Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα της 6ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024. 6. Ο Γιώργος ύψωσε τον αριθμό $4$ σε κάποια δύναμη (μη μηδενικό φυσικό αριθμό) και του προέκυψε αριθμός, που αποτελείται από άρτιο αριθμό ψηφίων. Ο Γιάννης έγραψε τα ψηφία αυτού του αριθμού με αντίστρο...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα της 6ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024. 5. Σε ένα κυκλικό αυτοκινητόδρομο βρίσκονται $202$ χωριά. Στον αυτοκινητόδρομο κινούνται λεωφορεία, κάθε λεωφορείο κινείται από κάποιο ένα χωριό σε κάποιο άλλο και πίσω στην ίδια διαδρομή, κάνοντας στά...

Μια κάπως πιο προχωρημένη ίσως λύση: Αν $b=c$ τότε $a=b=c$ και άρα $H=G$ οπότε είναι προφανές. (Ή ανευ νοήματος αναλόγως προσέγγισης.) Αλλιώς $\displaystyle \frac{BG^2}{CG^2} = \frac{\mu_B^2}{\mu_C^2} = \frac{2a^2+2c^2-b^2}{2a^2+2b^2-c^2} = \frac{3c^2}{3b^2} \implies \frac{BG}{CG} = \frac{c}{b}.$ Το...

Πιο σύντομα για το (γ) (χωρίς τα προηγούμενα):

Χάθηκαν κάποιες λύσεις στην πιο πάνω ανάρτηση. Επεξεργασία: Όπως με ενημέρωσε ο Μιχάλης εγώ βρήκα περισσότερες λύσεις μια και βρήκα και αυτές με γινόμενο $-12$. :oops: Μόνο για θετικούς αριθμούς υπάρχουν όντως $4$ τρόποι να έχουμε γινόμενο $12$ με $12$ αριθμούς. Οι $12^{1} \cdot 1^{11}$ $6^{1} \cdot...

Αποσύρω τη λύση διότι ήταν εσφαλμένη.

Άσκηση 56 Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P$ που για κάθε $x$ ικανοποιούν $P(2x)= P'(x)P''(x) $ Μια ενδιαφέρουσα «εκτός ύλης» λύση: Αν $P''$ ταυτοτικά μηδέν, τότε και το $P$ είναι ταυτοτικά μηδέν. Αλλιώς το πολυώνυμο έχει βαθμό τουλάχιστον $2$ και συγκρίνοντας βαθμούς παίρνουμε ότι έχει βαθμό ακριβώς ...

. Μένει αναπάντητη η Άσκηση 56. Αναρτώ και μία νέα: Άσκηση 57 Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P$ που για κάθε $x$ ικανοποιούν $[P(x)]^2= P(P(x))-9$ Ας δούμε κάτι πιο σύντομο. Αν το $P(x)$ είναι σταθερό πολυώνυμο, τότε $P(x) = c$ όπου $c^2=c-9$ που απορρίπτεται. (Αν μιλάμε για πραγματικά πολυώνυμα.) Σε...

Αν είναι αληθής η (d) τότε είναι και οι (c) και (e), άτοπο. Άρα πρέπει $x \leqslant 10$ και άρα η (b) είναι αναγκαστικά αληθής. Αν είναι και η (c) τότε είναι αναγκαστικά και η (e), πάλι άτοπο. Άρα πρέπει $x \leqslant 5$. Τότε η (b) είναι αληθής ενώ οι (a),(c),(d) ψευδείς. Πρέπει λοιπόν η (e) που μέν...

Έστω $t$ μια ρίζα της $f$ σε αυτό το διάστημα. Τότε από Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle (a^2+b^2)(t^2+1)^2 = (a^2+b^2)((t^2-1)^2+(2t)^2) \geqslant (a(t^2-1)+2bt)^2 = (2-t)^2$ Άρα $\displaystyle a^2+b^2 \geqslant \left(\frac{t-2}{t^2+1}\right)^2 \geqslant \frac{1}{100}$ αφού $\displaystyle \frac...

Θα δείξουμε ότι αυτό ισχύει αν και μόνο αν το $\mathbb{F}$ είναι άπειρο. Αν το $\mathbb{F}$ είναι πεπερασμένο, έστω $\mathbb{F} = \{a_1,\ldots,a_n \}$, τότε έχουμε $\Phi((X-a_1) \cdots (X-a_n)) = \Phi(0)$ και ο τελεστής δεν είναι 1-1. Έστω τώρα ότι το $\mathbb{F}$ είναι άπειρο και έστω προς άτοπο ότ...

Για το αρχικό ερώτημα Θα γράφω $x_1,x_2,x_3,x_4$ για τις ρίζες για ευκολία. Έχουμε $x_1 + \cdots + x_4 = 0$ και $x_1x_2 + \cdots + x_3x_4 = -2$ άρα $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = (x_1 + \cdots + x_4)^2 - 2(x_1 x_2 + \cdots + x_3 x_4) = 4$ Από Cauchy-Schwarz, και αφού οι ρίζες είναι ...

Αν $n+1,n+2,\ldots,n+9$ οι $9$ διαδοχικοί ακέραιοι, τότε το άθροισμά τους είναι ίσο με $9n+45$ που είναι πολλαπλάσιο του $9$. Αν $m+1,m+2,\ldots,m+10$ οι $10$ διαδοχικοί ακέραιοι, τότε το άθροισμά τους είναι ίσο με $10m+55$ που είναι πολλαπλάσιο του $5$. Άρα αναγκαστικά το $N$ είναι πολλαπλάσιο του ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Τρί Σεπ 03, 2024 12:22 pm

είναι οι αριθμοί.Μπορούμε να έχουμε μόνο ένα πολλαπλάσιο του
Προφανώς ο Δημήτρης μπερδεύτηκε και εγραψε

Έτσι όπως τα λες Σταύρο.

Άσκηση 54 Έστω $P,\, Q$ πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Δείξτε ότι αν τα σύνολα $\{ n \in \mathbb N | P(n)\le Q(n) \}$, $\{ n \in \mathbb N | Q(n)\le P(n) \} $ είναι και τα δύο απειροσύνολα, τότε $P=Q$. Θεωρούμε το πολυώνυμο $R = P-Q$ και υποθέτουμε προς άτοπο ότι δεν είναι το μηδενικό πολυώ...

Ας τα μετρήσουμε και λίγο διαφορετικά: Περίπτωση 1: Στα τρία τελευταία ψηφία υπάρχουν δύο οκτάρια: Έχουμε $8$ τρόπους να επιλέξουμε το πρώτο ψηφίο, $7$ τρόπους το άλλο ψηφίο που δεν είναι ίσο με οκτώ και $3$ τρόπους για το που να τοποθετήσουμε το άλλο ψηφίο. Σύνολο: $8 \cdot 7 \cdot 4 = 168$ τρόποι....

Στο συγκεκριμένο διάστημα υπάρχουν $33$ πολλαπλάσια του $3$. Αν επιλέξουμε τους $67$ αριθμούς που δεν είναι πολλαπλάσια του $3$, τότε το γινόμενο δεν θα είναι πολλαπλάσιο του $18$. Εν αντιθέσει, αν επιλέξουμε οποιουσδήποτε $68$ αριθμούς σίγουρα θα έχουμε ένα πολλαπλάσιο του $3$. Επιπλέον, επειδή υπά...

KARKAR έγραψε: ↑

Σάβ Ιουν 15, 2024 6:51 am

Γράφω μερικούς ακόμα : :

Δεν είχα δει αν η απάντηση του Chat GPT που δόθηκε ήταν η ορθή ή όχι. Όταν ρώτησα εγώ το Chat GPT 3.5, ενώ είχε κάνει την ορθή διαδικασία, έκανε λάθος στις πράξεις και βρήκε γωνία που δεν είναι σωστό.

Έπρεπε να του επισημάνω το λάθος του για να επιστρέψει και να το κάνει σωστά.

Έστω $A = \{x \in [a,b]: f(x) = f(a)\}$. Το $A$ είναι μη κενό αφού $a \in A$ και άνω φραγμένο από το $b$ άρα υπάρχει το $\gamma = \sup(A)$. Από συνέχεια της $f$ έχουμε $f(\gamma) = f(a)$. [Έστω $\varepsilon > 0$. Παίρνουμε $\delta > 0$ ώστε $|x-\gamma| < \delta \implies |f(x) - f(\gamma)| < \varepsi...