλύτερη δύναμη του $p$ η οποία διαιρεί τον $\left( \lf...
από Demetres
Κυρ Αύγ 04, 2019 11:16 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019/1/3
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 202

Re: IMC 2019/1/3

Θέτουμε $g(x) = xf(x)$. Παρατηρούμε ότι η $g(x)$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με $g''(x) \geqslant 1$. Από Θεώρημα Taylor για κάθε $x$ υπάρχει $\xi$ μεταξύ του $0$ και του $x$ ώστε $\displaystyle g(x) = g(0) + g'(0)x + g''(\xi) \frac{x^2}{2}.$ Επειδή επίσης $g(0) = 0$, από τα πιο πάνω παίρνουμε $\di...
από Demetres
Κυρ Αύγ 04, 2019 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ
Απαντήσεις: 28
Προβολές: 2438

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Ότι ήταν να λεχθεί έχει ήδη λεχθεί. Το θέμα κλειδώνεται. Σαφώς και όποιος ισχυρίζεται ότι μπορεί να τριχοτομήσει γωνία με κανόνα και διαβήτη κάπου κάνει λάθος και δεν υπάρχει νόημα να ψάχνουμε να το βρούμε. Μιας και όμως κάποια μέλη μας έκαναν τον κάπο να επισημάνουν τα λάθη ας μην διαγράψουμε το θέ...
από Demetres
Κυρ Αύγ 04, 2019 10:57 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019/1/2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 154

Re: IMC 2019/1/2

Θέτουμε $\displaystyle M = \begin{pmatrix} Y & E & A & R \\ R & Y & E & A \\ A & R & Y & E \\ E & A & R & Y \end{pmatrix}$ Για να έχει το σύστημα τουλάχιστον δύο λύσεις πρέπει $\det(M) = 0$. Αν $x^4 = 1$ τότε το $\begin{pmatrix} 1 \\ x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}$ είναι ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή $Y +...
από Demetres
Σάβ Αύγ 03, 2019 5:22 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019/2/5
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 107

IMC 2019/2/5

Επιλέγουμε ανεξάρτητα και ομοιόμορφα στην τύχη 2019 σημεία από τον μοναδιαίο δίσκο \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^2 + y^2 \leqslant 1\}. Έστω C η κυρτή θήκη των σημείων. Ποια από τις πιθανότητες είναι μεγαλύτερη; Το C να είναι τρίγωνο ή το C να είναι τετράπλευρο;
από Demetres
Σάβ Αύγ 03, 2019 5:18 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019/2/4
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 284

IMC 2019/2/4

Να προσδιοριστούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι n για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί και αντιστρέψιμοι n\times n πίνακες A,B ώστε AB - BA = B^2A.
από Demetres
Σάβ Αύγ 03, 2019 5:16 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019/2/3
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 79

IMC 2019/2/3

Έστω πραγματικοί αριθμοί $x_1, \ldots, x_n$. Για κάθε υποσύνολο $I$ του $\{1, 2, \ldots, n\}$ ορίζουμε $\displaystyle s(I) = \sum_{i \in I} x_i.$ Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση $I \mapsto s(I)$ παίρνει τουλάχιστον $1.8^n$ διαφορετικές τιμές όταν το $I$ διατρέχει όλα τα $2^n$ υποσύνολα του $\{1, 2, \ldot...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση