Η αναζήτηση βρήκε 7482 εγγραφές

από Demetres
Κυρ Ιαν 20, 2019 10:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 97
Προβολές: 7382

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 4ο.jpg Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη προσέγγιση. Ας υποθέσουμε ότι τρεις από τους αριθμούς είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, έστω οι $\Gamma,\Delta,E$. Τότε τα $A+B+\Gamma,A+B+\Delta,A+B+E$ είναι διαφορετικά μεταξύ τους, άτοπο. Προφανώς δεν μπορούν να είναι όλοι...
από Demetres
Κυρ Ιαν 20, 2019 10:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 259
Προβολές: 32220

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 87 Επιλέγουμε τυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς από το σύνολο $\{2,2^2,...,2^{25}\}.$ Ποια η πιθανότητα ο αριθμός $\log_ab$ να είναι ακέραιος; https://brilliant.org/problems/probably-algebra/ Αν $a = 2^r$ και $b = 2^s$ τότε $\displaystyle \log_a{b} = \frac{\log{b}}{\log{a}} = \frac{s}{r}.$ Ο...
από Demetres
Κυρ Ιαν 20, 2019 10:05 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 2241

Re: Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ

Νομίζω πως κάνεις λάθος.Η υπόθεση του Riemann είναι ισοδύναμη με την πρόταση ότι $\sigma(n)<e^{\gamma}nlog(log(n))$ για κάθε $n \geq 5041$.Οπότε αν υπάρχει αντιπαράδειγμα σε αυτή την πρόταση τότε μπορεί να βρεθεί. Για περισσότερες πληροφορίες δες εδώ: http://mathworld.wolfram.com/RobinsTheorem.html...
από Demetres
Κυρ Ιαν 20, 2019 11:40 am
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 2241

Re: Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ

Αυτό γιατι αν δεν ισχύει σημαίνει ότι υπάρχει αντιπαράδειγμα που μπορεί να βρεθεί,οποτε δεν μπορεί να εμπίπτει στη μη πληρότητα. Το ίδιο ισχύει και για την υπόθεση του Riemann. Για την Goldbach ναι αλλά για την Riemann όχι. Για την Riemann μπορεί να υπάρχει αντιπαράδειγμα το οποίο να μην μπορεί να ...
από Demetres
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 215

Re: Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Η ερώτηση ήταν αν επιτρέπεται να γίνει η αντικατάσταση και όχι να γίνει. Δεν ξέρω τι λέει το σχολικό βιβλίο και ποιο ονομάζει πρώτο ή δεύτερo θεώρημα αντικατάστασης. Σίγουρα πρέπει να εξετάσουμε αν εφαρμόζεται ή όχι. Γενικά όμως σε αυτήν την περίπτωση εφαρμόζεται το πιο κάτω θεώρημα στο οποίο δεν χρ...
από Demetres
Πέμ Ιαν 17, 2019 10:15 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Βοηθεια σε πινακες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 491

Re: Βοηθεια σε πινακες

Ναι.
από Demetres
Τετ Ιαν 16, 2019 1:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 259
Προβολές: 32220

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 85 $n$ αγόρια και $n$ κορίτσια σχηματίζουν, στην τύχη, $n$ ζευγάρια. Ποια η πιθανότητα να υπάρχει ένα τουλάχιστον ζευγάρι κοριτσιών; Για ποια $n$ η πιθανότητα αυτή υπερβαίνει το $0,9;$ Μιας και άρχισαν να μαζεύονται αρκετές άλυτες, βάζω μια λύση για αυτή. Έχουμε $2n$ άτομα να σχηματίσουμε $n...
από Demetres
Δευ Ιαν 14, 2019 11:37 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 553

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Πρόβλημα 2 Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών $\displaystyle{(a, b, c)}$, για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες: i. $\displaystyle{abc=1}$ ii. $\displaystyle{ab+bc+ca=a+b+c}$ iii. $\displaystyle{b-a=1}$ Δίνω μια ελάχιστα διαφορετική προσέγγιση από τις δοθείσες. Αν $k = a+b+c=...
από Demetres
Κυρ Ιαν 13, 2019 5:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 429

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 4 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}$, ώστε $\displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}$ Αρκετά δύσκολο θέ...
από Demetres
Κυρ Ιαν 13, 2019 1:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 553

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Σωστά. Ακριβώς η ίδια απόδειξη δείχνει ότι αν μείνουν μόνο δυάρια, θα μείνει περιττός αριθμός από αυτά.
από Demetres
Κυρ Ιαν 13, 2019 11:35 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 553

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 13, 2019 1:07 am
Σε "τρεις άσσους" δεν μπορεί να φτάσει (το άθροισμα πρέπει να είναι άρτιος)

Σωστά τρία δυάρια ήθελα/έπρεπε να πω. Είχα λόγο πάντως που επέλεξα το 3. Δείξτε ότι δεν μπορεί ο Βασίλης να καταλήξει σε ακριβώς δύο δυάρια.
από Demetres
Σάβ Ιαν 12, 2019 11:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 553

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Άρα κερδίζει (μόνο) ο Βασίλης, χωρίς καν να σκεφτεί τις κινήσεις του. Μιχάλη αυτό δεν είναι σωστό. Αν δεν παίξει σωστά ο Βασίλης μπορούν π.χ. να μείνουν στο τέλος π.χ. τρεις άσσοι. Σύμφωνα με τους κανόνες του παιγνιδιού θα έχει χάσει. [Το ίδιο γίνεται και στην εκδοχή όπου παίζουν και οι τρεις μαζί....
από Demetres
Σάβ Ιαν 12, 2019 11:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 429

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 4 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}$, ώστε $\displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}$ Λόγω κυρτότητας τ...
από Demetres
Σάβ Ιαν 12, 2019 1:53 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Περασμένα ναι, ξεχασμένα όχι(:)!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 471

Re: Περασμένα ναι, ξεχασμένα όχι(:)!

Για παράδειγμα είδα τον εξής ορισμό για πεπερασμένο σύνολο Το σύνολο $A$ λέγεται πεπερασμένο αν και μόνο αν για κάθε 1-1 συνάρτηση $f:A\rightarrow A$ έχουμε $f(A)=A$ Θαυμάσιος ορισμός. Χάριν πληρότητας ας δούμε, αν και απλό, μία απόδειξη της προταθείσας άσκησης με βάση αυτόν τον ορισμό. Είναι ισοδύ...
από Demetres
Σάβ Ιαν 12, 2019 1:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 259
Προβολές: 32220

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

άρα μπορεί να χωρίσουμε τις δυάδες με $2n(2n-1)+...2(1)=k$ Γιατί πρόσθεση; Δυσκολεύομαι να το εξηγήσω όπως το έχω στο μυαλό, συνδυαστική έχω δει μόνο λίγη θεωρεία και έχω λύσει λίγες ασκήσεις οπότε ίσως να το έχω λάθος Ο λόγος που ρώτησα είναι διότι έκανες λάθος. Πρόσθεση κάνουμε όταν έχουμε ξένα μ...
από Demetres
Παρ Ιαν 11, 2019 4:23 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 259
Προβολές: 32220

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Xriiiiistos έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 3:55 pm
άρα μπορεί να χωρίσουμε τις δυάδες με 2n(2n-1)+...2(1)=k
Γιατί πρόσθεση;
από Demetres
Παρ Ιαν 11, 2019 4:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: όριο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 327

Re: όριο

Για το $\cos{x}^{\sin{x}}$ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το (γενικευμένο) διωνυμικό θεώρημα. Για $x$ ώστε $|cos(x)-1| < 1$ (το οποίο ισχύει σε μια περιοχή του μηδενός εκτός από το $x=0$) έχουμε $\displaystyle \begin{aligned} \cos{x}^{\sin{x}} &= (1 + (\cos{x}-1))^{\sin{x}} \\ &= \sum_{n = 0}^{\in...
από Demetres
Πέμ Ιαν 10, 2019 10:38 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τρεις βιβλιοθήκες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 183

Re: Τρεις βιβλιοθήκες

Μου θύμισε το ανέκδοτο με τον φυσικό, τον βιολόγο και τον μαθηματικό οι οποίοι βλέπουν δύο άτομα να μπαίνουν σε ένα σπίτι και αργότερα βλέπουν τρία άτομα να βγαίνουν έξω. Ο φυσικός λέει ότι πρέπει να έκαναν λάθος στην μέτρηση. Ο βιολόγος λέει ότι αναπαράχθηκαν. Ο μαθηματικός λέει ότι δεν υπάρχει καν...
από Demetres
Δευ Ιαν 07, 2019 3:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Με 3 αγνώστους
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 202

Re: Με 3 αγνώστους

Δεν χρειάζεται καν το δεδομένο ότι $p$ πρώτος. Σωστά! Για $p=0,1$ δεν υπάρχουν λύσεις. Ούτε επίσης για $a=1$. Πρέπει $b \leqslant a^p - 1$ αφού αν $b \geqslant a^p$ τότε $a^2 + b^2 + p + 1 > a^{2p}$. Αφού $b \leqslant a^p -1$, τότε $\displaystyle a^{2p} \leqslant a^2 + a^{2p} - 2a^p + 1 + p + 1$ πο...
από Demetres
Κυρ Ιαν 06, 2019 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 432

Re: Ακολουθία

Είχα χρειαστεί σε ένα παλιό μου άρθρο την εξής παραλλαγή: Έστω σταθερά $k$ και ακολουθία $(a_n)$ θετικών (ακεραίων) ώστε 1) $a_{nm} \geqslant a_na_m$ για κάθε $n,m \in \mathbb{N}$ 2) $a_{n+1} \geqslant a_n+1$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$ 3) $a_n \leqslant n^k$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$ Να δειχθεί ό...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση