Η αναζήτηση βρήκε 7346 εγγραφές

από Demetres
Πέμ Οκτ 11, 2018 11:27 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 (6η τάξη)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 214

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 (6η τάξη)

Πρόβλημα 2. Η παρήχηση του τέσσερα (εικονογρίφος): ΕΧ κάνει, τέσσερεις φορές το ΟΪ αν προστεθεί. ΑΪ κάνει, τέσσερεις φορές το ΟΧ αν προστεθεί. Των τεσσάρων μαζί, το άθροισμα να βρεθεί. Διευκρίνηση: Τα διαφορετικά κεφαλαία γράμματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά ψηφία. Τo ΕΧ είναι τέσσερεις φορές μεγαλ...
από Demetres
Τετ Οκτ 10, 2018 5:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 104

Re: Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

Δεν πρόσεξα ότι το πρόβλημα ζητούσε διαφορετικούς φυσικούς. Η σωστή απάντηση είναι $n=9$ και λαμβάνεται για $n_1=2,n_2=3,\ldots,n_8=9$ και $n_9 = 22$. Δεν μπορούμε με λιγότερους διότι τότε $\displaystyle \left(1-\frac{1}{s_1}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{s_n}\right) \geqslant \left(1-\frac{1}{2}\r...
από Demetres
Τετ Οκτ 10, 2018 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 104

Re: Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

Προσοχή! Σε αυτήν την ανάρτηση λύνω το πρόβλημα για όχι απαραίτητα διαφορετικούς φυσικούς. Για διαφορετικούς φυσικούς δείτε την επόμενη ανάρτηση. Για $n=5$ γίνεται παίρνοντας $s_1=s_2=s_3=2,s_4=8,s_5=33$. Για $n \leqslant 4$ δεν γίνεται. Ας υποθέσουμε ότι $t$ από τα $s_i$ ισούνται με $2$. Τουλάχιστο...
από Demetres
Παρ Οκτ 05, 2018 3:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (6η τάξη)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 276

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (6η τάξη)

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2016. Θέματα της 6ης τάξης. Πρόβλημα 5(*). Ένα ρομπότ σκέφτηκε κάποια ψηφία για να γράφει (κωδικοποιεί/ψηφιοποιεί) τις λέξεις. Αντικατέστησε μερικά γράμματα του αλφαβήτου με μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία $1, 2$ και $3$ (διαφορετικ...
από Demetres
Παρ Οκτ 05, 2018 3:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (6η τάξη)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 276

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (6η τάξη)

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2016. Θέματα της 6ης τάξης. Πρόβλημα 5(*). Ένα ρομπότ σκέφτηκε κάποια ψηφία για να γράφει (κωδικοποιεί/ψηφιοποιεί) τις λέξεις. Αντικατέστησε μερικά γράμματα του αλφαβήτου με μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία $1, 2$ και $3$ (διαφορετικ...
από Demetres
Παρ Οκτ 05, 2018 3:09 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: min max στο C.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 499

Re: min max στο C.

Ίσως να υπάρχει και κάτι πιο απλό... Θα δείξω αρχικά ότι $\displaystyle \min_{|z|=r} \max \left\{|1+z|^2,|1+z^2|^2 \right\} = \frac{3+2r^2 - \sqrt{1+12r^2-4r^4}}{2}$ Ας γράψω $z = re^{i\vartheta}$ και $s = 2r\cos{\vartheta}$. Το $r$ παίρνει τιμές στο $[0,1]$ και για δεδομένο $r$ το $s$ παίρνει τιμές...
από Demetres
Σάβ Σεπ 22, 2018 11:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 360

Re: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;

Ισχυρίζομαι αρχικά ότι $\displaystyle S = -\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu(k)}{n^k-1}$ όπου $\mu$ η συνάρτηση Möbius. Πράγματι για κάθε $q > 1$ που είναι τέλεια δύναμη, γράφουμε $q = N^r$ με το $N$ να μην είναι τέλεια δύναμη. Τότε το $q$ εμφανίζεται στο πιο πάνω διπλό άθροισμα από μ...
από Demetres
Σάβ Σεπ 22, 2018 12:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 360

Re: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;

Έχω μια ιδέα για το πως θα υπολογιστεί αλλά δεν το δοκίμασα ακόμη. Δοκιμάζοντας την ιδέα δεν δούλεψε για να βρω κάποια κλειστή μορφή. Εμφανίζονται στους υπολογισμούς μου αθροίσματα της μορφής $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(kn)}{n}$ όπου $\mu$ η συνάρτηση Mobius. Τόλη, έχουμε απάντηση ...
από Demetres
Παρ Σεπ 21, 2018 3:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Πιθανώς αποδεδειγμένη η υπόθεση Riemann
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 924

Re: Πιθανώς αποδεδειγμένη η υπόθεση Riemann

Την Δευτέρα δίνει διάλεξη στο Heidelberg Laureate Form 2018. (Πηγή: https://twitter.com/HLForum/status/1042670700652318720)
από Demetres
Τρί Σεπ 18, 2018 5:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 360

Re: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;

Μιχάλη, υπάρχει θέμα με την απόδειξη διότι προσθέτεις τους όρους για n=0,1 που απαγορεύεται.

Το άθροισμα συγκλίνει. Έχω μια ιδέα για το πως θα υπολογιστεί αλλά δεν το δοκίμασα ακόμη.
από Demetres
Τετ Σεπ 12, 2018 12:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 3ο Γύρο Ολύμπιαδας Περσίας (Ιράν) 2018
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 452

Re: 3ο Γύρο Ολύμπιαδας Περσίας (Ιράν) 2018

3) Να δείξετε ότι για κάθε πρώτος αριθμός $p$, υπάρχουν άπειρους θετικούς ακέραιους $n$ που ικανοποιύν την σχέση: $2^{2^{2^{ \dots ^{2^n}}}} \equiv n^{2^{2^{\dots ^{2}}}} (mod p)$ (Στα δυο μέλη το 2 έχει επαναλαμβάνει 1397 φορές) Επανέρχομαι διορθώνοντας την προηγούμενη γκάφα μου. Ουσιαστικά υπάρχο...
από Demetres
Τετ Σεπ 12, 2018 11:45 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Συνάρτηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 308

Re: Συνάρτηση

Ωραία. Άρα το ένα θέμα ξεκαθαρίζει πλήρως ενώ το άλλο είναι σχεδόν αυτονόητο. Για $m \geqslant 1$ έχω: $\displaystyle f(m-1)f(m+1) = f(m^2)$ $\displaystyle f(m-1)f(m+3) = f((m+1)^2)$ $\displaystyle f(m-1)f(m+3) = f((m+2)^2)$ Επομένως το $f(m^2) f((m+1)^2) f((m+2)^2) $ είναι τέλειο τετράγωνο. Για $m ...
από Demetres
Τετ Σεπ 12, 2018 10:46 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Συνάρτηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 308

Re: Συνάρτηση

Η εκφώνηση έχει κάποια θεματάκια. Θα έπρεπε να λέει για κάθε m,n \in \mathbb{N} ώστε m-n \in \mathbb{N}. Επίσης υπάρχει το ζήτημα αν 0 \in \mathbb{N} ή όχι μιας και η απάντηση ίσως και να αλλάζει.
από Demetres
Κυρ Σεπ 09, 2018 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 3ο Γύρο Ολύμπιαδας Περσίας (Ιράν) 2018
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 452

Re: 3ο Γύρο Ολύμπιαδας Περσίας (Ιράν) 2018

3) Να δείξετε ότι για κάθε πρώτος αριθμός $p$, υπάρχουν άπειρους θετικούς ακέραιους $n$ που ικανοποιύν την σχέση: $2^{2^{2^{ \dots ^{2^n}}}} \equiv n^{2^{2^{\dots ^{2}}}} (mod p)$ (Στα δυο μέλη το 2 έχει επαναλαμβάνει 1397 φορές) Θα δείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι $n$ της μορφής $n = rm$ όπου $r = 2^...
από Demetres
Κυρ Σεπ 09, 2018 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Σειρά άφιξης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 119

Re: Σειρά άφιξης

Αν ο Νίκος είπε ψέματα τότε αναγκαστηκά είπε και ο Χρήστος ψέματα Δεν ισχύει αυτό. Θα μπορούσε π.χ. ψεύτες να είναι ο Νίκος και ο Κωνσταντίνος. $\rule{500pt}{0.8pt}$ Δίνω μια άλλη λύση: Από τους Ανδρέα, Βασίλη και Νίκο, ο ένας σίγουρα λέει ψέματα. Από τους Βασίλη, Κωνσταντίνο, και Χρήστο, ο ένας σί...
από Demetres
Κυρ Σεπ 09, 2018 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Πότε ένα mxn σύστημα έχει λύσεις ;
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 273

Re: Πότε ένα mxn σύστημα έχει λύσεις ;

Πράγματι το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση.

Τα υπόλοιπα που έγραψες (αν και έκανα τον κόπο να τα γράψω \LaTeX) δεν βγάζουν νόημα. Οπότε διάβασε ξανά την θεωρία και δοκίμασε να δώσεις ξανά απάντηση.

Να υπενθυμίσω ότι στο :logo: τα μαθηματικά πρέπει να γράφονται σε \LaTeX.
από Demetres
Κυρ Σεπ 09, 2018 12:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Διανυσματικοί υπόχωροι
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 320

Re: Διανυσματικοί υπόχωροι

Ας δώσω μια επιπλέον βοήθεια. Πάντα ένας διανυσματικός χώρος περιέχει και το μηδενικό στοιχείο. Ποια από τα (1) μέχρι (5) μπορείς να απορρίψεις λόγω αυτού;
από Demetres
Κυρ Σεπ 09, 2018 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Να βρεθεί αριθμός.
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 385

Re: Να βρεθεί αριθμός.

Για την κατανόηση της λύσης χρειάζεται βεβαίως γνώση αριθμητικής modulo και του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. Παρόμοια ήταν και η δική μου λύση. Χρειάζεται όμως λίγη επιπλέον προσοχή. Π.χ. για $m=0$ και $a_0 = 1$ προκύπτει $a_n = 0$ το οποίο πρέπει να απορριφθεί. Έχω ακόμη μία λύση η οποία είναι...
από Demetres
Παρ Σεπ 07, 2018 10:53 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Να βρεθεί αριθμός.
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 385

Re: Να βρεθεί αριθμός.

Όχι δεν είναι στην σωστή ενότητα. Είναι καλύτερο για μαθηματικά διαγωνισμών. Επίσης υπάρχει ένα θέμα με την εκφώνηση και την εξήγηση. Όπως είναι η εκφώνηση, ο $abcde$ θα έπρεπε να γίνει $eabcd$. Για να γίνει $ebcda$ η εκφώνηση θα έπρεπε να λέει «...αν το πρώτο και το τελευταίο ψηφίο του αλλάξουν θέσ...
από Demetres
Τετ Σεπ 05, 2018 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 3ο Γύρο Ολύμπιαδας Περσίας (Ιράν) 2018
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 452

Re: 3ο Γύρο Ολύμπιαδας Περσίας (Ιράν) 2018

Σε ένα σημείο λες ότι $2^{2^{pk+2}} \equiv 2^2 \bmod p\varphi(p)$ για $k$ πολλαπλάσιο του $\varphi(p\varphi(p))$. Αυτό δεν ισχύει. Π.χ. για $p=17$, έχουμε $\varphi(p) = 16$ και $\varphi(p\varphi(p)) = \varphi(16 \cdot 17) = 8 \cdot 16 = 128$. Όμως το $2^{2^{17 \cdot 128 + 2}}$ είναι πολλαπλάσιο του ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση