Η αναζήτηση βρήκε 7270 εγγραφές

από Demetres
Τετ Ιουν 20, 2018 10:37 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2006/2/4
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 98

Re: IMC 2006/2/4

Εγώ το έκανα με επαγωγή στην διάσταση του $V = \langle v_1,\ldots,v_{n+1} \rangle$. Εργάζομαι επίσης με την ισοδύναμη συνθήκη (δείτε στην ανάρτηση πιο πάνω) ότι όλα τα $v_i \cdot v_j$ είναι ρητοί. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι $v_{n+1} \notin \langle v_1,\ldots,v_{n+1} \rangle$. Έστω $v_1',\ldot...
από Demetres
Τετ Ιουν 20, 2018 1:29 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2006/2/4
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 98

IMC 2006/2/4

Έστω v_0 το μηδενικό διάνυσμα στο \mathbb{R}^n και έστω v_1,\ldots,v_{n+1} διανύσματα στο \mathbb{R}^n ώστε η Ευκλείδεια νόρμα \|v_i - v_j\|_2 να είναι ρητή για κάθε 0 \leqslant i ,j \leqslant n+1.

Να δειχθεί ότι τα v_1,\ldots,v_{n+1} είναι γραμμικώς εξαρτημένα υπέρ των ρητών.
από Demetres
Τετ Ιουν 20, 2018 1:24 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2007/2/6
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 53

IMC 2007/2/6

Δίνεται μη μηδενικό πολυώνυμο f με πραγματικούς συντελεστές. Ορίζουμε ακολουθία πολυωνύμων f_0,f_1,f_2,\ldots αναδρομικά ως f_0 = f και f_{n+1} = f_n + f_n' για n \geqslant 0.

Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός N ώστε για κάθε n \geqslant N όλες οι ρίζες του f_n να είναι πραγματικές.
από Demetres
Δευ Ιουν 18, 2018 11:17 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Ανισότητα με συνάρτηση!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 331

Re: Ανισότητα με συνάρτηση!

Θεωρώ την συνάρτηση $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τύπο $\displaystyle g(x) = f(e^x) = \frac{e^x-1}{x}$ για $x \neq 0$ και $g(0) = 1$. Η $g$ είναι κυρτή (*) οπότε από Jensen έχουμε $\displaystyle \frac{g(x_1) + \cdots + g(x_n)}{n} \geqslant g\left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right)$ Θέτoντας $y_...
από Demetres
Δευ Ιουν 18, 2018 10:46 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Έυρεση πρώτων!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 137

Re: Έυρεση πρώτων!

Υποθέτουμε ότι $p \leqslant q$. Επειδή $p|(5^p-2^p)(5^q-2^q)$ τότε $p|(5^p-2^p)$ ή $p|(5^q - 2^q)$. Στην πρώτη περίπτωση, επειδή $5^p - 2^p \equiv 5-2 \equiv 3 \bmod p$, πρέπει $p=3$. Στην δεύτερη περίπτωση, γράφουμε $t = (p+1)/2$ (προφανώς $p \neq 2$) και παρατηρούμε ότι $(5d)^q \equiv 1 \bmod p$. ...
από Demetres
Δευ Ιουν 18, 2018 10:18 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 692

Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)

Πρόβλημα 3 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle f:{{\mathbb{Z}}_{>0}}\to {{\mathbb{Z}}_{>0}}$, όπου ${{\mathbb{Z}}_{>0}}$ είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων, που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός $\displaystyle xf(x)+(f(y))^2+2xf(y)$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, για όλους τους θετικούς...
από Demetres
Κυρ Ιουν 17, 2018 11:16 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 692

Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)

Πρόβλημα 4 Θεωρούμε έναν πρώτο αριθμό $p\ge 2$. O Άγγελος και ο Βαγγέλης παίζουν εναλλάξ το ακόλουθο παιχνίδι: Στον πίνακα υπάρχουν$p$άδεια κουτάκια στη σειρά, το ένα δίπλα στο άλλο, και σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει σειρά, βάζει σε ένα από τα κενά κουτάκια ένα μονοψήφιο μη αρνητικό ακέραιο. Ο...
από Demetres
Πέμ Ιουν 14, 2018 12:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 251

Re: Τέλειο τετράγωνο

Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές). Η δοσμένη εξίσωση γράφεται $yz-xz=xy$. ...
από Demetres
Πέμ Ιουν 14, 2018 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 457

Re: Σειρά

Γνωρίζεις όμως αν η απάντηση εκφράζεται σε πιο στοιχειώδη μορφή; Για να μην ασχολούμαστε άδικα.
από Demetres
Τετ Ιουν 13, 2018 9:36 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 129

Re: Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια

Ας δούμε και την αναλλοίωτη: Χρωματίζω τα τετραγωνάκια όπως πιο κάτω. (Προσοχή: Δεν είναι αυτή η αρχική κατάσταση που δεν καταλήγει σε μονόχρωμο.) Ονομάζω τα μαύρα τετραγωνάκια πλευρικά για προφανείς λόγους. Κάθε φορά αλλάζει το χρώμα άρτιου αριθμού πλευρικών τετραγώνων. Αν λοιπόν ξεκινήσω από περιτ...
από Demetres
Τετ Ιουν 13, 2018 9:07 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 129

Re: Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια

Μπορούμε να εργαστούμε στο $\mathbb{F}_2^{16}$ όπου μας δίνονται μόνο $9+4$ διανύσματα. Προφανώς δεν παράγουν τον χώρο άρα υπάρχουν καταστάσεις που δεν μπορούν να πάνε στην κατάσταση όπου όλα είναι χρωματισμένα άσπρα. Άρα ούτε και στην κατάσταση όπου όλα είναι μαύρα. (Αφού από το «όλα μαύρα» μπορούμ...
από Demetres
Κυρ Ιουν 10, 2018 11:09 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ένα προς ένα και επί συναρτήσεις
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 304

Re: ένα προς ένα και επί συναρτήσεις

Κάπως πιο σύντομα για το πρώτο: Έστω ότι δεν ισχύει το ζητούμενο. Άρα υπάρχει ελάχιστος φυσικός $k$, ώστε για κάποιο φυσικό $n$ να είναι $f(n) = k$ αλλά $g(n) \neq k$. Επειδή η $f$ είναι επί, για κάθε $\ell < k$, υπάρχει φυσικός $n_{\ell}$ ώστε $f(n_{\ell}) = \ell$. Από τον ορισμό του $k$ πρέπει και...
από Demetres
Σάβ Ιουν 09, 2018 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: φράση UUID
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 249

Re: φράση UUID

Αν πω ότι το ενδεχόμενο A είναι δύο φορές πιο πιθανό από το ενδεχόμενο B, εννοώ ότι P(A) = 2P(B) και όχι P(A) = P(B)/2.
από Demetres
Παρ Ιουν 08, 2018 1:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: φράση UUID
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 249

Re: φράση UUID

Όπως το λέει είναι σωστό. Αν ήταν διπλάσια η πιθανότητα να συμβεί το A από το B τι θα έλεγες. Ότι είναι δύο φορές πιο πιθανό να συμβεί το A από το B ή ότι είναι ένα δεύτερο φορές πιο πιθανό να συμβεί το A από το B;
από Demetres
Παρ Ιουν 08, 2018 1:10 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Σταθερή συνάρτηση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 452

Re: Σταθερή συνάρτηση

Είναι $\displaystyle g(y) - g(x) = \int_{y}^{2y} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t - \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t = \int_{y}^{x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t - \int_{2y}^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t$ Όμως $\displaystyle \int_{2y}^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t = \int_{y}^{x} \f...
από Demetres
Παρ Ιουν 08, 2018 11:12 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ὅριο ἀκολουθίας
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 457

Re: Ὅριο ἀκολουθίας

Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τις ανισότητες $\displaystyle e^{-x}e^{-\frac{x^2}{1-x}} = e^{-\tfrac{x}{1-x}} \leqslant (1-x) \leqslant e^{-x}$ που ισχύουν για κάθε $x \in [0,1)$ Η δεξιά είναι αρκετά γνωστή (ισχύει για κάθε $x$) ενώ η αριστερή είναι συνέπειά της αφού έχουμε $\displaystyle e^{\t...
από Demetres
Παρ Ιουν 08, 2018 10:37 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 135

Re: Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο

Υποθέτουμε προς άτοπο ότι αυτό δεν ισχύει. Αφού η ακολουθία είναι φραγμένη θα έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά υπακολουθιακά όρια, έστω τα $x < y$. Από την συνέχεια της $f$ κάθε υπακολουθιακό όριο είναι σταθερό σημείο. [Αν $(x_{n_i}) \to z$, τότε $(x_{n_i+1}) = (f(x_{n_i})) \to f(z)$. Αν όμως $f(z) ...
από Demetres
Τετ Ιουν 06, 2018 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Πολλαπλασιάζεται συνεχώς!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 398

Re: Πολλαπλασιάζεται συνεχώς!

Η απάντηση για το (β) είναι:

\displaystyle  a_1 \sqrt{\left( \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor} (-1)^k (2k+1)! \right)^2 + \left( \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} (-1)^k (2k)! \right)^2}

Δεν νομίζω να υπάρχει κλειστός τύπος.
από Demetres
Τρί Μάιος 29, 2018 9:17 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Putnam 2017/B2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 576

Re: Putnam 2017/B2

Σωστά. Όταν όμως δείχνεις την περίπτωση a < 16, το έκανες μόνο για a άρτιο. Ευτυχώς η ίδια λύση δουλεύει και για a περιττό. (Δεν αλλάζει κάτι αν s=0.)

[Υπάρχουν και κάποια τυπογραφικά. Π.χ. εκεί που λες b \neq 1, εννοείς t \neq 1.]
από Demetres
Κυρ Μάιος 27, 2018 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πέτρες στον κουβά
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 176

Πέτρες στον κουβά

Έχουμε ένα άδειο κουβά και κάθε δευτερόλεπτο είτε προσθέτουμε σε αυτόν μία πέτρα είτε αφαιρούμε από αυτόν μία πέτρα (αν υπάρχει) με κάθε μία από τις επιλογές να έχει πιθανότητα $1/2$. (Σε περίπτωση που ο κουβάς είναι άδειος και πρέπει να αφαιρέσουμε μία πέτρα, απλά δεν κάνουμε τίποτα και τον αφήνουμ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση